高考數(shù)學一輪復習 3-3 導數(shù)的綜合應用課件 理.ppt

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第3講 導數(shù)的綜合應用,考試要求 1.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極(最)值，解決與之有關的方程(不等式)問題，B級要求；2.利用導數(shù)解決某些簡單的實際問題，B級要求．,知 識 梳 理 1．生活中的優(yōu)化問題 通常求利潤最大、用料最省、效率最高等問題稱為優(yōu)化問題，一般地，對于實際問題，若函數(shù)在給定的定義域內只有一個極值點，那么該點也是最值點．,2．利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟,3．不等式的證明與不等式恒成立問題 (1)證明不等式時，可構造函數(shù)，將問題轉化為函數(shù)的極值或最值問題． (2)求解不等式恒成立問題時，可以考慮將參數(shù)分離出來，將參數(shù)范圍問題轉化為研究新函數(shù)的值域問題．,診 斷 自 測 1．思考辨析(請在括號中打“√”或“×”) (1)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值． ( ),√,×,×,√,2. 如圖，用鐵絲彎成一個上面是半圓，下面是矩形的圖形，其面積為a m2.為使所用材料最省，底寬應為________m.,3．設直線x＝t，與函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝ln x的圖象分別交于點M，N，則當MN達到最小時t的值為________．,答案 f(a)f(b),5．(蘇教版選修2－2P35例1改編)從邊長為10 cm×16 cm的矩形紙板的四角截去四個相同的小正方形，作成一個無蓋的盒子，則盒子容積的最大值為________cm3. 答案 144,考點一 利用導數(shù)解決不等式問題,規(guī)律方法 “恒成立”與“存在性”問題的求解是“互補”關系，即f(x)≥g(a)對于x∈D恒成立，應求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，應求f(x)的最大值．在具體問題中究竟是求最大值還是最小值，可以先聯(lián)想“恒成立”是求最大值還是最小值，這樣也就可以解決相應的“存在性”問題是求最大值還是最小值．特別需要關注等號是否成立問題，以免細節(jié)出錯．,考點二 導數(shù)在方程(函數(shù)零點)中的應用,規(guī)律方法 (1)研究函數(shù)圖象的交點、方程的根、函數(shù)的零點歸根到底是研究函數(shù)的單調性、極值、最值等性質． (2)用導數(shù)研究函數(shù)的零點，一方面用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，借助零點存在性定理判斷；另一方面，也可將零點問題轉化為函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結合建立所含參數(shù)的方程(或不等式)來解決．,【訓練2】 (2013·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝x2＋xsin x＋cos x. (1)若曲線y＝f(x)在點(a，f(a))處與直線y＝b相切，求a與b的值； (2)若曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個不同交點，求b的取值范圍． 解 由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，得f′(x)＝2x＋sin x＋x(sin x)′－sin x＝x(2＋cos x)． (1)因為曲線y＝f(x)在點(a，f(a))處與直線y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)． 解得a＝0，b＝f(0)＝1.,(2)設g(x)＝f(x)－b＝x2＋xsin x＋cos x－b. 令g′(x)＝f′(x)－0＝x(2＋cos x)＝0，得x＝0. 當x變化時，g′(x)，g(x)的變化情況如下表： 所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調遞減，在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞增，且g(x)的最小值為g(0)＝1－b. ①當1－b≥0時，即b≤1時，g(x)＝0至多有一個實根，曲線y＝f(x)與y＝b最多有一個交點，不合題意．,②當1－b1時，有g(0)＝1－b4b－2b－1－b0. ∴y＝g(x)在(0,2b)內存在零點， 又y＝g(x)在R上是偶函數(shù)，且g(x)在(0，＋∞)上單調遞增， ∴y＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一零點，在(－∞，0)也有唯一零點．故當b1時，y＝g(x)在R上有兩個零點， 則曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個不同交點． 綜上可知，如果曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個不同交點，那么b的取值范圍是(1，＋∞)．,考點三 導數(shù)與生活中的優(yōu)化問題 【例3】 (2014·蘇、錫、常、鎮(zhèn)模擬)某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)．設該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設建造成本僅與表面積有關，側面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率). (1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域； (2)討論函數(shù)V(r)的單調性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大．,規(guī)律方法 利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟 (1)分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關系式y(tǒng)＝f(x)，并注意定義域； (2)求函數(shù)的導數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0， 求f′(x)的零點； (3)研究f(x)的單調性，最值； (4)回歸實際問題作答．,于是，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： 所以，當x＝4時，函數(shù)f(x)取得最大值， 且最大值等于42. 答：當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.,[思想方法] 1．利用導數(shù)研究含參數(shù)的函數(shù)的零點或方程根的情況，要注意分類討論思想及數(shù)形結合思想的應用． 2．在實際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內只有一個極值點，那么只要根據(jù)實際意義判定是最大值還是最小值即可，不必再與端點的函數(shù)值比較． 3．含參不等式恒成立問題，一般是分離參數(shù)轉化為函數(shù)最值問題．,[易錯防范] 1. 若可導函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調遞增(減)，求參數(shù)范圍，可轉化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構建不等式，要注意“＝”是否可以取到． 2．實際問題中的函數(shù)定義域一般受實際問題的制約，不可盲目地確定函數(shù)的定義域；在解題時要注意單位的一致性；把實際問題轉化成數(shù)學問題后，要根據(jù)數(shù)學問題中求得的結果對實際問題作出解釋．,