北京工業(yè)大學(xué)電路.ppt

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定積分有著廣泛的用途,,先介紹建立定積分的一種簡(jiǎn)便方法--,元素法(微元法),下面介紹它在幾何,,物理和經(jīng)濟(jì)等問(wèn)題上的簡(jiǎn)單應(yīng)用.,什么量可以用定積分表示出來(lái)?,6.1定積分在幾何上的應(yīng)用,(1)U是與一個(gè)變量x的變化區(qū)間[a,b]有關(guān)的量;,則可以考慮用定積分來(lái)表達(dá)這個(gè)量U.,(2)U對(duì)于區(qū)間[a,b]具有可加性.,就是說(shuō),如果把區(qū)間[a,b]分成許多部分區(qū)間,,(3)部分量的近似值可表示為,當(dāng)所求量U符合下列條件：,則U相應(yīng)地分成許多部分量,而U等于所有部分量之和.,元素法的一般步驟：,這個(gè)方法通常稱為元素法(微元法).,(1)根據(jù)問(wèn)題的具體情況,選取一個(gè)變量例如x,(2)任取一小區(qū)間并記為,求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量的近似值dU,,并將其表示為,(3)以所求量U的元素為被積表達(dá)式，,在區(qū)間[a,b]上作定積分,得,即為所求量U的積分表達(dá)式.,為積分變量,并確定它的變化區(qū)間[a,b];,,,這個(gè)小區(qū)間上所,對(duì)應(yīng)的小曲邊梯形面積,面積元素,得,曲邊梯形面積的積分式也可以用元素法,建立如下.,地等于長(zhǎng)為f(x)、寬為dx的,小矩形面積,,故有,近似,,,求這兩條曲線,及直線,所圍成的區(qū)域的面積A.,,它對(duì)應(yīng)的面積元素dA為,即,,,1.直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積,6.1.1平面圖形的面積,在[a,b]上任取一區(qū)間,求由曲線,和直線,所圍成的區(qū)域的面積A.,的面積元素dA為,它對(duì)應(yīng),,,,,,,小區(qū)間,解,兩曲線的交點(diǎn),選x為積分變量,,例計(jì)算由兩條拋物線和,所圍成,的圖形的面積.,,面積元素,,例,解,畫(huà)草圖,,求兩曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)以便,解方程組:,交點(diǎn),面積元素,選為積分變量,,?,確定積分限,,,,,,,,解,兩曲線的交點(diǎn),選y為積分變量,,,,,例計(jì)算由曲線和直線,的圖形的面積.,所圍成,所求面積,如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程,曲邊梯形的面積,2.參數(shù)方程情形下求平面圖形的面積,在(或)上,與終點(diǎn)的參數(shù)值.,設(shè)和對(duì)應(yīng)曲線起點(diǎn),具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),連續(xù).,,解1,曲線的參數(shù)方程為,由對(duì)稱性,總面積等于4倍第一象限部分面積.,作變量代換,,例求橢圓的面積.,,解2,其中,由對(duì)稱性,總面積等于4倍第一象限部分面積．,例求橢圓的面積.,,,解,面積,練習(xí),作變量代換,,,面積元素,曲邊扇形的面積,由極坐標(biāo)方程,給出的平面曲線和射線,所圍成的面積A.,曲邊扇形,,,,,,,3.極坐標(biāo)系下求平面圖形的面積,解,由對(duì)稱性知總面積,=4倍第一象限部分面積,例,求雙紐線,所圍平面圖形的面積.,,,,解,利用對(duì)稱性知,,例求心形線,圖形的面積.,所圍平面,,,,旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條,,,,圓柱,圓錐,圓臺(tái),6.1.2體積問(wèn)題,1.旋轉(zhuǎn)體的體積,直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.這直線稱為旋轉(zhuǎn)軸．,,,旋轉(zhuǎn)體的體積為,如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線,直線,及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋,x轉(zhuǎn)一周而成的立體,求體積.,取積分變量為x,,為底的,小曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而,成的薄片的,體積元素,,,解,例求由橢圓圍成的圖形繞x軸旋,這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體可以看成是由上半橢圓,轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.,與x圍成的圖形繞x軸旋旋轉(zhuǎn)而成.,所求體積為,,解,體積元素,例,取積分變量為x,,,,,,如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線,及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸,旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,求體積.,直線,體積元素,旋轉(zhuǎn)體的體積,,,解,兩曲線的交點(diǎn)為,繞y軸旋轉(zhuǎn)所得體積,,,,,,y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積.,例求拋物線所圍成圖形繞,補(bǔ)充,利用這個(gè)公式，可知上例中,,,,公式見(jiàn)P25724,解,,體積元素為,,,,2.已知平行截面面積的立體的體積,立體體積,A(x)表示過(guò)點(diǎn)x且,垂直于x軸的截面面積，,A(x)為x的已知連續(xù)函數(shù).,如果一個(gè)立體介于過(guò)而垂直于x,軸的兩平面之間，,,體積元素,,,解,取坐標(biāo)系如圖,底圓方程,例,一平面經(jīng)過(guò)半徑為R的圓柱體的底圓中心,,并與底面交成角,計(jì)算這平面截圓柱體所得,立體的體積.,垂直于x軸的截面為直角三角形.,底邊,高,截面面積,立體體積,,,,作一下垂直于y軸的截面是,截面長(zhǎng)為,寬為,矩形,截面面積,可否選擇y作積分變量?,此時(shí)截面面積函數(shù)是什么?,如何用定積分表示體積?,思考,,,,弧長(zhǎng)元素,弧長(zhǎng)為,6.1.3平面曲線的弧長(zhǎng),1.直角坐標(biāo)情形,取積分變量為x,,上任取小區(qū)間[x,x+dx],,設(shè)曲線弧為,其中,在[a,b]上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù).,在[a,b],解,例,計(jì)算曲線,的弧長(zhǎng),設(shè)曲線弧的參數(shù)方程為,弧長(zhǎng)為,2.參數(shù)方程情形,其中在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).,解,星形線的參數(shù)方程為,根據(jù)對(duì)稱性,第一象限部分的弧長(zhǎng),例求星形線的全長(zhǎng).,設(shè)曲線弧的極坐標(biāo)方程為,弧長(zhǎng)為,3.極坐標(biāo)情形,其中在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).,由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系可得,解,解,作業(yè),習(xí)題5.6(248頁(yè)),1.(1)(2)(4)(5)3.(1)(2)5.(1)(4)6.,