2020屆吉林省梅河口市第五中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)理試題版.doc

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2020屆吉林省梅河口市第五中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題 1．已知集合，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求解集合,再利用集合的交集定義求解即可. 【詳解】 ∵，∴． 故選:. 【點睛】 本題主要考查了集合的基本運算,難度容易. 2．命題“正方形的兩條對角線相等”的否定為（ ） A．每個正方形的對角線都不相等 B．存在不是正方形的四邊形對角線不相等 C．存在對角線不相等的正方形 D．每個不是正方形的四邊形對角線都相等 【答案】C 【解析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題得到答案. 【詳解】 解：命題：“正方形的兩條對角線相等”可改寫為“所有的正方形，其兩條對角線相等”是全稱命題，根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，可知其否定為“有些正方形，其兩條對角線不相等”即“存在對角線不相等的正方形” 故選：． 【點睛】 本題考查全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題. 3．設(shè)向量，且，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由題得，解方程即得解. 【詳解】 由題得， 解之得. 故選：D 【點睛】 本題主要考查向量垂直的數(shù)量積表示，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平. 4．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，則為（ ） A．直角三角形 B．銳角非等邊三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形 【答案】D 【解析】由余弦定理可得，又，故為等邊三角形． 【詳解】 在中，，，由余弦定理得， ，又，故為等邊三角形. 故選 【點睛】 本題考查余弦定理在判斷三角形形狀的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題． 5．設(shè)，則( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用有界性分別得出，從而得出a，b，c的大小關(guān)系． 【詳解】 ，，， ． 故選：A． 【點睛】 考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，冪函數(shù)的單調(diào)性，以及增函數(shù)、減函數(shù)的定義． 6．設(shè)是公差大于0的等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項和，則“”是“”的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】根據(jù)充分條件、必要條件以及等差數(shù)列的性質(zhì)判斷即可. 【詳解】 解：由是公差大于0的等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項和， 若，則，又 ，，故充分性成立； 若，則，，故必要性成立； 綜上可得，“”是“”的充要條件. 故選： 【點睛】 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件必要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題. 7．已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則（ ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 【答案】B 【解析】根據(jù)求出再根據(jù)也在直線上，求出b的值，即得解. 【詳解】 因為，所以 所以， 又也在直線上， 所以， 解得 所以. 故選：B 【點睛】 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平. 8．如圖，是圓的一條直徑，，是半圓弧的兩個三等分點，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】本題是用當(dāng)基底向量，來表示，所以先在 中根據(jù)向量減法的三角形法則，用表示，再探究、的線性關(guān)系即可． 【詳解】 因為，是半圓弧的兩個三等分點， 所以，且，所以. 【點睛】 本題考查平面向量的線性運算，考查運算求解能力與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法. 9．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，然后將各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得函數(shù)圖象的對稱中心為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根據(jù)題意利用誘導(dǎo)公式化簡, 進(jìn)行先平移再伸縮的變換,即可得到,利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得. 【詳解】 將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到的圖象，然后各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，令，得，所以對稱中心為． 故選:. 【點睛】 本題考查了誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)解析式,考查了三角函數(shù)的圖象的變換與性質(zhì),難度較易. 10．設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知化簡可得,,代入則有,進(jìn)而求得的值. 【詳解】 ． 故選: . 【點睛】 本題考查解決抽象函數(shù)的常用方法:賦值法,考查推理能力,難度較易. 11．已知定義在上的函數(shù)，則不等式的解集為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】設(shè)，判斷為奇函數(shù)，且在上為減函數(shù)，不等式轉(zhuǎn)化為 ，計算得到答案. 【詳解】 ， 令， 則， 即為奇函數(shù)，且在上為減函數(shù). 不等式，等價于， 即，則，解得. 故選： 【點睛】 本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵. 12．若函數(shù)有兩個極值點，，且，，則關(guān)于的方程的不同的實根的個數(shù)是（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解析】求導(dǎo),由題意 ，是的兩個根，從而得到，是方程的兩根,做出草圖,由圖象得出答案. 【詳解】 ，有兩個極值點，， 所以，是的兩個根， 由，可知兩根一正一負(fù)， 又當(dāng)?shù)闹等椋瑫r，方程成立． 當(dāng)時，作出的簡圖如圖1所示， 當(dāng)時有兩根，當(dāng)時有三根， 所以方程有五個根； 同理當(dāng)時，作出的簡圖如圖2所示，也有當(dāng)時有兩根， 當(dāng)時有三根． 綜上，方程有五個根． 故選:. 【點睛】 本題考查了方程的解的個數(shù)與函數(shù)圖象交點個數(shù)的關(guān)系,重點考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,難度較大. 二、填空題 13．已知，，則_________． 【答案】 【解析】利用正切的和角公式變形,代入即可. 【詳解】 ． 故答案為: . 【點睛】 本題考查正切的和角公式,考查學(xué)生的計算能力,難度容易. 14．已知，是夾角為120的兩個單位向量，則和的夾角的余弦值為_________． 【答案】 【解析】首先利用數(shù)量積公式求得,,利用夾角公式代入即可. 【詳解】 設(shè)與的夾角為， 因為， ，， 所以． 故答案為: . 【點睛】 本題考查單位向量的概念,向量數(shù)量積的計算公式及運算,向量的數(shù)乘運算.較易. 15．用表示三個數(shù)中的最大值，設(shè)，則的最小值為_______. 【答案】0 【解析】將中三個函數(shù)的圖像均畫出來,再分析取最大值的函數(shù)圖像,從而求得最小值. 【詳解】 分別畫出,,的圖象,取它們中的最大部分,得出的圖象如圖所示,故最小值為0. 故答案為0 【點睛】 本題主要考查數(shù)形結(jié)合的思想與常見函數(shù)的圖像等,需要注意的是在畫圖過程中需要求解函數(shù)之間的交點坐標(biāo)從而畫出準(zhǔn)確的圖像,屬于中等題型. 16．在中，，，分別是角，，所對的邊，且，則的最大值為_________． 【答案】 【解析】利用正弦定理邊化角化簡可求得,則有,則借助正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)即可求出. 【詳解】 因為， 所以，所以． 所以， 因為，所以當(dāng)時，取得最小值． 故答案為: . 【點睛】 本題考查正弦定理,三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),屬于?？碱}. 三、解答題 17．已知全集，集合，. （1）若，求； （2）若，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）分別求出和,再取交集，即可。 （2）因為且恒成立，所以，解出即可。 【詳解】 解：（1）若，則，所以或，又因為，所以 。 （2）由（1）得，，又因為，所以 ，解得。 【點睛】 本題考查了交、補集的混合運算，考查了利用集合間的關(guān)系求參數(shù)的取值問題，解答此題的關(guān)鍵是對集合端點值的取舍，是基礎(chǔ)題． 18．已知函數(shù)． （1）求的最小正周期； （2）求的單調(diào)遞增區(qū)間． 【答案】（1）；（2）. 【解析】(1)使用二倍角公式和輔助角公式化簡利用周期公式即可求得; (2)由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,利用整體代入法即可求得. 【詳解】 解：（1）， 最小正周期為． （2）由，， 得，， 所以的單調(diào)遞增區(qū)間為． 【點睛】 本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查了學(xué)生的計算能力,較易. 19．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，． 求C； 若，求，的面積 【答案】(1)．(2)． 【解析】由已知利用正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，結(jié)合范圍，可求，由已知利用二倍角的余弦函數(shù)公式可得，結(jié)合范圍，可求A，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解得C的值． 由及正弦定理可得b的值，根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解． 【詳解】 由已知可得， 又由正弦定理，可得，即， ， ， ，即， 又， ，或舍去，可得， ． ，，， 由正弦定理，可得， ， ． 【點睛】 本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的余弦函數(shù)公式，三角形的內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形的面積公式等知識在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題． 20．已知函數(shù)． （1）證明：． （2），使得成立，求的取值范圍． 【答案】（1）詳見解析；（2）. 【解析】(1)求導(dǎo),可證得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且,即可證得結(jié)論. (2)由題意可知即為在內(nèi)有解, 即有解,構(gòu)造,通過求導(dǎo)求得,即大于在的最小值即可. 【詳解】 （1）證明：，令，得． 當(dāng)時，； 當(dāng)時，． 所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 且，所以恒成立． （2）解：，使得成立， 即在內(nèi)有解， 即有解，令， 即大于在的最小值． ， 當(dāng)時，，為減函數(shù)； 當(dāng)時，，為增函數(shù)， ，所以， 即的取值范圍是． 【點睛】 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值,利用導(dǎo)數(shù)解決能成立問題中參數(shù)取值范圍問題,考查考生的推理論證能力和運算求解能力,難度較大. 21．已知二次函數(shù)滿足，且. （1）求的解析式； （2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，求的最小值； （3）設(shè)函數(shù)，若對任意，總存在，使得成立，求m的取值范圍. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】(1) 根據(jù)二次函數(shù),則可設(shè),再根據(jù)題中所給的條件列出對 應(yīng)的等式對比得出所求的系數(shù)即可. (2)根據(jù)(1)中所求的求得,再分析對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論求解的最小值即可. (3)根據(jù)題意可知需求與在區(qū)間上的最小值.再根據(jù)對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性求解最小值即可. 【詳解】 (1)設(shè). ①∵,∴, 又∵, ∴,可得, ∴解得即. (2)由題意知,,,對稱軸為. ①當(dāng),即時,函數(shù)h(x)在上單調(diào)遞增, 即； ②當(dāng),即時,函數(shù)h(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, 即. 綜上, (3)由題意可知, ∵函數(shù)在上單調(diào)遞增,故最小值為, 函數(shù)在上單調(diào)遞減,故最小值為, ∴,解得. 【點睛】 本題主要考查利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式的方法,二次函數(shù)對稱軸與區(qū)間關(guān)系求解最值的問題,以及恒成立和能成立的問題等.屬于中等題型. 22．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)． （1）證明：在上存在唯一零點． （2）若，恒成立，求的取值范圍． 【答案】（1）詳見解析；（2）. 【解析】(1) 求出,設(shè)，求,由的單調(diào)性及零點存在定理說明在區(qū)間上存在唯一零點,即證得在上存在唯一零點. (2)將恒成立問題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求得最值即可. 【詳解】 （1）證明：設(shè)， 則，． 令，則． ∵當(dāng)時，， 則為增函數(shù)，且，， ∴存在，使得， ∴當(dāng)時，；當(dāng)時，． 即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． 又∵，， ∴在區(qū)間上存在唯一零點， 即在區(qū)間上存在唯一零點． （2）解：當(dāng)時，； 當(dāng)時，． 設(shè)，， 即， ∵，∴， ∴在上單調(diào)遞減， ∴， ∴． 綜上所述，的取值范圍為． 【點睛】 本題考查導(dǎo)數(shù)的運算、零點存在性定理的應(yīng)用,以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立問題,難度較大. 第 17 頁 共 17 頁