2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 熱點難點精講精析 8.3曲線與方程

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1、 2014年高考一輪復(fù)習(xí)熱點難點精講精析: 8.3曲線與方程 (一)用直接法求軌跡方程 ※相關(guān)鏈接※ 1.如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系,這些條件簡單明確,易于表述成含、的等式,得到軌跡方程,這種方法稱之為直接法。用直接法求動點軌跡的方程一般有建系設(shè)點、列式、代換、化簡、證明五個步驟,但最后的證明可以省略。 ⒉運用直接法應(yīng)注意的問題 (1)在用直接法求軌跡方程時,在化簡的過程中,有時破壞了方程的同解性,此時就要補(bǔ)上遺漏的點或刪除多余的點,這是不能忽視的. (2)若方程的化簡過程是恒等變形,則最后的驗證可以省略. ※例題解析※ 〖例〗如圖所示,設(shè)動直線垂

2、直于x軸,且與橢圓交于A、B兩點,P是上滿足的點,求點P的軌跡方程。 思路解析:設(shè)P點坐標(biāo)為(x,y)求出A、B兩點坐標(biāo)代入求P點軌跡標(biāo)明x的范圍。 解答:設(shè)P點的坐標(biāo)為(x,y),則由方程,得,∴,∴A、B兩點的坐標(biāo)分別為,又, ∴,即又直線與橢圓交于兩點,∴-2

3、用定義。同時用定義法求軌跡方程也是近幾年來高考的熱點之一。 注:利用定義法求軌跡方程時,還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線,如果不是完整的曲線,則應(yīng)對其中的變量x或y進(jìn)行限制 ※例題解析※ 〖例1〗(1)已知圓C:x2+y2+6x-91=0及圓內(nèi)一點P(3,0),則過點P且與圓C內(nèi)切的動圓圓心M的軌跡方程為________. (2)已知動圓P與圓C1:(x+5)2+y2=9和圓C2:(x-5)2+y2=1都外切,求動圓圓心P的軌跡方程. 【方法詮釋】(1)由兩圓內(nèi)切可得出兩圓圓心距與兩圓半徑差之間的關(guān)系|CM|=10-r(r為動圓M的半徑),再注意|PM|=r, 從

4、而有|CM|+|PM|=10,由橢圓的定義得出所求軌跡為橢圓; (2)由動圓P與圓C1、圓C2均外切得出|C1P|=r+3,|C2P|=r+1,由此得到|C1P|-|C2P|=2,由雙曲線的定義即可得出所求軌跡及軌跡方程. 解析:(1)因為圓C:x2+y2+6x-91=0的方程可化為:(x+3)2+y2=100,所以圓心坐標(biāo)為C(-3,0),半徑為10;設(shè)動圓圓心M的坐標(biāo)為M(x,y),半徑為r,因為圓C與動圓M內(nèi)切,所以|CM|=10-r,又因為動圓過點P,所以|PM|=r,因此|CM|+|PM|=10>6=|CP|,所以動圓圓心M的軌跡為橢圓,其中長軸長為10,焦距等于6,所以橢圓方程

5、為:+=1,即所求軌跡方程. 答案: +=1 (2)設(shè)動圓圓心P的坐標(biāo)為P(x,y),半徑為r, 因為動圓P與圓C1外切,所以|C1P|=r+3, 又動圓P與圓C2外切,所以|C2P|=r+1, 因此|C1P|-|C2P|=2,由雙曲線的定義可知其軌跡為雙曲線的一支(右支). 由圓C1:(x+5)2+y2=9和圓C2:(x-5)2+y2=1可知: C1(-5,0)、C2(5,0),所以雙曲線的實軸長為2,焦距為10, 所以所求軌跡方程為x2-=1(x≥1). 〖例2〗如圖所示, 一動圓與圓外切,同時與圓內(nèi)切,求動圓圓心M的軌跡方程,并說明它是什么樣的軸線。 思

6、路解析:利用兩圓的位置關(guān)系一相切這一性質(zhì)得到動圓圓心與已知兩圓圓心間的關(guān)系,再從關(guān)系分析滿足何種關(guān)系的定義。 解答:方法一 設(shè)動圓圓心為M(x,y),半徑為R,設(shè)已知圓的加以分別為、, 將圓的方程分別配方得:, 當(dāng)動圓與圓相外切時,有|M|=R+2…………① 當(dāng)動圓與圓相內(nèi)切時,有|M|=R+2……………② 將①②兩式相加,得|M|+|M|=12>||, ∴動圓圓心M(x,y)到點(-3,0)和(3,0)的距離和是常數(shù)12, 所以點M的軌跡是焦點為點(-3,0)、(3,0),長軸長等于12的橢圓。 ∴2c=6,2a=12,∴c=3,a=6 ∴ ∴圓心軌跡方程為,軌跡為橢圓

7、。 方法二:由方法一可得方程(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=12移項再兩邊分別平方得: 兩邊再平方得:,整理得 所以圓心軌跡方程為,軌跡為橢圓。 注:(1)平面向量知識融入解析幾何是高考命題的一大特點,實際上平面向量的知識在這里只是表面上的現(xiàn)象,解析幾何的實質(zhì)是坐標(biāo)法,就是用方程的思想研究曲線,用曲線的性質(zhì)研究方程,軌跡問題正是體現(xiàn)這一思想的重要表現(xiàn)形式,我們只要能把向量所表示的關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的關(guān)系,這類問題就不難解決了。而與解析幾何有關(guān)的范圍問題也是高考??嫉闹攸c。求解參數(shù)問題主要是根據(jù)條件建立含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式,然后確定參數(shù)的值。 (2)回歸定義是解圓錐曲線問題

8、十分有效的方法,值得重視。 (3)對于“是否存在型”探索性問題的求解,先假設(shè)結(jié)論存在,若推證無矛盾,則結(jié)論存在;若推證出矛盾,則結(jié)論不存在。 (三)用相關(guān)點法(代入法)求軌跡方程 ※相關(guān)鏈接※ 1.動點所滿足的條件不易表述或求出,但形成軌跡的動點P(x,y)卻隨另一動點的運動而有規(guī)律的運動,且動點Q的軌跡方程為給定或容易求得,則可先將表示x、y的式子,再代入Q的軌跡方程,然后整理得P的軌跡方程,代入法也稱相關(guān)點法。 2.用代入法求軌跡方程的關(guān)鍵是尋求關(guān)系式:,然后代入已知曲線。而求對稱曲線(軸對稱、中心對稱)方程實質(zhì)上也是用代入法(相關(guān)點法)解題。 注:用代入法求軌跡方程是將x′、

9、y′表示成x、y的式子,同時注意x′、y′的限制條件. ※例題解析※ 〖例〗已知A(-1,0),B(1,4),在平面上動點Q滿足,點P是點Q關(guān)于直線y=2(x-4)的對稱點,求動點P的軌跡方程。 思路解析:由已知易得動點Q的軌跡方程,然后找出P點與Q點的坐標(biāo)關(guān)系,代入即可。 解答: 設(shè)Q(x,y),則 故由,即 所以點Q的軌跡是以C(0,2)為圓心,以3為半徑的圓。 ∵點P是點Q關(guān)于直線y=2(x-4)的對稱點。 ∴動點P的軌跡是一個以為圓心,半徑為3的圓,其中是點C(0,2)關(guān)于直線y=2(x-4) 的對稱點,即直線y=2(x-4)過的中點,且與垂直,于是

10、有 , 解得: 故動點P的軌跡方程為。 (四)用參數(shù)法求軌跡方程 〖例〗設(shè)橢圓方程為,過點的直線交橢圓于點A、B,O是坐標(biāo)原點,點P滿足點N的坐標(biāo)為,當(dāng)繞點M旋轉(zhuǎn)時,求: (1)動點P的軌跡方程; (2)的最小值與最大值。 解析:(1)直線過點,當(dāng)斜率存在時,設(shè)其斜率為,則的方程為記由題設(shè)可得點A、B的坐標(biāo)是方程組的解,消去得于是 , 設(shè)點P的坐標(biāo)為,則 消去參數(shù)得 ① 當(dāng)不存在時,A、B中點為坐標(biāo)原點(0,0),也滿足方程①, 所以點P的軌跡方程為。 (2)由點P的軌跡方程知即 又故 當(dāng)時,取得最小值為; 當(dāng)時,取得最大值為。 希望對大家有所幫助,多謝您的瀏覽!

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