高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 3-3 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用課件 理.ppt

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第3講 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,考試要求 1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值，解決與之有關(guān)的方程(不等式)問(wèn)題，B級(jí)要求；2.利用導(dǎo)數(shù)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，B級(jí)要求．,知 識(shí) 梳 理 1．生活中的優(yōu)化問(wèn)題 通常求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題稱(chēng)為優(yōu)化問(wèn)題，一般地，對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，若函數(shù)在給定的定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么該點(diǎn)也是最值點(diǎn)．,2．利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟,3．不等式的證明與不等式恒成立問(wèn)題 (1)證明不等式時(shí)，可構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值或最值問(wèn)題． (2)求解不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，可以考慮將參數(shù)分離出來(lái)，將參數(shù)范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究新函數(shù)的值域問(wèn)題．,診 斷 自 測(cè) 1．思考辨析(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”) (1)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值． ( ),√,×,×,√,2. 如圖，用鐵絲彎成一個(gè)上面是半圓，下面是矩形的圖形，其面積為a m2.為使所用材料最省，底寬應(yīng)為_(kāi)_______m.,3．設(shè)直線x＝t，與函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝ln x的圖象分別交于點(diǎn)M，N，則當(dāng)MN達(dá)到最小時(shí)t的值為_(kāi)_______．,答案 f(a)f(b),5．(蘇教版選修2－2P35例1改編)從邊長(zhǎng)為10 cm×16 cm的矩形紙板的四角截去四個(gè)相同的小正方形，作成一個(gè)無(wú)蓋的盒子，則盒子容積的最大值為_(kāi)_______cm3. 答案 144,考點(diǎn)一 利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題,規(guī)律方法 “恒成立”與“存在性”問(wèn)題的求解是“互補(bǔ)”關(guān)系，即f(x)≥g(a)對(duì)于x∈D恒成立，應(yīng)求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，應(yīng)求f(x)的最大值．在具體問(wèn)題中究竟是求最大值還是最小值，可以先聯(lián)想“恒成立”是求最大值還是最小值，這樣也就可以解決相應(yīng)的“存在性”問(wèn)題是求最大值還是最小值．特別需要關(guān)注等號(hào)是否成立問(wèn)題，以免細(xì)節(jié)出錯(cuò)．,考點(diǎn)二 導(dǎo)數(shù)在方程(函數(shù)零點(diǎn))中的應(yīng)用,規(guī)律方法 (1)研究函數(shù)圖象的交點(diǎn)、方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)歸根到底是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)． (2)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷；另一方面，也可將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合建立所含參數(shù)的方程(或不等式)來(lái)解決．,【訓(xùn)練2】 (2013·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝x2＋xsin x＋cos x. (1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(a，f(a))處與直線y＝b相切，求a與b的值； (2)若曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求b的取值范圍． 解 由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，得f′(x)＝2x＋sin x＋x(sin x)′－sin x＝x(2＋cos x)． (1)因?yàn)榍€y＝f(x)在點(diǎn)(a，f(a))處與直線y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)． 解得a＝0，b＝f(0)＝1.,(2)設(shè)g(x)＝f(x)－b＝x2＋xsin x＋cos x－b. 令g′(x)＝f′(x)－0＝x(2＋cos x)＝0，得x＝0. 當(dāng)x變化時(shí)，g′(x)，g(x)的變化情況如下表： 所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且g(x)的最小值為g(0)＝1－b. ①當(dāng)1－b≥0時(shí)，即b≤1時(shí)，g(x)＝0至多有一個(gè)實(shí)根，曲線y＝f(x)與y＝b最多有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意．,②當(dāng)1－b1時(shí)，有g(shù)(0)＝1－b4b－2b－1－b0. ∴y＝g(x)在(0,2b)內(nèi)存在零點(diǎn)， 又y＝g(x)在R上是偶函數(shù)，且g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴y＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一零點(diǎn)，在(－∞，0)也有唯一零點(diǎn)．故當(dāng)b1時(shí)，y＝g(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)， 則曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個(gè)不同交點(diǎn)． 綜上可知，如果曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個(gè)不同交點(diǎn)，那么b的取值范圍是(1，＋∞)．,考點(diǎn)三 導(dǎo)數(shù)與生活中的優(yōu)化問(wèn)題 【例3】 (2014·蘇、錫、常、鎮(zhèn)模擬)某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率). (1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域； (2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大．,規(guī)律方法 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟 (1)分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)，并注意定義域； (2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0， 求f′(x)的零點(diǎn)； (3)研究f(x)的單調(diào)性，最值； (4)回歸實(shí)際問(wèn)題作答．,于是，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： 所以，當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值， 且最大值等于42. 答：當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.,[思想方法] 1．利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)的函數(shù)的零點(diǎn)或方程根的情況，要注意分類(lèi)討論思想及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 2．在實(shí)際問(wèn)題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么只要根據(jù)實(shí)際意義判定是最大值還是最小值即可，不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值比較． 3．含參不等式恒成立問(wèn)題，一般是分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題．,[易錯(cuò)防范] 1. 若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式，要注意“＝”是否可以取到． 2．實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)定義域一般受實(shí)際問(wèn)題的制約，不可盲目地確定函數(shù)的定義域；在解題時(shí)要注意單位的一致性；把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題后，要根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題中求得的結(jié)果對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出解釋?zhuān)?