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1、
2014年高考一輪復習熱點難點精講精析：
10.3統(tǒng)計案例
(一)線性回歸分析
※相關鏈接※
1.首先利用散點圖判斷兩個變量是否線性相關.
2.求回歸方程.
(1)線性回歸方程中的截距和斜率都是通過樣本估計而來的,存在著誤差,這種誤差可能導致預報結果的偏差.
(2)回歸方程中的表示增加1個單位時的變化量為.
(3)可以利用回歸方程預報在取某一個值時的估計值.
3.相關系數(shù)
利用相關系數(shù)來衡量兩個變量之間的線性相關的強弱.
4.建立回歸模型的步驟
(1)確定研究對象,明確哪個變量是解釋變量,哪個變量是預報變量.
(2)畫出確定好的解釋變量和預報變量的散點圖,
2、觀察它們之間的關系(如是否存在線性關系等).
(3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關系,則選用線性回歸方程).
(4)按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)(如最小二乘法).
(5)得出結果后分析殘差是否異常(個別數(shù)據(jù)對應殘差過大,或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性等).若存在異常,則檢查數(shù)據(jù)是否有誤,或模型是否適合等.
注:回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體,而且一般都有時間性.樣本的取值范圍一般不能超過回歸方程的適用范圍,否則沒有實用價值.
※例題解析※
〖例〗測得某國10對父子身高(單位:英寸)如下:
2 / 8
(1)對變量進行相關性檢驗;
(2)如果
3、之間具有線性相關關系,求回歸方程.
(3)如果父親的身高為73英寸,估計兒子的身高.
思路解析:(1)先根據(jù)已知計算相關系數(shù),判斷是否具有相關關系.
(2)再利用分工求出回歸方程進行回歸分析.
解答:(1)
所以之間具有很強的線性相關關系.
(2)設回歸方程為.由.
故所求的回歸方程為:.
(3)當x=73時, .所以當父親身高為73英寸時,估計兒子身高約為69.9英寸.
(二)非線性回歸分析
※相關鏈接※
1.非線性回歸模型:當回歸方程不是形如時稱之為非線性回歸模型.
2.非線性回歸模型的擬合效果:對于給定的樣本點,兩個含有未知數(shù)的模型,其中都是未知參數(shù).
4、
可按如下的步驟比較它們的擬合效果:
(1)分別建立對應于兩個模型的回歸方程,其中分別是參數(shù)的估計值;
(2)分別計算兩個回歸方程的殘差平方和;
(3)若＜,則;
反之,
※例題解析※
〖例〗為了研究某種細菌隨時間x變化時,繁殖個數(shù)y的變化,收集數(shù)據(jù)如下:
(1)用天數(shù)x作解釋變量,繁殖個數(shù)y作預報變量,作出這些數(shù)據(jù)的散點圖
(2)描述解釋變量x與預報變量y之間的關系;
(3)計算殘差平方和、相關指數(shù).
思路解析:作出散點圖分析與哪種曲線擬合轉化線性關系進行回歸分析.
解答:(1)所作散點圖如圖所示.
(2)由散點圖看出樣本點分析在一條指數(shù)函數(shù)的周
5、圍,于是令,則
由計算器得:則有.
(3)
則,=24642.8,,即解釋變量天數(shù)對預報變量細菌的繁殖個數(shù)解釋了99.99%.
(三)獨立性檢驗
〖例〗在調(diào)查的480名男人中有38名患有色盲,520名女人中有6名患有色盲,分別利用圖形和獨立性檢驗的方法來判斷色盲與性別是否有關?你所得到的結論在什么范圍內(nèi)有效?
思路解析:(1)先由已知作出調(diào)查數(shù)據(jù)的列聯(lián)表;
(2)再根據(jù)列聯(lián)表畫出二維條形圖,并進行分析;
(3)利用獨立性檢驗作出判斷.
解答:根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)作出如下的聯(lián)表:
根據(jù)列聯(lián)表作出相應的二維條形圖,如圖所示.
從二維條形圖來看,在男人中
6、患色盲的比例,要比在女人中患色盲的比例要大,其差值為差值較大,因而我們可以認為“性別與患色盲是有關的”，根據(jù)列聯(lián)表中所給的數(shù)據(jù)可以有
代入公式得。
由于＞10.828,所以我們有99.9%的把握認為性別與患色盲有關系.這個結論只對所調(diào)查的480名男人和520名女人有效.
注:利用圖形來判斷兩個變量之間是否有關系,可以結合所求的數(shù)值來進行比較.作圖應注意單位統(tǒng)一、圖形準確,但它不能給出我們兩個分類變量有關或無關的精確的可信程度,若要作出精確的判斷,可以作獨立性檢驗的有關計算.
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