中考數(shù)學總復習 第一部分 考點知識梳理 2.4 解直角三角形課件.ppt

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2.4 解直角三角形,命題解讀,考綱解讀,理解銳角三角函數(shù)的意義,了解并能熟記特殊角(30°,45°,60°)的三角函數(shù)值;能夠利用直角三角形的角之間的關(guān)系、邊之間的關(guān)系(勾股定理)、邊角之間的關(guān)系(直角三角形中銳角的三角函數(shù)關(guān)系)正確地解直角三角形.能夠利用解直角三角形的方法解決簡單的實際問題.,命題解讀,考綱解讀,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,考點1 銳角三角函數(shù) 1.三角函數(shù)的定義及關(guān)系 如圖,在△ABC中,∠C=90°. (1)銳角A的 對邊 與 斜邊 的比叫做∠A的正弦,記作sin A,,,,,,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,典例1 (2016·貴州安順)如圖,在網(wǎng)格中,小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上,則∠ABC的正切值是 ( ),【答案】 D,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,【方法指導】解直角三角形時輔助線的常用作法 我們談的三角函數(shù)都是放在直角三角形中來研究的,所以如果沒有直角三角形,就需要作出輔助線,構(gòu)造一個適當?shù)闹苯侨切?從而可以利用三角函數(shù)解決問題.,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,【變式訓練】(2016·四川樂山)如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點D,則下列結(jié)論不正確的是 ( C ),,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,考點2 特殊角的三角函數(shù)值 1.特殊角的三角函數(shù)值,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,這些特殊角的三角函數(shù)值,不但在本部分知識中經(jīng)常用到,而且在一些整式計算、分式計算以及二次根式的計算中,也經(jīng)常出現(xiàn),所以對這些特殊角的三角函數(shù)值要找準規(guī)律記準記牢.,2.三角函數(shù)值的變化規(guī)律 (1)當0°α90°時,sin α,tan α隨著α的增大(或減小)而 增大(或減小) . (2)當0°α90°時,cos α隨著α的增大(或減小)而 減小(或增大) . 3.銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系 (1)同角之間的三角函數(shù)關(guān)系:sin2α+cos2α= 1 ;tan α= . (2)互余兩角的三角函數(shù)之間的關(guān)系:sin α=cos (90°-α) ;cos α=sin (90°-α) .,,,,,,,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,典例2 (2016·江蘇無錫)sin 30°的值為 ( ) 【解析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值,可以求得sin30°的值.sin30°= . 【答案】 A,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,考點3 直角三角形中的邊角關(guān)系和解直角三角形 1.直角三角形中的邊角關(guān)系 (1)三邊的關(guān)系:a2+b2=c2. (2)角的關(guān)系:∠A+∠B=90°.,2.解直角三角形的類型及解法,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,列出的這些解直角三角形的方法,僅是一般方法,在具體的問題中,要根據(jù)所給出的條件靈活處理.,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,典例3 (2016·湖南懷化)在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A= ,AC=6 cm,則BC的長度為 ( ) A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求得BC和AB的比值,設(shè)出BC,AB,然后利用勾股定理即可求 解.∵sinA= ,∴設(shè)BC=4x,AB=5x,又∵AC2+BC2=AB2,∴62+(4x)2=(5x)2,解得x=2或x=-2(舍去),則BC=4x=8cm. 【答案】 C,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,【變式訓練】(2016·內(nèi)蒙古包頭)如圖,已知四邊形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC的延長線與AD的延長線交于點E. (1)若∠A=60°,求BC的長; (2)若sin A= ,求AD的長. (注意:本題中的計算過程和結(jié)果均保留根號),備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,考點4 解直角三角形的簡單實際問題 幾個常用概念,,,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,解直角三角形的應(yīng)用,要注意把這些實際問題抽象為解直角三角形的問題,如果實際問題中沒有直角三角形,要注意根據(jù)實際問題的具體情況構(gòu)造出直角三角形,從而為解決實際問題創(chuàng)造條件.,,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,典例4 (2016·湖南婁底)蕪湖長江大橋是中國跨度最大的公路和鐵路兩用橋梁,大橋采用低塔斜拉橋橋型(如甲圖),圖乙是從圖甲引申出的平面圖,假設(shè)你站在橋上測得拉索AB與水平橋面的夾角是30°,拉索CD與水平橋面的夾角是60°,兩拉索頂端的距離BC為2米,兩拉索底端距離AD為20米,請求出立柱BH的長.(結(jié)果精確到0.1米, ≈1.732),備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,典例5 (2016·遼寧葫蘆島)在一次課外實踐活動中,同學們要測量某公園人工湖兩側(cè)A,B兩個涼亭之間的距離.如圖,現(xiàn)測得∠ABC=30°,∠BAC=15°,AC=200米,請計算A,B兩個 涼亭之間的距離.(結(jié)果精確到1米,參考數(shù)據(jù): 【解析】過點A作AD⊥BC,交BC的延長線于點D,根據(jù)∠ABC=30°,∠BAC=15°求得∠CAD=45°,Rt△ACD中由AC長度知AD=AC·cos∠CAD,再根據(jù)AB= 可得答案.,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,【答案】如圖,過點A作AD⊥BC,交BC的延長線于點D, ∵∠B=30°, ∴∠BAD=60°, 又∵∠BAC=15°, ∴∠CAD=45°, 在Rt△ACD中,∵AC=200米,,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點4,【變式訓練】(2016·蘭州)如圖,一垂直于地面的燈柱AB被一鋼筋CD固定,CD與地面成45°夾角(∠CDB=45°),在C點上方2米處加固另一條鋼線ED,ED與地面成53°夾角(∠EDB=53°),那么鋼線ED的長度約為多少米?(結(jié)果精確到1米,參考數(shù)據(jù):sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,tan 53°≈1.33),備課資料,考點掃描,1.利用等腰三角形與三角函數(shù)相結(jié)合解決問題 典例1 “一炷香”是聞名中外的恩施大峽谷著名的景點.某校綜合實踐活動小組先在峽谷對面的廣場上的A處測得“香頂”N的仰角為45°,此時,他們剛好與“香底”D在同一水平線上.然后沿著坡度為30°的斜坡正對著“一炷香”前行110米,到達B處,測得“香頂”N的仰角為60°.根據(jù)以上條件求出“一炷香”的高度.(測角器的高度忽略不計,結(jié)果精確到1米,參考 數(shù)據(jù):,備課資料,考點掃描,【解析】首先過點B作BF⊥DN于點F,過點B作BE⊥AD于點E,可得四邊形BEDF是矩形,然后在Rt△ABE中,由三角函數(shù)的性質(zhì),可求得AE與BE的長,再設(shè)BF=x米,利用三角函數(shù)的知 識,即可求得方程 55 +x= x+55，繼而可求得答案.,【答案】過點B作BF⊥DN于點F,過點B作BE⊥AD于點E. ∵∠D=90°, ∴四邊形BEDF是矩形, ∴BE=DF,BF=DE.,備課資料,考點掃描,備課資料,考點掃描,【方法指導】利用三角函數(shù)求線段的長,一般都要將所求線段放入到某個直角三角形中,利用邊與角所成的三角函數(shù)解題.,備課資料,考點掃描,2.三角函數(shù)與三角形相似、平面直角坐標系相結(jié)合解決問題 典例2 在東西方向的海岸線l上有一長為1 km的碼頭MN(如圖),在碼頭西端M的正西19.5 km處有一觀察站A.某時刻測得一艘勻速直線航行的輪船位于A的北偏西30°,且與A相距40 km的B處;經(jīng)過1小時20分鐘,又測得該輪船位于A的北偏東60°,且與A相距8 km的C處. (1)求該輪船航行的速度(保留精確結(jié)果). (2)如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行,那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸?請說明理由.,備課資料,考點掃描,【解析】(1)由題可知,△ABC為直角三角形,根據(jù)勾股定理可求出BC的長,再由路程÷時間=速度即可求解;(2)作BR⊥l于點R,作CS⊥l于點S,延長BC交l于T,在Rt△ACS中,由三角函數(shù)的性質(zhì),可求得AC與CS的長,在Rt△ABR中,由三角函數(shù)的性質(zhì),可求得BR與AR的長,由△STC∽△RTB可求得ST的長,進而求得AT,AN的長,可得AMATAN,即輪船正好行至碼頭MN靠岸.,備課資料,考點掃描,備課資料,考點掃描,備課資料,考點掃描,∵BR∥CS,∴△STC∽△RTB, 解得ST=8. ∴AT=12+8=20. 又∵AM=19.5,MN長為1,∴AN=20.5, ∵19.5AT20.5, ∴輪船能夠正好行至碼頭MN靠岸.,【方法指導】正確理解方向角的概念是解題的關(guān)鍵,同時把所求線段放入到合適的直角三角形中,才能找到解決問題的思路.,命題點,命題點 解直角三角形的應(yīng)用(必考) 1.(2012·安徽第10題)在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點,分別沿斜邊中點與這兩點的連線剪去兩個三角形,剩下的部分是如圖所示的直角梯形,其中三邊長分別為2,4,3,則原直角三角形紙片的斜邊長是 ( C ),,命題點,命題點,2.(2016·安徽第19題)如圖,河的兩岸l1與l2相互平行,A,B是l1上的兩點,C,D是l2上的兩點.某人在點A處測得∠CAB=90°,∠DAB=30°,再沿AB方向前進20米到達點E(點E在線段AB上),測得∠DEB=60°,求C,D兩點間的距離.,命題點,解:過點D作l1的垂線,垂足為點F, ∵∠DEB=60°,∠DAB=30°, ∴∠ADE=∠DEB-∠DAB=30°, ∴△ADE為等腰三角形, ∴DE=AE=20(米), 在Rt△DEF中,EF=DE·cos 60°=20× =10(米). ∵DF⊥AF,∴∠DFB=90°,∴AC∥DF, 由已知l1∥l2,∴CD∥AF, ∴四邊形ACDF為矩形, ∴CD=AF=AE+EF=30(米), 答:C,D兩點間的距離為30米.,命題點,3.(2015·安徽第18題)如圖,平臺AB高為12 m,在B處測得樓房CD頂部點D的仰角為45°,底部點C的俯角為30°,求樓房CD的高度.( ≈1.7),