2014年高考數(shù)學一輪復習 熱點難點精講精析 2.11導數(shù)及其應用

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1、 2014年高考一輪復習熱點難點精講精析： 2.11導數(shù)及其應用 一、變化率與導數(shù)、導數(shù)的運算 （一）利用導數(shù)的定義求函數(shù)的導數(shù) 1、相關鏈接 （1）根據(jù)導數(shù)的定義求函數(shù)在點處導數(shù)的方法： ①求函數(shù)的增量； ②求平均變化率； ③得導數(shù)，簡記作：一差、二比、三極限。 （2）函數(shù)的導數(shù)與導數(shù)值的區(qū)間與聯(lián)系：導數(shù)是原來函數(shù)的導函數(shù)，而導數(shù)值是導函數(shù)在某一點的函數(shù)值，導數(shù)值是常數(shù)。 2、例題解析 〖例1〗求函數(shù)y=的在x=1處的導數(shù)。 解析： 〖例2〗一質(zhì)點運動的方程為。 （1） 求質(zhì)點在[1，1+Δt]這段時間內(nèi)的平均速度； （2） 求質(zhì)點在t=1時的瞬時速

2、度（用定義及求求導兩種方法） 2 / 19 分析（1）平均速度為； （2）t=1時的瞬時速度即在t=1處的導數(shù)值。 解答：（1）∵ ∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-312)=-6Δt-3(Δt)2, . （3） 定義法：質(zhì)點在t=1時的瞬時速度 （4） 求導法：質(zhì)點在t時刻的瞬時速度 ，當t=1時，v=-61=-6. 注：導數(shù)的物理意義建立了導數(shù)與物體運動的瞬時速度之間的關系。對位移s與時間t的關系式求導可得瞬時速度與時間t的關系。根據(jù)導數(shù)的定義求導數(shù)是求導數(shù)的基本方法，請按照“一差、二比、三極限”的求導步驟來求。 （二）導數(shù)的運算 1、相關鏈接 （1）運用可

3、導函數(shù)求導法則和導數(shù)公式，求函數(shù)在開區(qū)間（a,b）內(nèi)的導數(shù)的基本步驟： ①分析函數(shù)的結(jié)構和特征； ②選擇恰當?shù)那髮Х▌t和導數(shù)公式求導； ③整理得結(jié)果。 （2）對較復雜的函數(shù)求導數(shù)時，誚先化簡再求導，特別是對數(shù)函數(shù)真數(shù)是根式或分式時，可用對數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化真數(shù)為有理式或整式求解更為方便。 （3）復合函數(shù)的求導方法 求復合函數(shù)的導數(shù)，一般是運用復合函數(shù)的求導法則，將問題轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的導數(shù)解決。 ①分析清楚復合函數(shù)的復合關系是由哪些基本函數(shù)復合而成的，適當選定中間變量； ②分步計算中的每一步都要明確是對哪個變量求導，而其中特別要注意的是中間變量； ③根據(jù)基本函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)

4、的運算法則，求出各函數(shù)的導數(shù)，并把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)； ④復合函數(shù)的求導熟練以后，中間步驟可以省略，不必再寫出函數(shù)的復合過程。 2、例題解析 〖例〗求下列函數(shù)的導數(shù)。 思路分析：本題考查導數(shù)的有關計算，借助于導數(shù)的計算公式及常見的初等函數(shù)的導數(shù)，可以容易求得. 解答：(1)方法一：由題可以先展開解析式然后 再求導：y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1， ∴y′=(6x3+2x2-3x-1)′ =(6x3)′+(2x2)′-(3x)′=18x2+4x-3. 方法二：由題可以利用乘積的求導法則進行求導： y′=(2x2-1)′(3x+

5、1)+(2x2-1)(3x+1)′ =4x(3x+1)+3(2x2-1)=12x2+4x+6x2-3 =18x2+4x-3. (2)根據(jù)題意把函數(shù)的解析式整理變形可得： (3)根據(jù)求導法則進行求導可得： y′=(3xex)′-(2x)′+e′=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′=3xln3ex+3xex-2xln2=(3e)xln3e-2xln2 (4)根據(jù)題意利用除法的求導法則進行求導可得： (5)設μ=3-2x，則y=(3-2x)5是由y=μ5與μ=3-2x復合而成，所以y′=f′μμ′x=(μ5)′(3-2x)′=5μ4(-2)=-10μ4=-10(

6、3-2x)4. 規(guī)律總結(jié)：一般說來，分式函數(shù)求導，要先觀察函數(shù)的結(jié)構特征，可化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)；對數(shù)函數(shù)的求導，可先化為和、差的形式；三角函數(shù)的求導，先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式.復合函數(shù)的求導過程就是對復合函數(shù)由外層逐層向里求導.每次求導都針對最外層，直到求到最里層為止.所謂最里層是指此函數(shù)已經(jīng)可以直接引用基本初等函數(shù)導數(shù)公式進行求導. （三）導數(shù)的幾何意義 【例】已知曲線， （1） 求曲線在點P(2,4)處的切線方程； （2） 求曲線過點P(2,4)的切線方程； （3） 求斜率為4的曲線的切線方程。 思路分析：“該曲線過點P(2，4)的切線方程”與

7、“該曲線在點P(2，4)處的切線方程”是有區(qū)別的：過點P(2，4)的切線中，點P(2，4)不一定是切點；在點P(2，4)處的切線，點P(2，4)是切點. 解答：（1）上，且 ∴在點P(2,4)處的切線的斜率k==4; ∴曲線在點P(2,4)處的切線方程為y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. （2）設曲線與過點P(2,4)的切線相切于點A（x0，），則切線的斜率，∴切線方程為（）=（-），即 ∵點P(2,4)在切線上，∴4=2，即，∴， ∴（x0+1）(x0-2)2=0 解得x0=-1或x0=2 故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0. （3）設切點為（x0,

8、y0） 則切線的斜率為k=x02=4, x0=2.切點為（2，4），（-2，-4/3） ∴切線方程為y-4=4(x-2)和y+4/3=4(x+2) 即4x-y-4=0和12x-3y+20=0 注：(1)求函數(shù)f(x)圖象上點P(x0,f(x0))處的切線方程的關鍵在于確定該點切線處的斜率k，由導數(shù)的幾何意義知k=f ′(x0)，故當f′(x0)存在時，切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). (2)要深入體會切線定義中的運動變化思想：①兩個不同的公共點→兩公共點無限接近→兩公共點重合(切點)；②割線→切線. （3）可以利用導數(shù)求曲線的切線方程，由于函數(shù)y=f(

9、x)在x=x0處的導數(shù)表示曲線在點P(x0,f(x0))處切線的斜率，因此，曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線方程，可按如下方式求得： 第一，求出函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)，即曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處切線的斜率； 第二，在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程y=y0+f′(x0)(x-x0)；如果曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線平行于y軸(此時導數(shù)不存在)時，由切線的定義 可知，切線的方程為x=x0. 二、導數(shù)在函數(shù)中的應用與生活中的優(yōu)化問題舉例 （一）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 1、相關鏈接 （1）求可導函

10、數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法，如下圖： 即： ①確定函數(shù)f(x)的定義域; ②求f’(x) ，令f’(x)=0，求出它們在定義域內(nèi)的一切實根； ③把函數(shù)f(x)的間斷點（即f(x)無定義點）的橫坐標和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間。 ④確定f’(x)在各個開區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)f’(x)的符號判定函數(shù)f(x)在每個相應小開區(qū)間內(nèi)的增減性。 注：當f(x)不含參數(shù)時，也可通過解不等式f’(x)>0（或f’(x)<0）直接得到單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間。 （2）證明可導函數(shù)f(x)在（a,b）內(nèi)的單調(diào)性的步驟 ①求f

11、’(x); ②確認f’(x)在（a,b）內(nèi)的符號； ③作出結(jié)論：f’(x)>0時為增函數(shù)；f’(x)<0時為減函數(shù)。 （3）已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，應注意函數(shù)f(x)在（a,b）上遞增（或遞減）的充要條件應是f’(x)≥0（或f’(x)≤0），x∈（a,b）恒成立，且f’(x) 在（a,b）的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0，這就是說，函數(shù)f(x)在區(qū)間上的增減性并不排斥在區(qū)間內(nèi)個別點處有f’(x) =0，甚至可以在無窮多個點處f’(x0) =0，只要這樣的點不能充滿所給區(qū)間的任何一個子區(qū)間。 2、例題解析 〖例〗】(2011北京模擬)若函數(shù)f(x)=lnx-ax2-2x存在單

12、調(diào)遞減區(qū)間,求實數(shù)a的取值范圍. 思路解析：函數(shù)f(x)存在單調(diào)減區(qū)間,就是不等式f′(x)≤0有實數(shù)解,考慮到函數(shù)的定義域為(0,+∞),所以本題就是要求f′(x)≤0在(0,+∞)上有實數(shù)解. 解答：f′(x)= -ax-2=.因為函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以f′(x)≤0有解.又因為函數(shù)的定義域為(0,+∞),則ax2+2x-1≥0在x∈(0,+∞)內(nèi)有解. (1)當a＞0時,y=ax2+2x-1為開口向上的拋物線,ax2+2x-1≥0,總可以找到x＞0的解; (2)當a＜0時,y=ax2+2x-1為開口向下的拋物線,要使ax2+2x-1≥0總有大于0的解,則Δ=4+4a≥

13、0且方程ax2+2x-1=0至少有一個正根,此時-1≤a＜0. (3)當a=0時,顯然符合題意. 綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是［-1,+∞). （二）利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值 1、相關鏈接 （1）求函數(shù)f(x)極值的步驟 即： ①確定函數(shù)f(x)的定義域； ②求導數(shù)f’(x); ③求方程f’(x)=0的根。 ④檢查在方程的根的左右兩側(cè)的符號，確定極值點（最好通過列表法）。如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果f’(x)在點x0的左右兩側(cè)符號不變，則f(x0)不是函數(shù)極值。 （2）可導函數(shù)極值

14、存在的條件 ①可導函數(shù)的極值點x0一定滿足f’(x0)=0,但當f’(x0)=0時，x0不一定是極值點。如f(x)=x3,f’(0)=0,但x=0不是極值點。 ②可導函數(shù)y=f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f’(x)=0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f’(x0)的符號不同。 （3）設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導，求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步驟 ①求函數(shù)y=f(x)在（a,b）內(nèi)的極值； ②將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a),f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。 ③根據(jù)最值的定義，求在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，

15、開區(qū)間（a,b）,內(nèi)可導的函數(shù)的最值時，可將過程簡化，即不用判斷使f’(x)=0成立的點是極大值點還是極小值點，直接將極值點與端點的函數(shù)值進行比較，就可判定最大（?。┲?。 ④定義在開區(qū)間（a,b）上的可導函數(shù)，如果只有一個極值點，該極值點必為最值點。 2、例題解析 〖例1〗已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+5,記f(x)的導數(shù)為f′(x). (1)若曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為3，且x=時，y=f(x)有極值,求函數(shù)f(x)的解析式. (2)在(1)的條件下，求函數(shù)f(x)在［-4,1］上的最大值和最小值. 思路解析：在求解(1)時，可以通過切線斜率和

16、極值點求得a,b的值，從而求得函數(shù)的解析式.在求解(2)時只需要列出極值變化表，對比區(qū)間端點值求得最值即可. 解答： （1）由題意，得 解得，所以 （2）由（1）知， 令，得 當變化時，的變化情況如表： ∴在上的最大值為13，最小值為-11. 〖例2〗已知函數(shù) （1）當時，求證函數(shù)上是增函數(shù)； （2）當a=3時，求函數(shù)在區(qū)間[0，b]上的最大值。 解答：(1)時，故在R上是增函數(shù)。(4分) (2)時， ①若時，得： (Ⅰ)若時，在[0，b]上單增，故 (Ⅱ)若時，因故. ②若時，由①知在上的最大值為2，下求在上的最大值，因

17、 ，故又 綜合①、② 知： (12分) （四）利用導數(shù)解決實際生活中的優(yōu)化問題 1、相關鏈接 利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題時： (1)既要注意將問題中涉及的變量關系用函數(shù)關系表示，還要注意確定函數(shù)關系式中自變量的定義區(qū)間. (2)一定要注意求得函數(shù)結(jié)果的實際意義，不符合實際的值應舍去. (3)如果目標函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么根據(jù)實際意義該極值點就是最值點. 2、例題解析 〖例〗某地政府為科技興市,欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地建成一個矩形的高科技工業(yè)區(qū).已知AB⊥BC,OA∥BC,且AB=BC=2AO=4 km,曲線段OC是以點O為頂點且開

18、口向右的拋物線的一段,如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB,BC上,且一個頂點落在曲線段OC上,問應如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積最大?并求出最大的用地面積(精確到0.1 km2). 思路解析：矩形工業(yè)園的用地面積與它落在拋物線段OC上的具體位置有關，因此應設法將落在OC上的點用一個變量表示出來，然后用這一變量表示矩形工業(yè)園的用地面積，而要設出相應的變量，則應首先建立直角坐標系. 解答：以O點為坐標原點，OA所在的直線為y軸建立直角坐標系(如圖所示)， 依題意可設拋物線為y2=2px(p＞0)且C(4,2). ∴22=2p4,∴p=,故所設拋物線方程為y2=

19、x(0≤x≤4). 設P(x, )(0≤x≤4)是曲線段OC上的任意一點，則在矩形PQBN中，|PQ|=2+，|PN|=4-x,所以工業(yè)區(qū)的面積為S=|PQ||PN|=(2+)(4-x) =-2x+4+8， ∴S′=-2+2， 令S′=0，得3x+4-4=0,( +2)(3-2)=0,∴x=. 故當x∈［0, )時，S′＞0,S是關于x的增函數(shù)； 當x∈［,4］時，S′＜0,S是關于x的減函數(shù)， ∴x=時，S取得最大值， 此時|PQ|=2+=,|PN|=4-x=, ∴S=≈9.5,∴Smax≈9.5(km2). ∴把工業(yè)園規(guī)劃成長為km,寬為km的矩形，工業(yè)園的面積最大，最大面積約為9.5 km2. 注：①生活中的優(yōu)化問題，往往涉及到函數(shù)的最值，求最值可利用單調(diào)性，也可直接利用導數(shù)求最值，要掌握求最值的方法和技巧。 ②在求實際問題中的最大值或最小值時，一般先設自變量、因變量，建立函數(shù)關系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)最值的方法求解，注意結(jié)果應與實際情況相符合。用導數(shù)求解實際問題中的最大（?。┲禃r，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么根據(jù)實際意義該極值點也就是最值點。 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！