八年級數(shù)學勾股定理及其常考題型

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1、八年級數(shù)學 勾股定理及其?？碱}型 勾股定理也稱畢達哥拉斯定理，文字表述：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.結合直角三角形圖形，用字母可表示為：，如下圖，a、b為直角邊，c為斜邊。 勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關系，完美地體現(xiàn)了“數(shù)形統(tǒng)一”的數(shù)學思想，將初中幾何與代數(shù)很好的聯(lián)系起來。因此，學好勾股定理這一知識點對于我們解決數(shù)學問題有很大的幫助，下面我們具體來看看初中數(shù)學有關勾股定理的一些常見題型及其解答方法。 一、邊的計算 1、在Rt△ABC中，∠C＝90，若a=6，b=8，則c= ． 解：因為，所以c=10。 評論：直接由勾股定理所

2、以得 2、在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，則斜邊上的高CD的長為（ ） A． B． C． D． 解：由勾股定理知：AB=5，又因為S△ABC =ACBC=ABCD 即：34=5CD,所以CD= 評論：通過勾股定理求出斜邊，再利用面橋關系求出斜邊上的高。 3、若一直角三角形兩邊的長為12和5，則第三邊的長為（ ） A．13 B．13或 C．13或15 D．15 解：當12對應的邊為斜邊時，此時由勾股定理得第三邊為 當12對應的邊是直角邊時，則第三邊為斜邊，由得第三邊的長為13

3、 評論：勾股定理結合分類討論思想，學生要注意這類試題的多解性。 4．Rt△一直角邊的長為11，另兩邊為自然數(shù)，則Rt△的周長為（　?。? A、121 B、120 C、132 D、不能確定 解：設該Rt△的三邊分別為a、b、c，a、b為直角邊，c為斜邊 由勾股定理知：，即：112＋b2 = c2 所以（b+c）（c－b）=121 因為b、c都為自然數(shù)，所以b+c，c－b，都為正自然數(shù)。 又因為121只有1、11、121這三個正整數(shù)因式，所以b+c=121，c－b=1。所以b=60，c=61 評論，本題以直角三角形為

4、載體，同過勾股定理將初中幾何知識和代數(shù)知識很好地串聯(lián)起來考察學生的能力。 二、直角三角形的判定 5、 在△ABC中中，a、b、c為∠A、∠B、∠C的對邊，給出如下的命題： ①若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，則△ABC為直角三角形；②若∠A＝∠C一∠B，則△ABC為直角三角形；③若，，則△ABC為直角三角形；④若a：b：c＝5：3：4，則△ABC為直角三角形；⑤若（a＋c）（a－c）＝b2，則△ABC為直角三角形；⑥若(a＋c)2＝2ac＋b2，則△ABC為直角三角形；⑦若ＡＢ＝12,ＡＣ＝9,BＣ＝15, 則△ABC為直角三角形?！　　　　　　　　　∩厦娴拿}中正確的有（　　　?。? A

5、．6 B．7 C．8 D．9 解：對①，因為三角形內角和為180度，所以∠A+∠B+∠C＝180，因為∠A：∠B：∠C＝1：2：3，所以∠C=180 所以∠C=90則△ABC為直角三角形，①正確。對②，因為∠A+∠B+∠C＝180，而∠A＝∠C一∠B，所以∠C一∠B+∠B+∠C＝180所以∠C=90，即△ABC為直角三角形，②正確。對③，設a=5k，因為，，則c=4k， C2＋b2 = a2 所以為△ABC直角三角形. ③正確，同理易知④正確，對⑤，因為（a＋c）（a－c）＝b

6、2 所以a2 –c2 = b2 ，所以△ABC為直角三角形．⑤正確，對⑥，因為(a＋c)2＝2ac＋b2，所以a2 +c2+2ac=2ac＋b2 所以a2 +c2=b2 正確，對⑦，因為ＡＢ＝12,ＡＣ＝9,ＡＣ＝15，所以AB2 +AC2=BC2所以正確。答案選B 評論：直角三角形的評定可以從角和邊兩方面來進行，從角來判定需結合三角形內角和定理，從邊來判定需結合勾股定理。一般是驗證最大邊的平方是否等于兩小邊的平方和。 三、翻折 6、矩形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如圖18-1方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則DE=_______cm． 解：設DE為x

7、，因為DE是由BE翻折過來的， 所以DE=BE=x,則AE=10－x，在Rt△ABD中： AD2 +AE2=DE2 所以：42 +（10－x） 2= x 2 解得x=5.8 cm 評論：翻折和旋轉是初中數(shù)學常見的題型，解答這類題的關鍵在于把握翻折和旋轉前后的聯(lián)系，主要是看清哪些量沒變，抓住這些不變的量，以此為突破口便可以順利解決。本題的不變量是DE和BE的長度，抓住這個關系，再通過勾股定理建立等式，在直角三角形中便可解出邊長的長度。 四、爬行 7．如圖，有一個圓柱，它的高等于16cm，底面半徑等于4cm，在 圓柱下底面的點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點相對的 點處的

8、食物，需要爬行的最短路程是 cm．（取3） 解：螞蟻要沿圓柱體側面爬，將圓柱體的側面沿螞蟻所在的垂直于底面的直線切開，展開后是一個長為8π，寬為16的長方形，螞蟻所在的是一個頂點，而相對的點則是對面那條長為8π的邊的中點。所以根據(jù)勾股定理，兩點之間的距離為d，d2 =(8π)2 +(16)2從而解出d。 評論：爬行問題是勾股定理的一大重要應用，關鍵在于將立體圖形轉化為平面圖形，從而簡單便捷地找出最短距離，然后再利用勾股定理求出邊長。 8．已知長方體的長為2cm、寬為1cm、高為4cm，一只螞蟻如果沿長方體的表面從A點爬到B′點,那么沿哪條路最近,最短的路程是多少? 解

9、：將長方體的側面B BˊCˊC展開到與長方體的正面AC CˊAˊ在同一平面內， 得到長方形AB BˊAˊ,長AB=3 cm,寬A Aˊ=4， 螞蟻沿長方體的表面從A點爬到B′點最短距離即為長方形AB BˊAˊ的對角線 A B′長。由勾股定理易知A B′=5. 五、圖形變換 9．如圖2（1），是小紅用硬紙板做成的兩個全等的直角三角形，兩直角邊的長分別為a和b，斜邊長為c，如圖2（2）是以c為直角邊的等腰直角三角形，她想將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形，可以嗎？ （1）如果能，請你畫出拼成的這個圖形的示意圖，寫出它是什么圖形？ （2）用這

10、個圖形證明勾股定理． （3）假設圖2（1）中的圖有若干個，你能運用（1）中所示的直角三角形拼出另一個能證明勾股定理的圖形嗎？請畫出拼后的示意圖．（無需證明） 23，（1）如圖是直角梯形. （2）因為S梯形＝(a+b)(a+b)＝(a+b)2，S＝2ab+c2＝ab+c2，所以(a+b)2＝ab+c2，即a2+b2＝c2.（3）如圖所示. 評論：這是一道圖形換的題，具體涉及到圖形的拼湊，解決勾股定理這方面的試題關鍵是要對課本勾股定理證明涉及到的幾種常見的圖形以及證明過程和原理要熟練掌握，再利用適當?shù)倪w移便可以解答了。 六、實際應用 10，某校把一塊形狀為直

11、角三角形的廢地開辟為生物園，如圖5所示，∠ACB＝90，AC＝80米，BC＝60米，若線段CD是一條小渠，且D點在邊AB上，已知水渠的造價為10元/米，問D點在距A點多遠處時，水渠的造價最低？最低造價是多少？ 解：當CD為斜邊上的高時，CD最短，從而水渠造價最低.因為CDAB＝ACBC ，所以CD＝＝48米，所以AD＝＝64米.所以，D點在距A點64米的地方，水渠的造價最低，其最低造價為480元. 11．有一只小鳥在一棵高4m的小樹梢上捉蟲子，它的伙伴在離該樹12m，高20m的一棵大樹的樹梢上發(fā)出友好的叫聲，它立刻以4m/s的速度飛向大樹樹梢，那么這只小鳥至少幾秒才可能到達大樹和伙伴在一起？ 解：如圖所示，根據(jù)題意，得AC=20-4=16，BC=12． 根據(jù)勾股定理，得AB=20．則小鳥所用的時間是204=5（s）． 評論：解答勾股定理的實際應用題，首先要審清題意，然后找出試題情景中涉及到的直角三角形，再結合勾股定理便可以求出了。在該題中，我們關鍵是要根據(jù)題意畫出勾股定理涉及到的直角三角形圖形，只需求得AB的長．根據(jù)已知條件，得BC=12，AC=20-4=16，再根據(jù)勾股定理就可求解． 補充：