熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理第六章

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1、 統(tǒng)計(jì)物理基本觀點(diǎn)：宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)；宏觀物理量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均值。 任一粒子的狀態(tài)發(fā)生變化, 則整個(gè)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)發(fā)生變化 單粒子的狀態(tài)描述：用 r 個(gè)廣義坐標(biāo)和 r 個(gè)廣義動(dòng)量，N個(gè)粒子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)需要來(lái)確定。用 共2r個(gè)變量為直角坐標(biāo)，構(gòu)成一個(gè)2r 維空間，稱為相（u）空間。 q1、q2、qr； p1、p 2、pr 系統(tǒng)由N個(gè)粒子組成，每個(gè)粒子的微觀態(tài)可用相空間的一個(gè)代表點(diǎn)表示，系統(tǒng)的微觀態(tài)可用相空間同一時(shí)刻的N個(gè)代表點(diǎn)描述q1、q2、qr； p1、p 2、pr6.1 粒 子 運(yùn) 動(dòng) 狀 態(tài) 的 微 觀 描 述 微觀粒子具有波粒二相性，德布羅意指出：能量為

2、 ，動(dòng)量為 p 的物體聯(lián)系著圓頻率為 ，波矢為k的平面波，并有6.2 粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述,P k 粒子狀態(tài)是分立(不連續(xù)）的。 粒子所處的狀態(tài)叫量子態(tài) (單粒子態(tài))。 量子態(tài) 用一組量子數(shù)表征（如自由粒子nx, ny, nz）. 不同量子態(tài)的量子數(shù)取值不同。量子描述單粒子的狀態(tài)是確定單粒子的量子態(tài)，對(duì)于N個(gè)粒子的系統(tǒng)，就是確定各個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)。 6.3 系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述 全同粒子系統(tǒng) 就是由具有完全相同屬性（相同的質(zhì)量、自旋、電荷等）的同類(lèi)粒子所組成的系統(tǒng)。如自由電子氣體。 近獨(dú)立粒子系統(tǒng)：粒子之間的相互作用很弱，相互作用的平均能量遠(yuǎn)小于單個(gè)粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之間的

3、相互作用。將整個(gè)系統(tǒng)的能量表達(dá)為單個(gè)粒子的能量之和。( 如理想氣體：近獨(dú)立的粒子組成的系統(tǒng) ) iiE 一 基 本 概 念系 統(tǒng) 的 微 觀 態(tài) ： 整 個(gè) 系 統(tǒng) 的 力 學(xué) 狀 態(tài) v1、微觀系統(tǒng)的經(jīng)典描述 系統(tǒng)由N個(gè)粒子組成，每個(gè)粒子的微觀態(tài)可用相空間的一個(gè)代表點(diǎn)表示，系統(tǒng)的微觀態(tài)可用相空間同一時(shí)刻的N個(gè)代表點(diǎn)描述，即 (i=1，2.N),共2Nr個(gè)變量為確定。qi1、qi2、q ir； pi1、pi2、pir 一個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用相空間一個(gè)點(diǎn)，一個(gè)系統(tǒng)用相空間N個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。（特定的條件下可用） 在該描述下全同粒子可分辨 定域粒子：全同而又可辨的粒子。例如晶體中的原子或離子定域在其平衡位置

4、附近作微振動(dòng)、這些粒子就量子本性而然是不可分辨的（全同性），但可以根據(jù)粒子的位置對(duì)其加以區(qū)分（可分辨）。所以晶體中的原子或離子可看成是定域粒子。v2、微觀系統(tǒng)的量子描述不 可 分 辨 的 全 同 粒 子 系 統(tǒng) (非 定 域 系 ） 玻 耳 茲 曼 系 統(tǒng) 粒子可以分辨, 每個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制.確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)要求確定每個(gè)粒子所處的個(gè)體量子態(tài)。確定了每個(gè)粒子所處的量子態(tài)就確定了系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài)(如定域系)。例：設(shè)系統(tǒng)由A、B兩個(gè)粒子組成（定域子）。粒子的個(gè)體量子態(tài)有3個(gè), 討論系統(tǒng)有那些可能的微觀狀態(tài)？ 因此，對(duì)于定域系統(tǒng)可有9種不同的微觀狀態(tài)，即 3 2。一般地為 .a A

5、B 123 不 可 分 辨 的 全 同 粒 子 系 統(tǒng) (非 定 域 系 ） 確定由全同近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)歸結(jié)為確定每一個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)?；颍?確定了每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)就確定了系統(tǒng)的微觀狀態(tài)（1）玻色系統(tǒng)：即自旋量子數(shù)為整數(shù)的粒子組成的系統(tǒng). 如光子自旋為1、 介子自旋為0。由玻色子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子，由偶數(shù)個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成的復(fù)合粒子也是玻色子 粒子不可分辨，每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)不限（即不受泡利原理限制） 上例變?yōu)?(A=B)兩個(gè)玻色子占據(jù)3個(gè)量子態(tài)有6種方式 （2）費(fèi)米系統(tǒng)：即自旋量子數(shù)為半整數(shù)的粒子組成的系統(tǒng) 粒子不可分辨，每個(gè)個(gè)體量子態(tài)上最多能容納一個(gè)粒子（費(fèi)米子遵從泡

6、利原理）。 兩個(gè)費(fèi)米子占據(jù)3個(gè)量子態(tài)有3種占據(jù)方式 系統(tǒng)由兩個(gè)粒子組成（定域子）。粒子的個(gè)體量子態(tài)有3個(gè), 討論系統(tǒng)有那些可能的微觀狀態(tài) 對(duì)于不同統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的系統(tǒng)，即使它們有相同的粒子數(shù)、相同的量子態(tài)，系統(tǒng)包含的微觀狀態(tài)數(shù)也是不同的。 上例僅為兩個(gè)粒子組成的系統(tǒng)、三個(gè)量子態(tài)。對(duì)于大量微觀粒子組成的實(shí)際系統(tǒng)，其微觀狀態(tài)數(shù)目是大量的。 宏觀態(tài)：系統(tǒng)的熱力學(xué)狀態(tài) 用少數(shù)幾個(gè)宏觀參量即可確定系統(tǒng)的宏觀態(tài)。微觀態(tài)：系統(tǒng)的力學(xué)狀態(tài)。 確定方法：可分辨的全同粒子系統(tǒng)(玻耳茲曼系統(tǒng))； 不可分辨的全同粒子系統(tǒng)(玻色、費(fèi)米系) 宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)；宏觀物理量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均值。6.4等

7、概率原理 v微觀粒子的狀態(tài)雜亂無(wú)章，一個(gè)系統(tǒng)的力學(xué)狀態(tài)也是雜亂無(wú)章的，有很多個(gè)可能的狀態(tài)，那么，每個(gè)狀態(tài)出現(xiàn)的概率為多少呢，與什么因素有關(guān) 確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率就能用統(tǒng)計(jì)的方法求出微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值，從而求出相應(yīng)宏觀物理量，因此確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的基本問(wèn)題。 1、等概率原理：對(duì)于處理平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)系統(tǒng)，各個(gè)可能狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的等概率原理是統(tǒng)計(jì)物理的一個(gè)基本假設(shè)，是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的基礎(chǔ)。 全同近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)，具有確定的粒子數(shù)N，能量 E 和體積V ，系統(tǒng)的N個(gè)粒子分布于各個(gè)能級(jí)，設(shè)第i能級(jí)上的粒子數(shù)為ai，則組成系統(tǒng)的粒子處于各能級(jí)的情況可描述為：以符號(hào) 表示

8、 ， 稱為一個(gè)分布。 la , 21 laaa能級(jí)：粒子數(shù)： , 21 laaa , 21 l ,2,1ll分布 滿足條件： la Nal l Eal ll 6.5分布和微觀狀態(tài) l , 21 l, 21 ， a a a l, 21 ，簡(jiǎn)并度 粒子數(shù)N 粒子系統(tǒng)的 能 級(jí) 即：能級(jí)1上有a1個(gè)粒子， 能級(jí)2上有a2個(gè)粒子，。 1 1a2ala2l 分布只表示每一個(gè)能級(jí)上有多少個(gè)粒子。當(dāng)能級(jí)是簡(jiǎn)并態(tài)時(shí)，一種分布包含很多種微觀狀態(tài)。 每一種不同的量子態(tài)的占據(jù)方式都是不同的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 (1) al個(gè)離子占據(jù)能級(jí)l 上的l 個(gè)量子態(tài)時(shí)，第一個(gè)粒子可以占據(jù) 個(gè)量子態(tài)中的任何一個(gè)態(tài)，有l(wèi) 種可能的占據(jù)

9、方式。由于每個(gè)量子態(tài)能夠容納的粒子數(shù)不受限制，在第一個(gè)粒子占據(jù)了某一個(gè)量子態(tài)以后，第二個(gè)粒子仍然有l(wèi)種的占據(jù)方式，這樣al 個(gè)編了號(hào)的粒子占據(jù)l個(gè)量子態(tài)共有 種可能的占據(jù)方式， lal 1、玻耳茲曼系統(tǒng) (定域系統(tǒng))的分布規(guī)律： (2) 各個(gè)能級(jí)都考慮在內(nèi)，系統(tǒng)總的占據(jù)方式數(shù): l al l (3) 現(xiàn)在考慮將N個(gè)粒子互相交換，不管是否在同一能級(jí)上，交換數(shù)是N!，在這個(gè)交換中應(yīng)該除去在同一能級(jí)上al 個(gè)粒子的交換al !因此得因子 l laN !/ 例：系統(tǒng)有6個(gè)可分辨粒子，共兩個(gè)能級(jí)，1=3，2=4給定分布：a1= 4, a2=21 1a2a2 1 1a2a2 24 43 (4) 系統(tǒng)分布

10、a l 包含的總微觀狀態(tài)數(shù)為 ! ! laM B llllNa 1944043!246 24 ！ ！ 24 43 能級(jí)之間粒子交換的方式數(shù)目為 ！ 42 !6!6 l la 2 、 玻 色 系 統(tǒng) 分 布 al 包 含 的 微 觀 狀 態(tài) 數(shù) 粒子不可分辨，交換任意一對(duì)粒子不改變系統(tǒng)的微觀態(tài)。每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制。 C D EA B1 2 3 4 (1) al個(gè)粒子占據(jù)能級(jí)l 上的l個(gè)量子態(tài)的占據(jù)方式數(shù)：用 表示量子態(tài)， 表示粒子。1 2 3 4 5 這樣就確定了每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)，即確定了一種占據(jù)方式（一個(gè)微觀態(tài)）。 對(duì)能級(jí) ， l la把 個(gè)粒子和 個(gè)量子態(tài)混合排列，l 1 2

11、3 4 5 1 2 3 4 5 1 3 4 5 2 粒子和量子態(tài)之間的交換 會(huì)產(chǎn)生新的占據(jù)方式： 量子態(tài)和量子態(tài)之間的交換 不產(chǎn)生新的占據(jù)方式： 顯然，粒子和粒子之間的交換 不會(huì)產(chǎn)生新的占據(jù)方式。 其 中 粒 子 與 粒 子 的 交 換 、 量 子 態(tài) 與 量 子 態(tài) 的 交 換 不 產(chǎn)生 新 的 微 觀 態(tài) 。 只 有 量 子 態(tài) 與 粒 子 交 換 導(dǎo) 致 不 同 微 觀 態(tài) 。量 子 態(tài) 、 粒 子 各 種 交 換 (排 列 )總 數(shù) )!1( ll a 量 子 態(tài) 交 換 數(shù) )!1( l粒 子 交 換 數(shù) !la各 種 交 換 共 有 種 可 能 的 方 式 。 )!1(! )!1(

12、 ll lla a（2）將 各 種 能 級(jí) 的 結(jié) 果 相 乘 ， 就 得 到 玻 色 系 統(tǒng) 與 分 布 al 相 應(yīng) 的 微 觀 狀 態(tài) 數(shù) 為 ： ( 1)! ( 1)! l lBE l l laa 3、 費(fèi) 米 系 統(tǒng) 分 布 al 包 含 的 微 觀 狀 態(tài) 數(shù) ：!( )! lla ll l lC a a 將各能級(jí)的結(jié)果相乘，得到費(fèi)米系統(tǒng)與分布 al 相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為： . . !( )!lF D l l l la a 粒子不可分辨，每一個(gè)個(gè)體量子態(tài)最多只能容納一個(gè)粒子。 ll a相當(dāng)于從 個(gè)量子態(tài)中選 個(gè)被粒子占據(jù)。l la 6.6 玻 耳 茲 曼 分 布! ! laM B l

13、lllNa ( 1)! ( 1)!l lBE l l laa . . !( )!lF D l l l la a 玻爾茲曼系統(tǒng)玻色系統(tǒng)費(fèi)米系統(tǒng) 微觀狀態(tài)數(shù)是分布 al 的函數(shù)，不同的分布存在不同個(gè)微觀狀態(tài)數(shù)，可能存在這樣一個(gè)分布，它使系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)最多。 根據(jù)等概率原理，對(duì)于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的，那么微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的概率最大，稱為最可幾分布（最概然分布）。 為什么提出最概然分布？ 出現(xiàn)概率最大分布隨機(jī)現(xiàn)象多次呈現(xiàn)的結(jié)果 當(dāng)最概然分布的幾率大于非概然幾率很多時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)出基本相同的狀態(tài)可以用其表征平衡態(tài)分布 一、玻爾茲曼分布的推導(dǎo)（M.B.

14、系統(tǒng)）1、 寫(xiě)出分布及對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù) l al l lMB laN ! l, 21 ，1 ， 2 l， a a a l, 21 ， 玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布玻耳茲曼分布。 2 取 對(duì) 數(shù) ， 用 斯 特 林 公 式 化 簡(jiǎn) ll lll a a N ln!ln!lnln NNN ln ll lll l aaaNN lnlnln斯特林近似公式ln m ! ln mm m l l lll aaa ln l lla ln l all lMB laN ! 要求 1 la要求 1mll lll a a N ln!ln!lnln 3 拉 格 朗 日 未 定 乘 子 法 （ 拉 氏 乘 子 法 ） 求

15、 極 值(ln ) (ln ) ln d ln l l l l ll llll ld a d a d a d aa a 0ln ln ln lnl l l ll lN N a a a 對(duì)上式做一次微分，對(duì)于極值，一次微分為零 由于系統(tǒng)確定，則還要滿足約束條件： l ldadN 0 l ldadE 0l l laN l llaE 0lldN da l 0lldE da 對(duì)上兩式子做一次微分得到： 上兩式子乘以未定乘子得到： (ln ) d ln =0lll ld a a (ln ) ln 0d N E d dN dE 0ln l lla lea ll 即 稱為 麥克斯韋玻耳茲曼分布（玻耳茲曼系統(tǒng)

16、粒子的最概然分布）。 任意，所以 lda 0ln l llll daa (ln ) d ln =0lll ld a a 0lldN da l 0lldE da 玻 色 分 布 和 費(fèi) 米 分 布 包含微觀狀態(tài)數(shù)目最大的分布出現(xiàn)的概率最大，是系統(tǒng)的最概然分布。 l ll llEB a a )!1(! )!1(. ll lll llll llEB aaaa ln)1(ln)1()1(ln)1(ln . ln)(lnln . llll lEB aaa 0lnln . l ll lllEB a aaEN l laN 0 l ll aE 0 1 1; 1 11 ; 1l l ll l l l l laa

17、 a 0ln ll lla a lea al ll leaa lll ）（ 1 leall 1 lea ll 此式給出了玻色系統(tǒng)粒子的最概然分布，稱為 玻色分布。二 、 費(fèi) 米 分 布 費(fèi)米分布的推導(dǎo)作為練習(xí)，請(qǐng)同學(xué)們課后自己推導(dǎo). 1 lea ll 費(fèi) 米 分 布 1 lea ll 三 種 分 布 的 關(guān) 系lea ll 1lea ll 1e lea ll 1lea ll 這時(shí)玻色分布和費(fèi)米分布都過(guò)渡到玻耳茲曼分布。由 知 1 lla1elea ll 與是一致的，都稱為 非簡(jiǎn)并性條件，或 經(jīng)典極限條件。 滿足經(jīng)典極限條件時(shí)，玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)都過(guò)渡到玻耳茲曼分布。 通常條件下的理想氣體（非定

18、域系）即屬于這種情況。 l 玻耳茲曼系統(tǒng)遵從玻耳茲曼分布。（如順磁固體等定域系統(tǒng)）?？?之 ： l 玻色系統(tǒng)遵守玻色分布；費(fèi)米系統(tǒng)遵守費(fèi)米分布。 l 滿足經(jīng)典極限條件時(shí)，玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)都滿足玻耳茲曼分布。 !N MBFDBE 定域系統(tǒng)和滿足經(jīng)典極限條件的玻色(費(fèi)米)系統(tǒng)雖然遵從同樣的分布，但它們的微觀狀態(tài)數(shù)是不同的。 假如系統(tǒng)可以應(yīng)用 M-B 分布, 而且粒子的能級(jí)非常密集, 則粒子的能量可看作是連續(xù)的，問(wèn)題可用經(jīng)典方法處理，這時(shí)的 M-B分布稱為經(jīng)典分布。 拉氏乘子 、 由約束條件決定： l laN l l le l llaE l ll lea 與 體 積 有 關(guān) 的 常 數(shù) ，與 溫

19、度 有 關(guān) 的 常 數(shù) l laN l ll l ll eee 令 l l leZ 稱之為粒子配分函數(shù) 復(fù)習(xí)題二1、簡(jiǎn)述統(tǒng)計(jì)物理的基本觀點(diǎn)、基本假設(shè)2、簡(jiǎn)述全同近獨(dú)立粒子系統(tǒng)3、簡(jiǎn)述玻爾茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)的特征4、什么是分布，什么是最概然分布？ v計(jì)算題v1、有一系統(tǒng)由3個(gè)全同粒子組成，每個(gè)粒子具有4個(gè)量子態(tài)，求v(1)若為玻爾茲曼系統(tǒng)，系統(tǒng)的可能狀態(tài)為多少？v（2）若為玻色系統(tǒng)，系統(tǒng)的可能的狀態(tài)為多少？v（3）若為費(fèi)米系統(tǒng)，系統(tǒng)的可能狀態(tài)為多少？ v有一全同近獨(dú)立粒子系統(tǒng)系統(tǒng)，分布如下v(1)若為玻爾茲曼系統(tǒng)，該分布對(duì)應(yīng)的狀態(tài)為多少？v（2）若為玻色系統(tǒng)，狀態(tài)為多少?v(3)費(fèi)米系統(tǒng)，又為多少？v（4）系統(tǒng)的總能量為多少？1 2, , 3, 4 ， 2, 3a