2014年高考數(shù)學一輪復習 熱點難點精講精析 2.10函數(shù)模型及其應用

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1、 2014年高考一輪復習熱點難點精講精析： 2.10函數(shù)模型及其應用 1、一次函數(shù)與分段函數(shù)模型 ○相關鏈接○ （1）在現(xiàn)實生活中，有很多問題的兩變量之間的關系是一次函數(shù)模型，其增長特點是直線上升（自變量的系數(shù)大于0）或直線下降（自變量的系數(shù)小于0）； （2）很多實際問題中變量間的關系，不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成分段函數(shù)。如出租車票價與路程之間的關系，就是分段函數(shù)。 （3）分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當作幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起。要注意各段變量的范圍，特別是端點值。[ ○例題解析○ 〖例1

2、〗電信局為了配合客戶不同需要，設有A，B兩種優(yōu)惠方案．這兩種方案應付話費y(元)與通話時間x(分鐘)之間的關系如圖所示，其中MN∥CD. (1)若通話時間為2小時，按方案A，B各付話費多少元？ (2)方案B從500分鐘以后，每分鐘收費多少元？ (3)通話時間在什么范圍內，方案B比方案A優(yōu)惠？ 思路解析：本題是求在不同的條件下，兩種方案所付話費以及話費的比較，但由于題設中以圖象的形式給出兩方案的付費函數(shù)，所以在解題方法上，可先求出函數(shù)的解析式，然后再求其他解． 解答：設這兩種方案的應付話費與通話時間的函數(shù)關系為和，由圖知M（60，98），N（500，230），C（500，168），

3、MN∥CD；則 1 / 16 （1）通話2小時的費用分別是116元、168元。 （2） ∴方案B從500分鐘以后，每分鐘收費0.3元。 （3）由圖知，當0≤x≤60時，＜； 當60

4、40小時. (1)設在甲家租一張球臺開展活動x小時的收費為f(x)元(15≤x≤40),乙家租一張球臺開展活動x小時的收費為g(x)元(15≤x≤40).試求f(x)和g(x); (2)問：小張選擇哪家比較合算？為什么？ 【解析】(1)f(x)=5x(15≤x≤40), (2)由f(x)=g(x)得， 即x=18或x=10(舍). 當15≤x<18時，f(x)-g(x)=5x-90<0, ∴f(x)0, ∴f(x)>g(x)

5、,即選乙家; 當300,∴f(x)>g(x),即選乙家. 綜上所述，當15≤x<18時，選甲家，當x=18時，可以選甲家，也可以選乙家，當18

6、飛機的產(chǎn)值函數(shù)為R(x)=3000x-20x2 (單位：萬元），成本函數(shù) C（x)=500x+4000 (單位：萬元）。利潤是收入與成本之差，又在經(jīng)濟學中，函數(shù)（x)的邊際利潤函數(shù)Mx)定義為：Mx)=(x+1)-(x). ①求利潤函數(shù)P(x)及邊際利潤函數(shù)MP(x)；（利潤=產(chǎn)值-成本） ②問該公司的利潤函數(shù)P(x)與邊際利潤函數(shù)MP(x)是否具有相等的最大值？ 解：①P(x)= R(x)- C（x)= -20x2+2500x-4000 (x∈N*,且x∈[1,100])； MP(x)= P(x+1)- P(x)=-40x+2480(x∈N*,且x∈[1,100])； ②P(

7、x)= -20（x-）2+74125 (x∈N*,且x∈[1,100])；則當x=62或63時，P（x)max=74120（元）， 因為MP(x) =-40x+2480為↘，則當x=1時，MP(x)max =2440元，故利潤函數(shù)與邊際利潤函數(shù)不具有相等的最大值。 〖例2〗北京奧運會紀念章某特許專營店銷售紀念章，每枚進價為5元，同時每銷售一枚這種紀念章還需向北京奧組委交特許經(jīng)營管理費2元，預計這種紀念章以每枚20元的價格銷售時該店一年可銷售2000枚，經(jīng)過市場調研發(fā)現(xiàn)每枚紀念章的銷售價格在每枚20元的基礎上每減少一元則增加銷售400枚，而每增加一元則減少銷售100枚，現(xiàn)設每枚紀念章

8、的銷售價格為x元。 （1）寫出該特許專營店一年內銷售這種紀念章所獲得的利潤y（元）與每枚紀念章的銷售價格x的函數(shù)關系式（并寫出這個函數(shù)的定義域）。 （2）當每紀念章銷售價格x為多少元時，該特許專營店一年內利潤y（元）最大，并求出這個最大值。 思路解析：（1）利潤=（售價-進價-管理費）（銷售的紀念章數(shù)），注意價格取值是分段的； （2）分段函數(shù)求最值時，要分段求，然后比較大小。 解答：（1）依題意 些函數(shù)的定義域為（0，40）。 （2） 當0

9、=16 時，該特許專營店獲得的利潤最大為32400元。 注：分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)，生活中很多實例都是分段函數(shù)模型，解決此類問題主要是構造分段函數(shù)，然后分步解決，構造分段函數(shù)時要力求準確、簡捷，做到分段合理，不重不漏。 3、指數(shù)函數(shù)模型 ○相關鏈接○ (1)指數(shù)函數(shù)模型，常與增長率相結合進行考查，在實際問題中有人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來表示； (2)應用指數(shù)函數(shù)模型時，關鍵是對模型的判斷，先設定模型將有關已知數(shù)據(jù)代入驗證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型. (3)y=a(1+x)n通常利用指數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)的性質求解． ○例題解析○

10、 〖例1〗急劇增加的人口已經(jīng)使我們賴以生存的地球不堪重負．控制人口急劇增長的緊迫任務擺在我們的面前． (1)世界人口在過去的40年內翻了一番，問每年人口平均增長率是多少？ (2)我國人口在2006年底達到13.14億，若將人口平均增長率控制在1%以內，我國人口在2016年底至多有多少億？ 以下對數(shù)值可供計算時使用: 思路解析：(1)本題求每年人口增長率,但已知40年內翻一番,所以在解題方法上,可用方程的思想來解； (2)本題是計算10年后我國人口的數(shù)量，由于題設中已知10年前以及每年的增長率，所以在解題方法上，可先找到函數(shù)關系，直接計算求解． 解答：(1)設每年人口平均增長率

11、為x,n年前的人口數(shù)為a,n年后的人口數(shù)為y，則y=a(1+x)n, 依題意得：2a=a(1+x)40,即2=(1+x)40, 兩邊取對數(shù)得，lg2=40lg(1+x), 則lg(1+x)==0.007 525, 所以1+x≈1.017,得x≈0.017, 故每年的人口平均增長率約是1.7%. (2)依題意得y≤13.14(1+1%)10, 兩邊取對數(shù)得，lgy≤lg13.14+10lg(1+1%)≈1.161 6,y≤14.51,故2 016年至多有人口14.51億. 〖例2〗某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人，如果年自然增長率為1.2%,試解答下面的問題： （1）

12、寫出該城市人口總數(shù)y（萬人）與年份x（年）的函數(shù)關系式； （2）計算10年以后該城市人口總數(shù)（精確到0.1萬人）； （3）計算大約多少年以后該城市人口將達到120萬人（精確到1年）。 （1．01210=1．127，1.01215=1.196,1.01216=1.210） 思路解析：列出前幾年該城市人口總數(shù)y與年份x的函數(shù)關系觀察規(guī)律，總結出y與x的函數(shù)關系按要求求解（2）、（3）兩小題 解答：（1）1年后該城市人口總數(shù)為y=100+1001.2%=100(1+1.2%), 2年后該城市人口總數(shù)為 y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)21.2%=100(1+1.2

13、%)2 同理，3年后該城市人口總數(shù)為：y=100(1+1.2%)3 …………………… X年后該城市人口總數(shù)為y=100(1+1.2%)x(x∈N) （2）10年后人口總數(shù)為100（1+1.2）10≈112.7(萬) （3）設x年后該城市人口將達到120萬人，即100（1+1.2%）x=120,x=log1.0121.20≈16（年）。 因此，大約16年以后城市人口將達到120萬人。 注：高考數(shù)學試題中聯(lián)系生活實際和生產(chǎn)實際的應用問題，其創(chuàng)意新穎，設問角度獨特，解題方法靈活，一般文字敘述長，數(shù)量關系分散且難以把握。解決此類問題關鍵要認真審題，確切理解題意，進行科學的抽象概括，將

14、實際問題納為相應的數(shù)學問題，然后利用函數(shù)、方程、不等式等有關知識解答。 4、利用函數(shù)刻畫實際問題 ○相關鏈接○ 用函數(shù)圖象刻畫實際問題的解題思路 將實際問題中兩個變量間變化的規(guī)律(如增長的快慢、最大、最小等)與函數(shù)的性質(如單調性、最值等)、圖象(增加、減少的緩急等)相吻合即可. ○例題解析○ 【例】如圖所示，向高為H的容器A，B，C，D中同時以等速注水，注滿為止： (1)若水深h與注水時間t的函數(shù)圖象是下圖中的(a)，則容器的形狀是______; (2)若水量v與水深h的函數(shù)圖象是下圖中的(b)，則容器的形狀是______; (3)若水深h與注水時間t的函數(shù)圖象

15、是下圖中的(c)，則容器的形狀是______; (4)若注水時間t與水深h的函數(shù)圖象是下圖中的(d)，則容器的形狀是______. 【方法詮釋】根據(jù)實際問題中水深h,水量v和注水時間t之間的關系，結合圖象使之吻合即可. 解析：(1)該題圖中的(a)說明了注入水的高度是勻速上升的，只有C中的容器能做到，所以應填C； (2)該題圖中的(b)說明了水量v增長的速度隨著水深h的增長越來越快，在已知的四個容器中，只有A中的容器能做到，所以應填A； (3)該題圖中的(c)說明水深h與注水時間t之間的對應關系，且反映出來的是升高的速度是由快到慢再到快，在已知的四個容器中，只有D中的容器能做到，

16、所以應填D； (4)該題圖中的(d)說明水深h與注水時間t之間的對應關系，且反映出來的是水深升高的速度是先慢后快，在已知的四個容器中，只有B中的容器能做到，所以應填B． 答案：(1)C　　(2)A　　(3)D　　(4)B 注：用函數(shù)刻畫實際問題的關鍵是分析所給實際問題中兩個變量間的關系，從中發(fā)現(xiàn)其變化的規(guī)律，并與函數(shù)的圖象、性質聯(lián)系起來，從而使問題解決. 5、利用已知函數(shù)模型解決實際問題 ○相關鏈接○ 利用已知函數(shù)模型解決實際問題的步驟 若題目給出了含參數(shù)的函數(shù)模型，或可確定其函數(shù)模型的圖象,求解時先用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式中相關參數(shù)的值,再用求得的函數(shù)解析式解決實際問題.

17、 ○例題解析○ 【例】(1)某產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間的函數(shù)關系式是y=3 000+20x-0.1x2(0

18、氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數(shù)關系式為______. 【方法詮釋】(1)結合二次函數(shù)的性質及實際意義解題即可. (2)結合圖象通過特殊點用待定系數(shù)法求出關系式. 解析：(1)選C.∵要使生產(chǎn)者不虧本， 則有3 000+20x-0.1x2≤25x, 解上式得：x≤-200或x≥150, 又∵0

19、答案: 6、自建模型解決實際問題 ○相關鏈接○ 建立函數(shù)模型解決實際問題的步驟 (1)審題：深刻理解題意，分清條件和結論，理順其中的數(shù)量關系，把握其中的數(shù)學本質； (2)建模：由題設中的數(shù)量關系，建立相應的數(shù)學模型，將實際問題轉化為數(shù)學問題； (3)解模：用數(shù)學知識和方法解決轉化出的數(shù)學問題； (4)還原：回到題目本身，檢驗結果的實際意義，給出結論． ○例題解析○ 【例3】(2012北京模擬)某特許專營店銷售上海世博會紀念章，每枚進價為5元，同時每銷售一枚這種紀念章還需要向上海世博局交特許經(jīng)營管理費2元，預計這種紀念章以每枚20元的價格銷售時，該店一年可銷售2 000枚，經(jīng)過

20、市場調研發(fā)現(xiàn)每枚紀念章的銷售價格在每枚20元的基礎上每減少一元，則增加銷售400枚；而每增加一元則減少銷售100枚，現(xiàn)設每枚紀念章的銷售價格為x元. (1)寫出該特許專營店一年內銷售這種紀念章所獲得的利潤y(元)與每枚紀念章的銷售價格x元之間的函數(shù)關系式(并寫出這個函數(shù)的定義域); (2)當每枚紀念章銷售價格x為多少時，該特許專營店一年內利潤y(元)最大，并求出這個最大值. 【方法詮釋】(1)首先應根據(jù)題意確定出銷售價格x的取值范圍; 再分別求出減少,增加一元時的銷售利潤,從而得到一年所得利潤y(元)的函數(shù)關系式. (2)根據(jù)函數(shù)關系式的結構特征，選擇適當?shù)那笞钪捣椒ㄇ蠼? 解析：

21、(1)依題意銷售價格x∈(7,40)，即定義域為(7,40)，而當7＜x≤20，x∈N+時，則增加銷售400(20-x)枚, 故其一年內銷售所獲得利潤為 y=［2 000+400(20-x)］(x-7); 當20＜x＜40，x∈N+時，則減少銷售100(x-20)枚. 故其一年內銷售所獲得利潤為 y=［2 000-100(x-20)］(x-7)， 綜上得: (2)因為 若7＜x≤20,則當x=16時,ymax=32 400(元). 若20＜x＜40,則當x=23或24時, ymax=27 200(元). 綜上可得當x=16時，該特許專營店獲得的利潤最大,為32 400元. 注：解決這類問題常見的兩個誤區(qū) (1)不會將實際問題轉化為函數(shù)模型，從而無法求解. (2)在求解過程中忽視實際問題對變量參數(shù)的限制條件. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！