2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析 選修系列（第3部分：幾何證明選講）

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1、 2014年高考一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析： 選修系列（第3部分：幾何證明選講） 一、相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) （一）平行線（等）分線段成比例定理的應(yīng)用 〖例〗如圖，F(xiàn)為邊上一點(diǎn)，連DF交AC于G，延長(zhǎng)DF交CB的延長(zhǎng)線于E。求證：DGDE=DFEG 思路解析：由于條件中有平行線，考慮平行線（等）分線段定理及推論，利用相等線段（平行四邊形對(duì)邊相等），經(jīng)中間比代換，證明線段成比例，得出等積式。 解答：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥DC，AD=BC，∵AD∥BC，∴， 又∵AB∥DC，∴∴，即DGDE=DFEG。 （二）相似三角形判定定理的應(yīng)用 〖

2、例〗如圖，BD、CE是⊿ABC的高，求證：⊿ADE∽⊿ABC。 解答： （三）相似三角形性質(zhì)定理的應(yīng)用 〖例〗⊿ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=12cm，高AD=8cm,要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上，求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。 思路解析：利用相似三角形的性質(zhì)定理找到所求正方形邊長(zhǎng)與已知條件的關(guān)系即可解得。 2 / 8 解答：設(shè)正方形PQMN為加工成的正方形零件，邊QM在BC上，頂點(diǎn)P、N分別在AB、AC上，⊿ABC的高AD與邊PN相交于點(diǎn)E，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm， ∵PN∥BC，∴⊿APN∽⊿ABC?！唷唷＝獾脁=4.

3、8(cm). 答：加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)為4.8cm。 （四）直角三角形射影定理的應(yīng)用 〖例〗如圖，在Rt⊿ABC中，∠BAC=900，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，求證：AD3=BCBECF。 思路解析：題目中有直角三角形和斜邊上的高符合直角三角形射影定理的兩個(gè)條件，選擇合適的直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。 解答：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=900，在Rt⊿ADB中，∵DE⊥AB，由射影定理得BD2=BEAB， 同理CD2=CFAC，∴BD2CD2= BEABCFAC ① 又在Rt⊿ABC中，AD⊥BC，∴AD2=BDDC

4、 ② 由①②得AD4= BD2CD2 =BEABCFAC= BEABADBC ∴AD3=BCBECF 二、直線與圓的位置關(guān)系 （一）圓周角定理的應(yīng)用 〖例〗如圖，已知⊙是⊿ABC的外接圓，CD是AB邊上的高，AE是⊙的直徑。求證：ACBC=AECD。 解答：連接EC， ∴∠B=∠E?！逜E是⊙的直徑，∴∠ACE=900?！逤D是AB邊上的高，∴∠CDB=900。在⊿AEC與⊿CBD中，∠E=∠B，∠ACE=∠CDB，∴⊿AEC∽⊿CBD?！啵碅CBC=AECD。 （二）圓內(nèi)接四邊形及判定定理的應(yīng)用 〖例〗如圖，已知AP是⊙的

5、切線，P為切點(diǎn)，AC是⊙的割線，與⊙交于B，C兩點(diǎn)，圓心在∠PAC的內(nèi)部，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)。 （1）證明：A，P，，M四點(diǎn)共圓； （2）求∠OAM+∠APM的大小。 思路解析：要證A、P、、M四點(diǎn)共圓，可考慮四邊形APOM的對(duì)角互補(bǔ)；根據(jù)四點(diǎn)共圓，同弧所對(duì)的圓周角相等，進(jìn)行等量代換，進(jìn)而求出∠OAM+∠APM的大小。 解答：（1）連接OP，OM， 因?yàn)锳P與⊙相切于點(diǎn)P，所以O(shè)P⊥AP，因?yàn)镸是⊙的弦BC的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥BC，于是∠OPA+∠OMA=1800。由圓心在∠PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對(duì)角互補(bǔ)，所以A，P，O，M四點(diǎn)共圓。 （2）由（1）得A，P，，M四

6、點(diǎn)共圓，所以∠OAM=∠OPM，由（1）得OP⊥AP，由圓心在∠PAC的內(nèi)部，可知∠OPM+∠APM=900，所以∠OPM+∠APM=900。 （三）圓的切線的性質(zhì)及判定的應(yīng)用 〖例〗已知AB是⊙的直徑，BC是⊙的切線，切點(diǎn)為B，OC平行于弦AD（如圖）。求證：DC是⊙的切線。 解答：連接OD。 ∵OA=OD，∴∠1=∠2，∵AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠3=∠4。又OB=OD，OC=OC，∴⊿OBC≌⊿ODC，∴∠OBC=∠ODC?！連C是⊙的切線，∴∠OBC=900，∴∠ODC=900，∴DC是⊙的切線。 （四）與圓有關(guān)的比例線段 〖例〗如圖所示，已

7、知⊙與⊙相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作⊙的切線交⊙于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作兩圓的割線，分別交⊙、⊙于點(diǎn)D、E，DE與AC相交于點(diǎn)P。 （1）求證：AD∥EC； （2）若AD是⊙的切線，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的長(zhǎng)。 解答：（1）連接AB， ∵AC是⊙的切線，∴∠BAC=∠D。又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC。 （2）設(shè)BP=x,PE=y.∵PA=6，PC=2，∴由相交弦定理得PAPC=BPPE，xy=12 ① ∵AD∥EC,∴ ② 由①②可得，， ∴DE=9+x+y=16. ∵AD是⊙的切線，DE是⊙的割線，∴AD2=DBDE=916，∴AD=12。 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！