2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 第五課時 兩角和與差的余弦、正弦、正切（二）教案 蘇教版必修3.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 第五課時 兩角和與差的余弦、正弦、正切（二）教案 蘇教版必修3 教學(xué)目標(biāo)： 熟練掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運用，理解公式：asinθ＋bcosθ＝sin(θ＋)(其中cos＝，sin＝，θ為任意角)，靈活應(yīng)用上述公式解決相關(guān)問題；培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，提高學(xué)生的思維素質(zhì). 教學(xué)重點： 利用兩角和與差的正、余弦公式將asinθ＋bcosθ形式的三角函數(shù)式化為某一個角的三角函數(shù)形式. 教學(xué)難點： 使學(xué)生理解并掌握將asinθ＋bcosθ形式的三角函數(shù)式化為某一個角的三角函數(shù)形式，并能靈活應(yīng)用其解決一些問題. 教學(xué)過程： Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 同學(xué)們，觀察這些關(guān)系式，不難看出這是我們前面所推導(dǎo)出的兩角和與差的正余弦公式的倒寫形式.有時，直接利用這種形式可使問題簡化，這節(jié)課，我們就來探討一下它的運用. Ⅱ.講授新課 ［例1］求證cosα＋sinα＝2sin(＋α) 證明：右邊＝2sin(＋α)＝2(sincosα＋cossinα) ＝2(cosα＋sinα)＝左邊 由于同學(xué)們對兩角和的正弦公式比較熟悉，所以要證此式容易想到從右邊往左邊推證，只要將右邊按照兩角和的正弦公式展開，化簡便可推出左邊. 也可這樣考慮： 左邊＝cosα＋sinα＝2(cosα＋sinα) ＝2(sincosα＋cossinα)＝2sin(＋α)＝右邊 (其中令＝sin，＝cos) ［例2］求證cosα＋sinα＝2cos(－α) 分析：要證此式，可從右邊按照兩角差的余弦公式展開，化簡整理可證此式. 若從左邊推證，則要仔細(xì)分析，構(gòu)造形式 即：左＝cosα＋sinα＝2(cosα＋sinα)＝2(coscosα＋sinsinα)＝2cos(－α) (其中令＝cos，＝sin) 綜合上兩例可看出對于左式cosα＋sinα可化為兩種形式2sin(＋α)或2cos(－α)，右邊的兩種形式均為一個角的三角函數(shù)形式.那么，對于asinα＋bcosα的式子是否都可化為一個角的三角函數(shù)形式呢? 推導(dǎo)公式： asinα＋bcosα＝ (sinα＋cosα) 由于()2＋()2＝1，sin2θ＋cos2θ＝1 (1)若令＝sinθ，則＝cosθ ∴asinα＋bcosα＝ (sinθsinα＋cosθcosα)＝cos(θ－α) 或原式＝cos(α－θ) (2)若令＝cos，則＝sin ∴asinα＋bcosα＝ (sinαcos＋cosαsin)＝sin(α＋) 例如：2sinθ＋cosθ＝ (sinθ＋cosθ) 若令cos＝，則sin＝ ∴2sinθ＋cosθ＝(sinθcos＋cosθsin)＝sin(θ＋) 若令＝sinβ，則＝cosβ ∴2sinθ＋cosθ＝(cosθcosβ＋sinθsinβ) ＝cos(θ－β)或原式＝cos(β－θ) 看來，asinθ＋bcosθ均可化為某一個角的三角函數(shù)形式，且有兩種形式. Ⅲ.課堂練習(xí) 1.求證： (1) sinα＋cosα＝sin(α＋) (2)cosθ＋sinθ＝sin(θ＋) (3) (sinx＋cosx)＝2cos(x－) 證明：(1) sinα＋cosα＝sin(α＋) 證法一：左邊＝sinαcos＋cosαsin＝sin(α＋)＝右邊 證法二：右邊＝sinαcos＋cosαsin＝sinα＋cosα＝左邊 (2)cosθ＋sinθ＝sin(θ＋) 證法一：左邊＝(cosθ＋sinθ)＝(sincosθ＋cossinθ) ＝sin(θ＋)＝右邊 證法二：右邊＝(sinθcos＋cosθsin) ＝(sinθ＋cosθ)＝cosθ＋sinθ＝左邊 (3) (sinx+cosx)＝2cos(x－) 證法一：左邊＝(sinx＋cosx)＝2(sinx＋cosx) ＝2(cosxcos＋sinxsin)＝2cos(x－)＝右邊 證法二：右邊＝2cos(x－)＝2(cosxcos＋sinxsin) ＝2(cosx＋sinx)＝(cosx＋sinx)＝左邊 2.利用和(差)角公式化簡： (1) sinx＋cosx (2)3sinx－3cosx (3) sinx－cosx (4) sin(－x)＋cos(－x) 解：(1) sinx＋cosx＝sinxcos＋cosxsin＝sin(x＋) 或：原式＝sinxsin＋cosxcos＝cos(x－) (2)3sinx－3cosx＝6(sinx－cosx) ＝6(sinxcos－cosxsin)＝6sin(x－) 或：原式＝6(sinsinx－coscosx)＝－6cos(x＋) (3) sinx－cosx＝2(sinx－cosx) ＝2sin(x－)＝－2cos(x＋) (4) sin(－x)＋cos(－x) ＝［sin(－x)＋cos(－x)］ ＝［sinsin(－x)＋coscos(－x)］ ＝cos［－(－x)］＝cos(x－) 或：原式＝［sin(－x)cos＋cos(－x)sin］ ＝sin［(－x)＋］＝sin(－x) Ⅳ.課時小結(jié) 通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，要在熟練掌握兩角和與差的余弦、正弦、正切公式的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)并理解公式：asinθ＋bcosθ＝sin(θ＋)(其中cos＝，sin＝) mcosα＋nsinα＝cos(α－β)(其中cosβ＝，sinβ＝) 進(jìn)而靈活應(yīng)用上述公式對三角函數(shù)式進(jìn)行變形，解決一些問題. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P96 4，6；P101 4，5. 兩角和與差的余弦、正弦、正切(一) 1．若0＜α＜β＜，sinα＋cosα＝a，sinβ＋cosβ＝b，則 ( ) A.ab＜1 B.a＞b C.a＜b D.ab＞2 2．已知α、β為銳角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，求β的值. 3．已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值. 4．若A＋B＝，求（1＋tanA)(1＋tanB)的值. 5．化簡 6．化簡（tan10－) 7．求證：＝tan(x－) 8．已知tanA與tan(－A＋)是x2＋px＋q＝0的解，若3tanA＝2tan(－A)，求p和q的值. 兩角和與差的余弦、正弦、正切(一)答案 1．C 2．已知α、β為銳角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，求β的值. 分析：注意觀察α、α＋β及β間的關(guān)系，先求角β的一個三角函數(shù)值，再根據(jù)β為銳角求出β. 解：∵α為銳角，且cosα＝，∴sinα＝＝. 又∵α、β均為銳角，∴0＜α＋β＜π，且cos(α＋β)＝－， ∴sin(α＋β)＝＝. 則cosβ＝cos［(α＋β)－α］＝cos（α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ＝(－)＋＝ ∴β＝. 評述：（1）在和（差）角公式的運用中,要注意和、差的相對關(guān)系，如（α＋β)－α＝β. (2)求角的基本步驟：①求角的范圍；②求角的一個三角函數(shù)值；③寫出滿足條件的角. 3．已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值. 分析：注意觀察α－β、α＋β和2α間的關(guān)系，再選擇適當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行計算. 解：由題設(shè)知α－β為銳角，所以sin（α－β）＝， 又∵α＋β是第三象限角，∴cos(α＋β)＝－， 由2α＝(α＋β)＋(α－β) 得sin2α＝sin［(α－β)＋(α＋β)］ ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝－ 評述：在三角變換中，角的變換是常用技巧，本題是將角2α變換成（α＋β)＋(α－β)，使已知式中的角與待求式中的角聯(lián)系起來. 4．若A＋B＝，求（1＋tanA)(1＋tanB)的值. 分析：注意待求式與正切和角公式間的聯(lián)系，將正切和角公式變形解題. 解：（1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB. 又tan(A＋B)＝且A＋B＝ ∴tan(A＋B)＝1 ∴tanA＋tanB＝1－tanAtanB 即tanA＋tanB＋tanAtanB＝1 ∴(1＋tanA)(1＋tanB)＝2. 評述：在解題過程中要注意分析條件和結(jié)論中的關(guān)系式與有關(guān)公式間的聯(lián)系，并將公式進(jìn)行變形加以運用. 5．化簡 分析：注意把所要化簡的式子與正切的差角公式進(jìn)行比較. 解：＝＝tan(60－18)＝tan42 評述：在三角函數(shù)的化簡與求值時，通常將常數(shù)寫成角的一個三角函數(shù)，再根據(jù)有關(guān)公式進(jìn)行變形. 6．化簡（tan10－) 分析：切、弦混合式在不能直接運用公式的情況下，考慮將切化弦. 解：原式＝（tan10－tan60) ＝(－) ＝＝＝－2. 評述：（1）切化弦是三角函數(shù)化簡的常用方法之一. （2）把函數(shù)值化成tan60在本題的化簡中是必經(jīng)之路. 7．求證：＝tan(x－) 證明：左邊＝＝tan(x－)＝右邊 或：右邊＝tan(x－)＝ ＝＝＝左邊 8．已知tanA與tan(－A＋)是x2＋px＋q＝0的解，若3tanA＝2tan(－A)，求p和q的值. 分析：因為p和q是兩個未知數(shù)，所以須根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于p、q的方程組，解出p、q. 解:設(shè)t＝tanA，則tan(－A)＝＝ 由3tanA＝2tan(－A) 得3t＝ 解之得t＝或t＝－2. 當(dāng)t＝時，tan(－A)＝＝， P＝－［tanA＋tan(－A)］＝－，q＝tanAtan(－A)＝ ＝. 當(dāng)t＝－2時，tan(－A)＝ ＝－3， P＝－［tanA＋tan(－A)］＝5，q＝tanAtan(－A)＝6 ∴滿足條件的p、q的值為： 評述：(1)“列方程求解未知數(shù)”是基本的數(shù)學(xué)思想方法. (2)如果tanα、tanβ是某一元二次方程的根，則由韋達(dá)定理可與公式T(α+β)聯(lián)系起來；若cosα、sinα是某一元二次方程的根，則由韋達(dá)定理與公式sin2α＋cos2α＝1聯(lián)系起來.