熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理-第六章-近獨(dú)立粒子的最概然分布.ppt

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1、1,熱統(tǒng),,第六章,近獨(dú)立粒子的最概然分布,2,熱統(tǒng),統(tǒng)計(jì)物理: 關(guān)于熱現(xiàn)象的微觀理論。,研究對(duì)象: 大量微觀粒子組成的宏觀物質(zhì)系統(tǒng)。 (微觀粒子：如分子、原子、自由電子、光子等),統(tǒng)計(jì)物理認(rèn)為: 宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)。 宏觀物理量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均值。,經(jīng)典統(tǒng)計(jì): 粒子滿足經(jīng)典力學(xué)規(guī)律 (運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述),量子統(tǒng)計(jì): 粒子滿足量子力學(xué)規(guī)律 (運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述),在一定條件下，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)是一個(gè)極好的近似。,本章內(nèi)容: 經(jīng)典描述; 量子描述; 三種分布函數(shù)及相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)。,,3,熱統(tǒng),6.1 粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述,遵守經(jīng)典力學(xué)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的粒子，稱為經(jīng)典粒子

2、。 1. 具有“顆粒性”：有一定的質(zhì)量、電荷等性質(zhì)。 2. 軌道運(yùn)動(dòng)：滿足牛頓定律. 給定初時(shí)刻的 、 ，可確定其運(yùn)動(dòng)軌跡 (確定性描述)。經(jīng)典粒子可以被“跟蹤”。 3. 可以分辨：經(jīng)典全同粒子可以分辨。 具有完全相同屬性（質(zhì)量、電荷、自旋等）的同類粒子稱為全同粒子。 4. 能量是連續(xù)的：按照經(jīng)典力學(xué)的觀點(diǎn)，在允許的能量范圍內(nèi)，粒子的能量可取任何值。,4,熱統(tǒng),一 空間（相空間） ：粒子位置和動(dòng)量構(gòu)成的空間,經(jīng)典力學(xué): 確定一個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用 和 。 自由度 r =1（曲線上運(yùn)動(dòng)) : x 和 px 描述其狀態(tài)； r = 3（3D空間中運(yùn)動(dòng)): x, y, z 和 px , p

3、y , pz 描述狀態(tài)。 若粒子有內(nèi)部運(yùn)動(dòng), 則 r 更大。如雙原子分子, , p , p 一般地，設(shè)粒子的自由度為 r ， 其力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由粒子的 r 個(gè)廣義坐標(biāo) q1、q2、qr 和相應(yīng)的 r 個(gè)廣義動(dòng)量 p1、p2、 pr 共 2r 個(gè)量的值確定。粒子能量： =( q1、q2、qr ，p1、p2、pr ) 。,總之，微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述是采用粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量共同描述的方法。,5,熱統(tǒng),用單粒子的廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量 q1, q2 , qr, p1, p2 , pr 為直角坐標(biāo)構(gòu)成2r 維空間, 稱為粒子相空間 (即空間). 例如：?jiǎn)卧臃肿?r =3 ，空間是6維。

4、 剛性雙原子分子 r = 5，空間是10維的。 粒子在某時(shí)刻的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(q1、pr )可用空間中的一個(gè)點(diǎn)表示，稱為粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的代表點(diǎn)。 空間中的代表點(diǎn)與粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)。 這樣： （1）空間中的一個(gè)代表點(diǎn)表示粒子的一個(gè)狀態(tài)， （2）當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間改變時(shí)，相應(yīng)地代表點(diǎn)在 空間中移動(dòng)，描繪出一條軌跡稱為相軌道（相跡）。 （3）N 粒子系統(tǒng), 需N個(gè)代表點(diǎn)描述系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài). （4）空間中的體積元：各軸上截取dq1 , dq2 , , dqr , dp1 , dp2 , , dpr , 則圍成空間中的體積元： d = dq1 dq2 dqr dp

5、1 dp2 dpr,6,熱統(tǒng),二 經(jīng)典描述方法例子 1 自由粒子 不受外力作用的粒子（如理想氣體分子、金屬自由電子等），其能量, 1D自由粒子: 限制在長(zhǎng)L范圍內(nèi) (線狀材料等)； 互相正交的 x、px 軸構(gòu)成2D的空間。 相軌道“”等能面是一條直線. 3D自由粒子：r = 3 , 設(shè)粒子處于體積 V 中。狀態(tài)由 x、 y、z、px、py、pz 確定，空間是 6 維的。,粒子能量 = ( px2 + py2 + pz2 ) / 2m 動(dòng)量子空間的半徑,7,熱統(tǒng),等能面（在動(dòng)量子空間中）是半徑為的 球面。,相空間的體積（動(dòng)量小于p時(shí)）,自由度為 1, 某時(shí)刻粒子狀態(tài)為（x, px）。

6、空間為二維。若給定振子的能量, 運(yùn)動(dòng)軌跡由如下方程確定：,2 線性諧振子,質(zhì)量為 m 的粒子在力 f = -kx 作用下的一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)（如雙原子分子; 晶體中格點(diǎn)上的原子、離子等）。,兩個(gè)半軸長(zhǎng)度,8,熱統(tǒng),即相空間中的等能面為橢圓。其面積為,,,,,,9,熱統(tǒng),描述質(zhì)點(diǎn)的位置,,r 不變：,與 共軛的動(dòng)量,質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng) (設(shè)半徑不變),,3 轉(zhuǎn)子,轉(zhuǎn)動(dòng)能量,其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,,,10,熱統(tǒng),兩體或多體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)也可看成一個(gè)轉(zhuǎn)子,平面轉(zhuǎn)子：,多體能量為,11,熱統(tǒng),一粒子微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述 波粒二象性 德布羅意于1924年提出，一切微觀粒子都具有波粒 二象性(中子

7、衍射)。 、p 與 、k 存在德布羅意關(guān)系 h普朗克常數(shù)，它的量綱是 時(shí)間 能量=長(zhǎng)度 動(dòng)量=角動(dòng)量 常稱為作用量子經(jīng)典描述或量子描述的判據(jù)., 不確定關(guān)系(測(cè)不準(zhǔn)原理) 微觀粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不可能同時(shí)具有確定的值。 用q 表示粒子坐標(biāo)的不確定值, p 表示動(dòng)量不確定值,,6.2 粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述,12,熱統(tǒng),微觀粒子的 和 不能同時(shí)具有確定值不是軌道運(yùn)動(dòng)。用波函數(shù)描述狀態(tài)： 表示 t 時(shí)刻 處粒子出現(xiàn)的概率密度。,則,電子軌道電子出現(xiàn)概率最大的地方。,狀態(tài)的分立性 量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱為量子態(tài)。它由一組量子數(shù)來表征，其數(shù)目等于粒子的自由度數(shù)。

8、狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的力學(xué)量(如能量 等)不連續(xù)狀態(tài)量子化。,5 全同性原理 全同粒子不可分辨，任意交換一對(duì)粒子不改變系統(tǒng)狀態(tài)., 波函數(shù)描寫態(tài),或,13,熱統(tǒng),二量子描述例子, 外場(chǎng)中的電子自旋,電子自旋產(chǎn)生磁矩,而,所以,（自旋方向取向量子化）,即外場(chǎng)中的電子自旋狀態(tài)只需要一個(gè)量子數(shù),即可描寫其狀態(tài)，它取兩個(gè)分立值,沿磁場(chǎng)方向,為自旋角動(dòng)量,14,熱統(tǒng),2 自由粒子,（1）一維自由粒子： 自由運(yùn)動(dòng)的粒子被限制在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的一維容器中。波函數(shù)要滿足一定的邊界條件，采用周期性條件，即,由,所以,即動(dòng)量只能取分立的值。,負(fù)號(hào)表示反向傳播,量子數(shù),正號(hào)表示正向傳播,15,熱統(tǒng),能量,能量也是分立的。,表明：

9、 用一個(gè)量子數(shù)就可以確定粒子的動(dòng)量、能量。 粒子狀態(tài)是分立的能級(jí)。 各能級(jí)的簡(jiǎn)并性：nx=1是不同狀態(tài) 簡(jiǎn)并。 能級(jí)間隔大小與L、m成反比，,顯然, 若L時(shí)， 0，即能量此時(shí)是連續(xù)的。故粒子在宏觀尺度上量子效應(yīng)不顯著，可用經(jīng)典方法描述。,16,熱統(tǒng),（2）三維自由粒子：,設(shè)自由粒子在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的方盒子中運(yùn)動(dòng)。粒子的運(yùn)動(dòng)滿足薛定諤方程。由周期性邊界條件得,量子態(tài)即由三個(gè)量子數(shù)來確定。狀態(tài)是量子化的。 對(duì)于一定的能量 ，可包含多個(gè)量子態(tài)能級(jí)簡(jiǎn)并。,簡(jiǎn)并性討論 ：,17,熱統(tǒng),經(jīng)典粒子的動(dòng)量和能量是連續(xù)的, 而在量子描述中, 動(dòng)量和能量是分立的, 這是局域在有限空間范圍粒子的特性。,,六狀態(tài)能量同為

10、,3 線性諧振子,用一個(gè)量子數(shù) n 描述狀態(tài)； 各能級(jí)都是非簡(jiǎn)并的，即每個(gè)能級(jí)只有一個(gè)量子態(tài)； 能級(jí)間隔相同： ； 存在零點(diǎn)能，即n=0時(shí)能量非零。,18,熱統(tǒng),三、粒子的狀態(tài)與 空間體積元的對(duì)應(yīng)關(guān)系, 空間中的體積元為: d = dq1dq2 dqr dp1dp2 dpr,如：1D：相體積,若對(duì)坐標(biāo)不加限制，則成為,3D：相體積,若對(duì)坐標(biāo)不加限制，則成為,,,,,,,19,熱統(tǒng),由,有,故在 V 中，粒子的動(dòng)量在間隔 ，,范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為,在宏觀大小的容器內(nèi)，粒子的動(dòng)量、能量已變得準(zhǔn)連續(xù)。但原則上仍有量子數(shù)的概念。這時(shí)如何考慮自由粒子的量子態(tài)數(shù)？,20,熱統(tǒng),利用不確定關(guān)系解釋

11、,叫做相格：表示粒子的一個(gè)狀態(tài)在 空間中占有的體積。 則上式可理解為：相體積Vdpxdpydpz內(nèi)具有的量子態(tài)數(shù)為相體積Vdpxdpydpz比上相格。,在 空間體積元 d 內(nèi)粒子可能的狀態(tài)數(shù)為,21,熱統(tǒng),由 ，量子化軌道把 空間分成許多體積元，,例1 一維自由粒子 空間是二維的， 一定時(shí)，相軌道是一條線段。,驗(yàn)證了上面結(jié)論。,其體積為,例2 線性諧振子 空間的等能面是橢圓，面積為,,,,能級(jí)為 ，,相鄰兩個(gè)狀態(tài)之間所夾的面積為,,,,,22,熱統(tǒng),推廣之：粒子的一個(gè)狀態(tài)在 空間中占有的體積為相格,四. 三維自由粒子的態(tài)密度,1D：相體積 dxdpx ,,若對(duì)坐標(biāo)不

12、限制，相體積 Ldpx,其中狀態(tài)數(shù),3D： 空間為6維, 相格大小為 h3, 下面分幾種情況討論.,1 直角坐標(biāo),組成的體積元 內(nèi),粒子的狀態(tài)數(shù)為,23,熱統(tǒng),3 若動(dòng)量空間中采用球坐標(biāo)，,在體積V 內(nèi)，動(dòng)量大小在 p 到 p + dp, 動(dòng)量方向在 到 + d， 到 + d內(nèi)，自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為：,2 若對(duì)坐標(biāo)不加限制,,內(nèi)的狀態(tài)數(shù)為,則在 V 中, 動(dòng)量范圍,描述質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量,,則動(dòng)量空間的體積元：,24,熱統(tǒng),4 若對(duì)動(dòng)量的方向不加限制，則在體積 V 內(nèi)，動(dòng)量絕對(duì)值在 p 到 p+dp 的范圍內(nèi)，自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為：,5 以能量形式表示,,,,25,熱統(tǒng),D() 表

13、示 附近單位能量間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù), 稱為態(tài)密度。 以上的計(jì)算沒有考慮粒子的自旋，如果粒子的自旋不等于零，還要考慮自旋的貢獻(xiàn)。,表示：在 V 內(nèi)，在 到 + d 的范圍內(nèi)自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)。,定義：,26,熱統(tǒng),6.3 系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述,全同粒子系統(tǒng) 就是由具有完全相同屬性（相同的質(zhì)量、自旋、電荷等）的同類粒子所組成的系統(tǒng)。如自由電子氣體。 近獨(dú)立粒子系統(tǒng)：粒子之間的相互作用很弱，相互作用的平均能量遠(yuǎn)小于單個(gè)粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之間的相互作用。將整個(gè)系統(tǒng)的能量表達(dá)為單個(gè)粒子的能量之和。( 如理想氣體：近獨(dú)立的粒子組成的系統(tǒng) ),一 基本概念,27,熱統(tǒng),任一粒子的狀態(tài)發(fā)生變

14、化, 則整個(gè)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)發(fā)生變化,經(jīng)典描述單粒子的狀態(tài)要 r 個(gè)廣義坐標(biāo)和 r 個(gè)廣義動(dòng)量，N個(gè)粒子系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)需要 ( i = 1, 2, , N ) 共 2N 個(gè)變量來確定。在 空間中要用N個(gè)點(diǎn)表示系統(tǒng)某時(shí)刻的一個(gè)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。,qi1、qi 2、qir； pi1、pi 2、pir,,,,,二 系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述,全同粒子是可以分辨的。在全同粒子系統(tǒng)中, 將兩個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)加以交換, 則系統(tǒng)的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是不同的。,28,熱統(tǒng),B) 粒子狀態(tài)是分立的。 粒子所處的狀態(tài)叫量子態(tài) (單粒子態(tài))。 量子態(tài) 用一組量子數(shù)表征（如自由粒子nx, ny, nz）. 不同量

15、子態(tài)的量子數(shù)取值不同。 量子描述單粒子的狀態(tài)是確定單粒子的量子態(tài)，對(duì)于 N個(gè)粒子的系統(tǒng)，就是確定各個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)。,三 系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述,A) 全同粒子是不可分辨的。交換任何一對(duì)粒子不改變整個(gè)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)。 但定域系粒子可辨（定域系粒子位置被限定）,29,熱統(tǒng),1 玻耳茲曼系統(tǒng) 粒子可以分辨, 每個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制.,確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)要求確定每個(gè)粒子所處的個(gè)體量子態(tài)。 確定了每個(gè)粒子所處的量子態(tài)就確定了系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài),(如定域系)。,例：設(shè)系統(tǒng)由A、B兩個(gè)粒子組成（定域子）。粒子的個(gè)體量子態(tài)有3個(gè), 討論系統(tǒng)有那些可能的微觀狀態(tài)？,,,,,,因此，

16、對(duì)于定域系統(tǒng)可有9種不同的微觀狀態(tài)，即 32。 一般地為 .,A,B,1,2,3,30,熱統(tǒng),2 不可分辨的全同粒子系統(tǒng) 對(duì)于不可分辨的全同粒子，必須考慮全同性原理。,確定由全同近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)歸結(jié)為確定每一個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)?；颍? 確定了每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)就確定了系統(tǒng)的微觀狀態(tài),（1）玻色系統(tǒng)：即自旋量子數(shù)為整數(shù)的粒子組成的系統(tǒng).,如光子自旋為1、 介子自旋為0。由玻色子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子，由偶數(shù)個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成的復(fù)合粒子也是玻色子,粒子不可分辨，每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)不限（即不受泡利原理限制）,31,熱統(tǒng),（2）費(fèi)米系統(tǒng)：即自旋量子數(shù)為半整數(shù)的粒子組成的系統(tǒng),如電子、

17、質(zhì)子、中子等都是自旋為1/2的費(fèi)米子。由奇數(shù)個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成的復(fù)合粒子也是費(fèi)米子。,粒子不可分辨，每個(gè)個(gè)體量子態(tài)上最多能容納一個(gè)粒子（費(fèi)米子遵從泡利原理）。,上例變?yōu)?(A=B),兩個(gè)玻色子占據(jù)3個(gè)量子態(tài)有6種方式,32,熱統(tǒng),仍為 A=B,兩個(gè)費(fèi)米子占據(jù)3個(gè)量子態(tài)有3種占據(jù)方式,對(duì)于不同統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的系統(tǒng)，即使它們有相同的粒子數(shù)、相同的量子態(tài)，系統(tǒng)包含的微觀狀態(tài)數(shù)也是不同的。 上例僅為兩個(gè)粒子組成的系統(tǒng)、三個(gè)量子態(tài)。對(duì)于大量微觀粒子組成的實(shí)際系統(tǒng)，其微觀狀態(tài)數(shù)目是大量的。,33,熱統(tǒng),6.4 等概率原理,宏觀態(tài)：系統(tǒng)的熱力學(xué)狀態(tài)。 用少數(shù)幾個(gè)宏觀參量即可確定系統(tǒng)的宏觀態(tài)。 微觀態(tài)：系統(tǒng)的力

18、學(xué)狀態(tài)。 確定方法：可分辨的全同粒子系統(tǒng)(玻耳茲曼系統(tǒng))； 不可分辨的全同粒子系統(tǒng)(玻色、費(fèi)米系),確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率就能用統(tǒng)計(jì)的方法求出微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值，從而求出相應(yīng)宏觀物理量，因此確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的基本問題。,宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)；宏觀物理量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均值。,34,熱統(tǒng),對(duì)于孤立系統(tǒng), 會(huì)出現(xiàn)大量的微觀狀態(tài)。這些微觀狀態(tài)都滿足具有確定的N、E、V 的宏觀條件。從能量上講這些微觀狀態(tài)應(yīng)是平權(quán)的。 等概率原理是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的一個(gè)基本假設(shè)，是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)理論的基礎(chǔ)。不能直接從實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證。它的正確性在于從它推出的各種結(jié)論

19、上的正確性。 例 靜止容器中平衡態(tài)氣體平動(dòng)動(dòng)能為零； 重力場(chǎng)中平衡態(tài)氣體壓強(qiáng)按高度分布。,等概率原理：對(duì)于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的！,35,熱統(tǒng),6.5 分布和微觀狀態(tài),系統(tǒng)具有確定的N,E,V(孤立系)。這時(shí)系統(tǒng)有大量微觀態(tài).,一、分布,若確定了各能級(jí)上的粒子數(shù)，則確定了系統(tǒng)的一個(gè)分布。,簡(jiǎn)并度,粒子數(shù),N 粒子系統(tǒng)的 能 級(jí),即：能級(jí)1上有a1個(gè)粒子， 能級(jí)2上有a2個(gè)粒子，。 這就給出一個(gè)分布，即數(shù)列 al ,,,滿足約束條件,36,熱統(tǒng),分布只表示每一個(gè)能級(jí)上有多少個(gè)粒子。一種分布包含大量的微觀狀態(tài)。 每一種不同的占據(jù)方式都是不同的微觀

20、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 對(duì)一個(gè)確定的分布，它相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)是確定的。,二、分布 al 包含的微觀狀態(tài)數(shù)（量子描述）,1 玻耳茲曼系統(tǒng) (定域系統(tǒng))：,粒子可以分辨(可編號(hào))，每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)不限。 (1) al 個(gè)粒子占據(jù) l 上的l個(gè)量子態(tài)的占據(jù)方式數(shù): (2) 各個(gè)能級(jí)都考慮在內(nèi)，系統(tǒng)總的占據(jù)方式數(shù): (3) 由于粒子可分辨，能級(jí)之間粒子的交換是新的占據(jù)方式），能級(jí)之間粒子的交換有 種不同的交換方式。（未改變分布）,37,熱統(tǒng),例：系統(tǒng)有6個(gè)可分辨粒子，共兩個(gè)能級(jí)，1=3，2=4 給定分布：a1= 4, a2=2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(4) 系統(tǒng)分布

21、 al 包含的總微觀狀態(tài)數(shù)為,能級(jí)之間粒子交換的方式數(shù)目為,38,熱統(tǒng),,2 玻色系統(tǒng)分布 al 包含的微觀狀態(tài)數(shù),粒子不可分辨，交換任意一對(duì)粒子不改變系統(tǒng)的微觀態(tài)。每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制。,,,,,,,,,例如：,規(guī)定：粒子占據(jù)左邊的量子態(tài)。,這樣就確定了每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)，即確定了一種占據(jù)方式（一個(gè)微觀態(tài)）。,改變排列，可得到新的占據(jù)方式。,39,熱統(tǒng),,, 粒子和量子態(tài)之間的交換 會(huì)產(chǎn)生新的占據(jù)方式：, 量子態(tài)和量子態(tài)之間的交換 不產(chǎn)生新的占據(jù)方式：, 顯然，粒子和粒子之間的交換 不會(huì)產(chǎn)生新的占據(jù)方式。,其中粒子與粒子的交換、量子態(tài)與量子態(tài)的交換不產(chǎn)生新的微觀態(tài)。只有量子態(tài)與粒子

22、交換導(dǎo)致不同微觀態(tài)。,量子態(tài)、粒子各種交換(排列)總數(shù),40,熱統(tǒng),量子態(tài)交換數(shù),粒子交換數(shù),各種交換共有 種可能的方式。,（2）將各種能級(jí)的結(jié)果相乘，就得到玻色系統(tǒng)與分布 al 相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：,41,熱統(tǒng),粒子不可分辨，每一個(gè)量子態(tài)最多能容納一個(gè)粒子。 al 個(gè)粒子占據(jù)能級(jí)l 上的l個(gè) 量子態(tài)，占據(jù)方式數(shù)為：從l個(gè) 量子態(tài)中選取al 個(gè)量子態(tài)讓al 個(gè)粒子占據(jù)，即,3 費(fèi)米系統(tǒng)分布 al 包含的微觀狀態(tài)數(shù)：,將各能級(jí)的結(jié)果相乘，得到費(fèi)米系統(tǒng)與分布 al 相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：,42,熱統(tǒng),三、經(jīng)典極限條件下三種分布微觀狀態(tài)數(shù)的關(guān)系,若滿足,, 稱為經(jīng)典極限條件(或非簡(jiǎn)并性條件),

23、此時(shí)有,即在經(jīng)典極限條件下,43,熱統(tǒng),四 經(jīng)典系統(tǒng)中的分布和微觀狀態(tài)數(shù),經(jīng)典粒子狀態(tài)由 q1qr ，p1pr 的值確定。N 粒子系統(tǒng)對(duì)應(yīng)空間中的N個(gè)點(diǎn)。,坐標(biāo)和動(dòng)量取值連續(xù)，微觀狀態(tài)不可數(shù)。處理如下,第一步： 空間各軸上取間隔 dq1dqr , dp1dpr 圍成體積元 d = dq1 dq2 dqr dp1 dp2 dpr h0r 若體積元很小, 其內(nèi)各點(diǎn)的狀態(tài)都看作相同 相格.,即：處于同一相格內(nèi)的各代表點(diǎn)狀態(tài)都相同。不同相格內(nèi)代表點(diǎn)的狀態(tài)不同。每個(gè)相格就是一個(gè)狀態(tài)。 在一定的相體積內(nèi)包含多少相格，則此體積中就有多少個(gè)力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（微觀態(tài)）。 經(jīng)典力學(xué)中 h0可以任意?。?/p>

24、量子力學(xué)中 h0 最小為 h 。,44,熱統(tǒng),第二步：,再把空間按能量大小劃分成許多能量層，每層體積分別為 1、2 、、l、，每層內(nèi)包含許多相格。 同一能層內(nèi)各狀態(tài) (代表點(diǎn)) 的能量相同.（能層很薄）,不同能層中各點(diǎn)的能量則不同。,某能量層的體積為l ，則此層內(nèi)包含的相格數(shù)為,這些相格的狀態(tài)不同，但具有相同的能量，故相當(dāng)于量子描述中的簡(jiǎn)并度。于是有分布,“簡(jiǎn)并度”,粒子數(shù),能 級(jí),給定了一種分布 al ,45,熱統(tǒng),得到,46,熱統(tǒng),6.6 玻耳茲曼分布,一、玻爾茲曼分布的推導(dǎo)（M.B.系統(tǒng)）,1 寫出分布及對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù),微觀狀態(tài)數(shù)是分布 al 的函數(shù)，可能存在這樣一個(gè)分布，它使系統(tǒng)的

25、微觀狀態(tài)數(shù)最多。 根據(jù)等概率原理，對(duì)于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的，那么微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的概率最大，稱為最可幾分布（最概然分布）。 玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布玻耳茲曼分布。,47,熱統(tǒng),2 取對(duì)數(shù)，用斯特令公式化簡(jiǎn),斯特林近似公式,要求,要求,,48,熱統(tǒng),3 拉格朗日未定乘子法（拉氏乘子法）求極值,對(duì)上式做一次微分，對(duì)于極值，一次微分為零,49,熱統(tǒng),由于系統(tǒng)確定，則還要滿足約束條件：,對(duì)上兩式子做一次微分得到：,上兩式子乘以未定乘子得到：,50,熱統(tǒng),即,稱為 麥克斯韋玻耳茲曼分布（玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布）。,任意，所以,,51,熱統(tǒng),

26、拉氏乘子 、 由約束條件決定：,52,熱統(tǒng),二、粒子按量子態(tài)的分布,某量子態(tài) s 上的平均粒子數(shù),1 按量子態(tài)的分布函數(shù),約束條件為,粒子處于第 l 能級(jí)上的概率為,粒子處于某量子 態(tài) s 上的概率為,53,熱統(tǒng),三、對(duì)玻耳茲曼分布的幾點(diǎn)說明,要證明極大，二階導(dǎo)數(shù)須小于零。,故上述分布為對(duì)應(yīng)最大的分布最概然分布。,對(duì) ln 取二次微分,54,熱統(tǒng),2 分布的可靠程度,設(shè)有分布 al + al 與 M-B 分布al 相對(duì)偏差為al/al 10-5 ，,對(duì)于N = 1023 的宏觀系統(tǒng),設(shè)新的分布對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為,55,熱統(tǒng),可見，對(duì)宏觀系統(tǒng)，在最概然分布處的微觀狀態(tài)數(shù)是一個(gè)非常尖銳的極大值

27、。因此，最概然分布接近于全部可能的微觀狀態(tài)數(shù)，完全可以代表系統(tǒng)平衡時(shí)真正的統(tǒng)計(jì)分布。,3 非簡(jiǎn)并性條件的說明,用到斯特令公式，即要求 al 1, 但實(shí)際上可能不滿足。,四、經(jīng)典系統(tǒng)中的玻耳茲曼分布,,意義： 系統(tǒng)最概然分布時(shí)狀態(tài)位于l 中的粒子數(shù)為al。,56,熱統(tǒng),6.7 玻色分布和費(fèi)米分布,一、玻色分布,包含微觀狀態(tài)數(shù)目最大的分布出現(xiàn)的概率最大，是系統(tǒng)的最概然分布。,57,熱統(tǒng),此式給出了玻色系統(tǒng)粒子的最概然分布，稱為 玻色分布。,二、費(fèi)米分布 費(fèi)米分布的推導(dǎo)作為練習(xí)，請(qǐng)同學(xué)們課后自己推導(dǎo).,58,熱統(tǒng),6.8 三種分布的關(guān)系,,這時(shí)玻色分布和費(fèi)米分布都過渡到玻耳茲曼分布。,由

28、 知,與,是一致的，都稱為 非簡(jiǎn)并性條件，或 經(jīng)典極限條件。,滿足經(jīng)典極限條件時(shí)，玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)都過渡到玻耳茲曼分布。,通常條件下的理想氣體（非定域系）即屬于這種情況。,59,熱統(tǒng),玻耳茲曼系統(tǒng)遵從玻耳茲曼分布。（如順磁固體等定域系統(tǒng)）。,總之：,玻色系統(tǒng)遵守玻色分布；費(fèi)米系統(tǒng)遵守費(fèi)米分布。,滿足經(jīng)典極限條件時(shí)，玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)都滿足玻耳茲曼分布。,定域系統(tǒng)和滿足經(jīng)典極限條件的玻色(費(fèi)米)系統(tǒng)雖然遵從同樣的分布，但它們的微觀狀態(tài)數(shù)是不同的。,60,熱統(tǒng),假如系統(tǒng)可以應(yīng)用 M-B 分布, 而且粒子的能級(jí)非常密集,,則粒子的能量可看作是連續(xù)的，問題可用經(jīng)典方法處理， 這時(shí)的 M-B分布稱

29、為經(jīng)典分布。,61,熱統(tǒng),,第七章,玻耳茲曼統(tǒng)計(jì),62,熱統(tǒng),1、粒子經(jīng)典運(yùn)動(dòng)狀態(tài),a. 代數(shù)描述,b. 幾何描述,粒子相空間（ 空間）,“代表點(diǎn)”,在量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為量子態(tài)。,2、粒子量子運(yùn)動(dòng)狀態(tài),量子態(tài)由一組量子數(shù)表征。,3、簡(jiǎn)并度,一個(gè)能級(jí)對(duì)應(yīng)的不同的量子態(tài)的數(shù)目。,一、粒子微觀運(yùn)動(dòng)的描述,第六章 回顧,63,熱統(tǒng),4、與經(jīng)典描述之間的關(guān)系,對(duì)于宏觀大小的容積，,是很小的量，量子描述趨近于,經(jīng)典描述。,由于不確定關(guān)系， 。 即在體積元 h 內(nèi)的各運(yùn)動(dòng)狀態(tài)， 它們的差別都在測(cè)量誤差之內(nèi)， 即被認(rèn)為是相同的！,以一維自由粒子為例，其相空間的體積元為 。,,一個(gè)量子

30、態(tài)對(duì)應(yīng)粒子相空間的一個(gè) h 大小的體積元（相格）。,64,熱統(tǒng),二、系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)的描述,1、全同和近獨(dú)立粒子的宏觀系統(tǒng),全同粒子,具有相同物理性質(zhì)（質(zhì)量、電荷，自旋等）的 微觀粒子,近獨(dú)立粒子,粒子之間的相互作用可以忽略不計(jì)。,系統(tǒng)粒子數(shù),能量,2、 經(jīng)典微觀系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),粒子可分辨。,系統(tǒng)的微觀狀態(tài)確定,，每個(gè)粒子的微觀狀態(tài)確定。,Nr 個(gè)廣義坐標(biāo)和 Nr 個(gè)廣義動(dòng)量都確定。,65,熱統(tǒng),幾何表示：, 空間 N 個(gè)代表點(diǎn)。,玻耳茲曼分布、玻耳茲曼粒子。,,3、 量子系統(tǒng)的微觀狀態(tài),粒子不可區(qū)分，只知道幾個(gè)粒子在哪個(gè)量子態(tài)，不知道哪幾個(gè)粒子在這個(gè)量子態(tài)。,泡利不相容原理：,自旋半整數(shù)的粒子，

31、在一個(gè)量子態(tài) 不可能有一個(gè)以上的粒子。,自旋整數(shù)的粒子，不受泡利原理限制玻色分布、 玻色粒子。,自旋整半數(shù)粒子費(fèi)米分布、費(fèi)米粒子。,光子(自旋 1 )、聲子 (自旋 1 )、等,電子、質(zhì)子、夸克等 （自旋 1/2 ）,66,熱統(tǒng),4、分布的定義,能級(jí),簡(jiǎn)并度,粒子數(shù),確定的宏觀態(tài),表示一個(gè)分布，滿足,分布對(duì)應(yīng)的微觀態(tài)數(shù),A. 玻耳茲曼系統(tǒng)（玻耳茲曼分布）,B. 玻色分布,C. 費(fèi)米分布,67,熱統(tǒng),,,玻色分布和費(fèi)米分布 趨向于玻耳茲曼分布。,滿足經(jīng)典極限條件時(shí)，玻色（費(fèi)米）系統(tǒng)中的近獨(dú)立粒子在平衡態(tài)遵從玻爾茲曼分布。,68,熱統(tǒng),定域粒子組成的系統(tǒng)，如晶體中的原子或離子定域在

32、其平衡位置附近作微振動(dòng)。從其量子本性來說不可分辨，但可以根據(jù)其平衡位置而加以區(qū)分。在這意義下可以將定域粒子看做可以分辨的粒子，因此由定域粒子組成的系統(tǒng)（定域系統(tǒng)）遵從玻爾茲曼分布。,玻耳茲曼系統(tǒng)（玻耳茲曼分布）,69,熱統(tǒng),一、玻耳茲曼分布,令,則,叫配分函數(shù),7.1 熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式,70,熱統(tǒng),二、熱力學(xué)量,1. 內(nèi)能,2. 功,,能級(jí)不變 分布變,能級(jí)變 分布不變,,統(tǒng)計(jì)表達(dá)式,71,熱統(tǒng),,,能級(jí)不變 分布變,能級(jí)變 分布不變,能級(jí) 的值，是力學(xué)方程 在指定的邊界條件下的解。,力學(xué)系統(tǒng)不變，方程不變， 能級(jí)變，只有邊界條件變。,改變邊界，即做功。,外界對(duì)系 統(tǒng)的力,每個(gè)粒子受力：

33、,功,廣義力統(tǒng)計(jì)表達(dá)式,72,熱統(tǒng),3. 熵,由,得,等式兩邊同乘：,而,且,所以,73,熱統(tǒng),熵,其中令,求全微分,之前求得,由,得到,74,熱統(tǒng),三、熵的統(tǒng)計(jì)意義,玻爾茲曼關(guān)系,,75,熱統(tǒng),說明：1、統(tǒng)計(jì)意義，熵混亂度微觀狀態(tài)數(shù) 2、滿足經(jīng)典極限條件的不可分辨（玻色，費(fèi)米）系統(tǒng),對(duì)于玻色、費(fèi)米分布,76,熱統(tǒng),自由能,對(duì)于定域系統(tǒng),滿足經(jīng)典極限條件的玻色、費(fèi)米系統(tǒng),77,熱統(tǒng),四、經(jīng)典統(tǒng)計(jì)表達(dá)式,所有熱力學(xué)量都可以通過配分函數(shù)表示。,經(jīng)典表達(dá)式,,78,熱統(tǒng),h0對(duì)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)結(jié)果的影響,與h0無關(guān),,,與h0有關(guān),,對(duì)經(jīng)典分布,,不含有,79,熱統(tǒng),一、理想氣體,氣體分子之間的相互作

34、用勢(shì)能被忽略。,二、配分函數(shù),7.2 理想氣體的物態(tài)方程,80,熱統(tǒng),三、物態(tài)方程,四、內(nèi)能,經(jīng)典極限條件,經(jīng)典條件下： 1、N/V愈小，即氣體愈稀薄 2、溫度愈高 3、分子的質(zhì)量愈大,81,熱統(tǒng),,,,,,,,,,,,能量分布,,,,,,,,,,,,速度分布,,出發(fā)點(diǎn)：,7.3 麥克斯韋速度分布率,一、思路,,82,熱統(tǒng),二、速度分布率,是能量在 粒子數(shù)目,，求動(dòng)量在,中粒子數(shù)目，對(duì)空間積分,83,熱統(tǒng),在速度區(qū)間,的粒子數(shù),單位體積內(nèi)在速度區(qū)間,的粒子數(shù),即 麥克斯韋速度分布率,為單位體積內(nèi)粒子數(shù),84,熱統(tǒng),三、速率分布,速率與方向無關(guān)，故需對(duì)上式進(jìn)行角度積分。,物理含義：粒子速率在

35、v-v+dv之間的粒子數(shù)目,85,熱統(tǒng),四、特征速率,最概然速率：使速率分布函數(shù)取極大值的速率； 把速率分為相等的間隔，vm所在間隔分子數(shù)最多。,86,熱統(tǒng),用分布函數(shù)計(jì)算與速率有關(guān)的物理量在速率 0 區(qū)間內(nèi)的平均值,87,熱統(tǒng),平均速率,方均根速率,88,熱統(tǒng),五、瀉流,單位時(shí)間碰到單位面積器壁的 粒子數(shù)單位時(shí)間從器壁上單 位面積空洞逃逸的粒子瀉流,89,熱統(tǒng),一、經(jīng)典統(tǒng)計(jì)證明,對(duì)于處在溫度為 T 的平衡狀態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)，粒子能量中每 一個(gè)平方項(xiàng)的平均值為 。,A. 與動(dòng)能有關(guān)部分,7.4 能量均分定理,粒子的能量= 動(dòng)能+勢(shì)能,某一個(gè)方向的動(dòng)能的平均值為：,90,熱統(tǒng),由于,結(jié)果代入下

36、式,91,熱統(tǒng),B. 與勢(shì)能有關(guān)部分,證明與上面同。,二、經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論的困難,A. 單原子分子理想氣體,P202， 表 7.2,考察幾個(gè)經(jīng)典系統(tǒng),沒有考慮原子內(nèi)的電子運(yùn)動(dòng),92,熱統(tǒng),B. 雙原子分子理想氣體,剛性連接：r =常量,P203， 表 7.3,不能解釋低溫氫氣的性質(zhì)和柔性連接情況,93,熱統(tǒng),C. 理想固體,所有理想固體有 相同的熱容量！,三維線性振子,電子呢？？,經(jīng)典理論不能解釋,實(shí)際結(jié)果,94,熱統(tǒng),D. 空腔內(nèi)輻射場(chǎng),,輻射場(chǎng)形成駐波，單色平面波的電場(chǎng)分量,波矢,色散關(guān)系,（相當(dāng)于動(dòng)量）,在V內(nèi)，dkxdkydkz,中狀態(tài)數(shù),95,熱統(tǒng),每一波矢對(duì)應(yīng)的波有兩個(gè)偏振方向（兩個(gè)獨(dú)

37、立狀態(tài)），故 對(duì)應(yīng)的能量平均值為,故在容積 V 中， d 中平均輻射內(nèi)能,瑞利金斯公式,依這個(gè)公式，總能量,熱力學(xué)結(jié)果,有限！,看樣子，能量均分定理對(duì)雙原子分子理想氣體和輻射場(chǎng)的描述出了毛病，需要另行研究。,量子修正,96,熱統(tǒng),根據(jù)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的能量均分定理得出的理想氣體的內(nèi)能和熱容量與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比較，大體相符，無法合理解釋的問題：,1. 原子內(nèi)的電子對(duì)氣體的熱容量為什么沒有貢獻(xiàn)；,2. 雙原子分子的振動(dòng)在常溫范圍為什么對(duì)熱容量無貢獻(xiàn)；,3. 低溫下氫的熱容量所得結(jié)果與實(shí)驗(yàn)不符。,量子理論給出解釋，討論雙原子分子理想氣體內(nèi)能和熱容量的量子統(tǒng)計(jì)理論。,97,熱統(tǒng),雙原子分子理想氣體,分子的能量：質(zhì)

38、心平動(dòng)(t)，振動(dòng)(v)和轉(zhuǎn)動(dòng)(r)。,相應(yīng)的簡(jiǎn)并度為,,,,,,,,7.5 理想氣體的內(nèi)能和熱容量,總的簡(jiǎn)并度有,98,熱統(tǒng),配分函數(shù),內(nèi)能,熱容量,99,熱統(tǒng),二、質(zhì)心平動(dòng),質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能表達(dá)式與單原子分子理想氣體分子動(dòng)能相同,三、振動(dòng)能量,兩個(gè)原子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)可以看作圓頻率 線性振動(dòng)，能量 的量子表達(dá)式,式7.2.4,,簡(jiǎn)并度,100,熱統(tǒng),振動(dòng)配分函數(shù),101,熱統(tǒng),內(nèi)能,熱容量,第一項(xiàng):與溫度無關(guān)，N個(gè)振子的零點(diǎn)能量,第二項(xiàng):溫度為T時(shí)的熱激發(fā)能量,102,熱統(tǒng),“零點(diǎn)能”就是物質(zhì)在絕對(duì)溫度為零度下在真空中產(chǎn)生的能量。 為什么在真空中會(huì)存在“零點(diǎn)能”呢？著名物理學(xué)家海森伯提出了“測(cè)不

39、準(zhǔn)原理”，認(rèn)為“不可能同時(shí)知道同一粒子的位置和動(dòng)量”?？茖W(xué)家們認(rèn)為，即使在粒子不再有任何熱運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，它們?nèi)詴?huì)繼續(xù)抖動(dòng)，能量的情形也是如此。這就意味著即使是在真空中，能量會(huì)繼續(xù)存在，而且由于能量和質(zhì)量是等效的，真空能量導(dǎo)致粒子一會(huì)兒存在、一會(huì)兒消失，能量也就在這種被科學(xué)家稱為“起伏”的狀態(tài)中誕生。從理論上講，任何體積的真空都可能包含著無數(shù)的“起伏”，因而也就含有無數(shù)的能量。早在1948年，荷蘭物理學(xué)家亨德里克卡什米爾就曾設(shè)計(jì)出探測(cè)“零點(diǎn)能”的方法。1998年，美國(guó)洛斯阿拉莫斯國(guó)家實(shí)驗(yàn)室和奧斯汀高能物理研究所的科學(xué)家們，用原子顯微鏡測(cè)出了“零點(diǎn)能”。,103,熱統(tǒng),高溫極限和低溫極限,振動(dòng)特征溫

40、度,或,高溫極限,低溫極限,室溫，振動(dòng)無貢獻(xiàn) 剛性分子,104,熱統(tǒng),轉(zhuǎn)動(dòng)配分函數(shù)（異核情況）,轉(zhuǎn)動(dòng)特征溫度,表7.5,室溫是高溫,求和變積分,轉(zhuǎn)動(dòng)能級(jí),簡(jiǎn)并度,105,熱統(tǒng),轉(zhuǎn)動(dòng)配分函數(shù)（同核情況）氫,據(jù)微觀粒子全同性原理，氫分子轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)：兩氫核的自旋平行，轉(zhuǎn)動(dòng)量子數(shù)l只能取奇數(shù)正氫；兩氫核的自旋反平行，轉(zhuǎn)動(dòng)量子數(shù)l只能取偶數(shù)仲氫。,通常實(shí)驗(yàn)條件下，正氫占四分之三，仲氫占四分之一，氫氣是正氫和仲氫的非平衡混合物。,低溫下的氫， 即不滿足條件,不能得到,低溫下，氫的熱容與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符,106,熱統(tǒng),結(jié)論：在玻爾茲曼分布適用的條件下，如果任意兩個(gè)相鄰能級(jí)的能量差遠(yuǎn)小于熱運(yùn)動(dòng)能量kT，粒子的能量就

41、可以看作準(zhǔn)連續(xù)的變量，由量子統(tǒng)計(jì)和有經(jīng)典統(tǒng)計(jì)得到的內(nèi)能和熱容量是相同的。,電子：原子內(nèi)電子的激發(fā)態(tài)與基態(tài)能量差110eV，相應(yīng)的特征溫度104105K,遠(yuǎn)大于 ，常溫下，電子只能處在基態(tài)而不改變內(nèi)能，即常溫下電子對(duì)氣體的熱容沒有貢獻(xiàn)。,107,熱統(tǒng),經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論,7.6 理想氣體的熵,（單原子氣體）,h0可取任意小數(shù)值，最小值為h，S的值與h0的取值有關(guān)，不是絕對(duì)熵。,108,熱統(tǒng),不含任意常數(shù)，是絕對(duì)熵。,量子統(tǒng)計(jì)理論,上兩式形式上相似，對(duì)于同種理想氣體混合，存在熵增，即有吉布斯佯謬。,109,熱統(tǒng),實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：對(duì)于氣體,其中,110,熱統(tǒng),薩庫爾-鐵特羅特公式,在低溫下,實(shí)驗(yàn)測(cè)量低溫下的氣

42、體蒸汽壓結(jié)果與上式計(jì)算結(jié)果完全吻合！,討論,111,熱統(tǒng),固體三維線性振子的集合。,經(jīng)典描述能量均分定理,7.7 固體熱容量的愛因斯坦理論,經(jīng)典理論不能解釋,實(shí)際結(jié)果,量子理論如何解釋？,112,熱統(tǒng),愛因斯坦：固體是量子線性振子的集合。每個(gè)振子三個(gè) 獨(dú)立的線性振動(dòng)，假設(shè)所有振子頻率相同。,113,熱統(tǒng),討論高溫極限和低溫極限,愛因斯坦特征溫度,高溫極限,低溫極限,T/E,114,熱統(tǒng),,磁矩,在外磁場(chǎng)系統(tǒng)磁化能量,簡(jiǎn)并度,7.8 順磁性固體,考慮晶格上近獨(dú)立的磁性粒子構(gòu)成的定域系統(tǒng)，粒子服從玻耳茲曼分布，粒子在外磁場(chǎng)B下被磁化,在外磁場(chǎng)下磁矩有兩個(gè)方向，順磁場(chǎng)和逆磁場(chǎng)方向（順磁和抗

43、磁的結(jié)果），能量有兩個(gè)能級(jí),115,熱統(tǒng),磁化強(qiáng)度m（廣義力），磁場(chǎng)強(qiáng)度B（廣義位移）,外場(chǎng)變化時(shí)，對(duì)磁矩做的功為：,廣義力,116,熱統(tǒng),高溫弱場(chǎng)情況,,居里定理，磁化率：,物理含義：磁矩部分被磁化,討論：,117,熱統(tǒng),低溫強(qiáng)場(chǎng)情況,物理含義：自旋磁矩都沿外磁場(chǎng)方向，完全順磁！,內(nèi)能,內(nèi)能表示：順磁體在外場(chǎng)中的勢(shì)能！,單位體積的內(nèi)能,118,熱統(tǒng),單位體積的熵,高溫弱場(chǎng)情況,微觀狀態(tài)數(shù),兩個(gè)方向 等概率,119,熱統(tǒng),低溫強(qiáng)場(chǎng)情況,物理含義：一個(gè)指向，微觀狀態(tài)數(shù)：1個(gè),120,熱統(tǒng),一般系統(tǒng)，熵隨內(nèi)能單調(diào)增加，溫度恒正；,一些特殊系統(tǒng)，熵函數(shù)隨內(nèi)能不單調(diào)增加，當(dāng)系統(tǒng)的內(nèi)能增加熵反而減小時(shí)系

44、統(tǒng)處于負(fù)溫度狀態(tài)。,核自旋系統(tǒng),在外場(chǎng)B下核自旋量子數(shù)為1/2的系統(tǒng),能量,7.9 負(fù)溫度狀態(tài),由熱力學(xué)基本方程,得到,在外磁場(chǎng)下磁矩有兩個(gè)方向，順磁場(chǎng)和逆磁場(chǎng)方向（順磁和抗磁的結(jié)果），能量有兩個(gè)能級(jí),121,熱統(tǒng),系統(tǒng)粒子總數(shù),+、- 號(hào)表示能量分別為,系統(tǒng)總能量,,122,熱統(tǒng),系統(tǒng)微光狀態(tài)數(shù),表示N個(gè)離子交換， 扣除同能級(jí)粒子的交換,系統(tǒng)熵：,由條件,123,熱統(tǒng),124,熱統(tǒng),,第八章,玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì),125,熱統(tǒng),定域粒子組成的系統(tǒng)，滿足經(jīng)典極限條件（非簡(jiǎn)并條件）的近獨(dú)立粒子系統(tǒng),玻耳茲曼系統(tǒng)（玻耳茲曼分布）,8.1 熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá),經(jīng)典極限條件（非簡(jiǎn)并條件）,一、從非簡(jiǎn)并到

45、簡(jiǎn)并,,玻色分布和費(fèi)米分布 趨向于玻耳茲曼分布。,,孤立系統(tǒng),126,熱統(tǒng),,,玻色統(tǒng)計(jì),費(fèi)米統(tǒng)計(jì),不滿足非簡(jiǎn)并條件,采用玻色分布或費(fèi)米分布,二、巨配分函數(shù),對(duì)比玻耳茲曼分布,開放系統(tǒng)，與源達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡，粒子數(shù)在能級(jí)上的平均分布。,127,熱統(tǒng),1 平均粒子數(shù),,對(duì)比玻耳茲曼分布,三、用巨配分函數(shù)表示熱力學(xué)量,128,熱統(tǒng),2 內(nèi)能,,對(duì)比玻耳茲曼分布,129,熱統(tǒng),3 廣義力,壓強(qiáng),對(duì)比玻耳茲曼分布,130,熱統(tǒng),4 其它熱力學(xué)函數(shù),*,*,*,*,由開系的熱力學(xué)公式,131,熱統(tǒng),熵,,與玻耳茲曼關(guān)系比較,132,熱統(tǒng),對(duì)于玻色分布,？,133,熱統(tǒng),,,,134,熱統(tǒng),對(duì)于費(fèi)米分布,？,

46、135,熱統(tǒng),,,,136,熱統(tǒng),玻色統(tǒng)計(jì)與費(fèi)米統(tǒng)計(jì)描述不可區(qū)分的粒子系統(tǒng)。主要是空間中不可區(qū)分。但當(dāng)粒子在空間可以區(qū)分時(shí)（稀薄氣體），應(yīng)該由描述可區(qū)分粒子系統(tǒng)的理論玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)描述。,,一、 弱簡(jiǎn)并氣體,雖小但不可忽略,8.2 弱簡(jiǎn)并玻色氣體和費(fèi)米氣體,137,熱統(tǒng),考慮平動(dòng),,總粒子數(shù),粒子微觀狀態(tài)數(shù),6.2.17式,138,熱統(tǒng),兩式相除得到,內(nèi)能,又,139,熱統(tǒng),附錄 C.15,近似求解過程：,140,熱統(tǒng),141,熱統(tǒng),二、 弱簡(jiǎn)并條件物理含義,利用玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)的結(jié)果,第二項(xiàng)：微觀粒子全同性引起的量子統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)導(dǎo)致的 附加內(nèi)能,費(fèi)米粒子相互排斥；玻色粒子相互吸引。,第一項(xiàng)：根據(jù)

47、玻耳茲曼分布得到的內(nèi)能,142,熱統(tǒng),一、玻色氣體的化學(xué)勢(shì),玻色分布下一個(gè)能級(jí)的粒子數(shù),最低能級(jí),,在粒子數(shù)給定情況下，與T的關(guān)系,隨溫度的升高而降低,8.3 玻色愛因斯坦凝聚,143,熱統(tǒng),連續(xù)化,臨界溫度Tc：所有玻色粒子都在 非零能級(jí)的最低溫度,能級(jí),,能級(jí),,可以忽略,n0可以和所有激發(fā)態(tài)能級(jí)上粒子數(shù)相比較，即粒子都往 能級(jí)聚集。,144,熱統(tǒng),,,,令,145,熱統(tǒng),玻色粒子都在高能級(jí)。,高能級(jí)裝不下所有玻色粒子， 必有可觀數(shù)目粒子出現(xiàn)在零能級(jí)。 玻色愛因斯坦凝聚。,146,熱統(tǒng),因此，為了容易實(shí)現(xiàn)玻色愛因斯坦凝聚，需要提高臨界溫度。 為此，要提高氣體密度，減小氣體粒子質(zhì)量。,二、

48、熱力學(xué)量,,,T

49、148,熱統(tǒng),S. Bose,A. Einstein,1924年，玻色和愛因斯坦在理論上預(yù)言了玻色愛因斯坦凝聚（BEC:Bose-Einstein Condensation）現(xiàn)象, 如果將原子氣體冷卻到非常低的溫度，那么所有原子會(huì)突然以可能的最低能態(tài)凝聚。,149,熱統(tǒng),光子輻射場(chǎng)能量的量子化，自旋 1玻色子。 平衡輻射場(chǎng)中，光子數(shù)不守恒。 空窖壁不斷吸收和發(fā)射光子，保持能量守恒，但光子能量有高有低，發(fā)射光子平均能量高發(fā)射光子數(shù)目少，被吸收的光子平均能量低，被吸收的光子數(shù)目就多，因此不要求光子數(shù)守恒。,8.4 光子氣體,一、光子氣體特性,光子氣體服從玻色分布,化學(xué)勢(shì)描述 物質(zhì)變化,150,熱

50、統(tǒng),二、普朗克公式,德布羅意關(guān)系：,色散關(guān)系：,,光子能動(dòng)關(guān)系,分布：,151,熱統(tǒng),普朗克公式,(輻射場(chǎng)內(nèi)能),低頻（弱簡(jiǎn)并），經(jīng)典描述能量均分定理。,瑞利-金斯公式,一個(gè)量子態(tài)的平均粒子數(shù),152,熱統(tǒng),三、平衡輻射公式,熱力學(xué)只能通過實(shí)驗(yàn)確定系數(shù)a；統(tǒng)計(jì)物理可以計(jì)算a,1. 內(nèi)能,高頻,U隨的增加迅速趨近于零。溫度為T的平衡輻射中，高頻光子幾乎不存在；溫度為T時(shí)，窖壁發(fā)射高頻光子的概率極小。,153,熱統(tǒng),2. 維恩位移律,內(nèi)能最大的頻率,T3T2T1,154,熱統(tǒng),3. 壓強(qiáng)、輻射通量密度,中量子態(tài)數(shù),分部積分,155,熱統(tǒng),平衡輻射通量密度,習(xí)題7.2結(jié)果,156,熱統(tǒng),每個(gè)原子貢獻(xiàn)

51、一個(gè)電子， 晶格中的自由電子氣體。,晶格三維線性振子,電子對(duì)熱容量的 貢獻(xiàn)未計(jì)！,8.5 金屬中的自由電子氣體,157,熱統(tǒng),量子性質(zhì),例Cu：,非簡(jiǎn)并條件,158,熱統(tǒng),二、T=0K,1. 費(fèi)米氣體,一個(gè)量子態(tài)的平均費(fèi)米粒子數(shù),電子 g=2；,間粒子數(shù),每個(gè)量子態(tài)上最多能容納一個(gè)粒子（費(fèi)米子遵從泡利原理）。,服從費(fèi)米,粒子微觀狀態(tài)數(shù),6.2.17式,159,熱統(tǒng),,對(duì)能量積分得到粒子數(shù)總數(shù),2. 化學(xué)勢(shì),泡令不相容原理,160,熱統(tǒng),費(fèi)米能級(jí),費(fèi)米動(dòng)量,能量,161,熱統(tǒng),內(nèi)能,例Cu,,費(fèi)米能級(jí),162,熱統(tǒng),費(fèi)米溫度,Cu:,零溫電子氣體壓強(qiáng)簡(jiǎn)并壓,習(xí)題7.1結(jié)果,163,熱統(tǒng),三、T0K,,,,,,,,,,,,,1.平均粒子數(shù),粒子分布只在u附近（kT量級(jí)）有變化,164,熱統(tǒng),Cu 室溫,與晶格的熱容量相比，電子貢獻(xiàn)可以忽略。,只有費(fèi)米能級(jí)附近 能級(jí)中電子可以跳到費(fèi)米能級(jí)之上。即吸熱，對(duì)熱熔有貢獻(xiàn)，有效電子數(shù),每個(gè)粒子貢獻(xiàn)熱容量,2. 熱容量估計(jì),