2018版高考數(shù)學(xué) 考點50 與離散型隨機變量的分布列、均值相結(jié)合的綜合問題試題解讀與變式

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1、 考點50 與離散型隨機變量的分布列、均值相結(jié)合的綜合問題 【考綱要求】 理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念，會求簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能利用離散型隨機變量的均值、方差概念解決一些簡單問題. 【命題規(guī)律】 離散型隨機變量的期望與方差的應(yīng)用，是高考的重要考點，不僅考查學(xué)生的理解能力與數(shù)學(xué)計算能力，而且不斷創(chuàng)新問題情境，突出學(xué)生運用概率、期望與方差解決實際問題的能力，以解答題為主，中等難度． 【典型高考試題變式】 與離散型隨機變量的分布列、均值相結(jié)合的綜合問題 例1.【2017課標(biāo)3】某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每

2、瓶 6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率. （1）求六月份這種酸

3、奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列； （2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元）.當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量n（單位： 瓶）為多少時，Y的數(shù)學(xué)期望達到最大值？ 【分析】（1）所有的可能取值為200,300,500，利用題意求得概率即可得到隨機變量的分布列； （2）由題中所給條件分類討論可得n=300時，Y的數(shù)學(xué)期望達到最大值，為520元. 【解析】（1）由題意知，所有可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知 ，，. 因此的分布列為 0.2 0.4 0.4 所以n=300時，Y的數(shù)學(xué)期望達到最大值，最大值為520元. 【名師點睛

4、】離散型隨機變量的分布列指出了隨機變量X的取值以及取各值的概率；要理解兩種特殊的 概率分布——兩點分布與超幾何分布，并善于靈活運用兩性質(zhì)：一是pi≥0(i＝1,2，…)；二是p1＋p2＋…＋pn＝1檢驗分布列的正誤. 【變式1】【2018河南省漯河市模擬】汽車店是一種以“四位一體”為核心的特許經(jīng)營模式，包括整車銷售、零配件銷售、售后服務(wù)、信息反饋等。某品牌汽車店為了了解， ， 三種類型汽車質(zhì)量問題,對售出的三種類型汽車各取100輛進行跟蹤服務(wù),發(fā)現(xiàn)各車型一年內(nèi)需要維修的車輛如下表所示1.表1 （1）某公司一次性從店購買該品牌， ， 型汽車各一輛,記表示這三輛車的一年內(nèi)需要維修的車輛數(shù)，求

5、的分布列及數(shù)學(xué)期望.(各型汽車維修的頻率視為其需要維修的概率). （2）該品牌汽車店為了對廠家新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按使事先擬定的各種價格進行試銷相等時間，得到數(shù)據(jù)如表2. 預(yù)計在今后的銷售中,銷量與單價仍然服從的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是500元/件,為使4S店獲得最大利潤(利潤=銷售收入-成本)，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定位多少元？ 表1 車型 頻數(shù) 20 20 40 表2 單價 (元) 800 820 840 850 880 900 銷量 (件) 90 84 83 80 75 68 【解析】（1）根據(jù)表格, 型車

6、維修的概率為, 型車維修的概率為, 型車維修的概率為. 由題意, 的可能值為0,1,2,3, 所以 ； ； 所以的分布列為 0 1 2 3 所以 . 【變式2】【2018四川省德陽市三校聯(lián)合測試】為了引導(dǎo)居民合理用電，國家決定實行合理的階梯電價，居民用電原則上以住宅為單位（一套住宅為一戶）. 階梯級別 第一階梯 第二階梯 第三階梯 月用電范圍（度） （0,210] （210,400] 某市隨機抽取10戶同一個月的用電情況，得到統(tǒng)計表如下： 居民用電戶編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9

7、10 用電量（度） 53 86 90 124 132 200 215 225 300 410 若規(guī)定第一階梯電價每度0.5元，第二階梯超出第一階梯的部分每度0.6元，第三階梯超出第二階梯的部分每度0.8元，試計算A居民用電戶用電410度時應(yīng)交電費多少元？ 現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯電量的戶數(shù)的分布列與期望； 以表中抽到的10戶作為樣本估計全市的居民用電，現(xiàn)從全市中依次抽取10戶，若抽到戶用電量為第一階梯的可能性最大，求的值. 【解析】（1）元, 設(shè)取到第二階梯電量的用戶數(shù)為，可知第二階梯電量的用戶有3戶，則可取0,1,2,3, ,

8、 , 故的分布列是 0 1 2 3 所以 , 可知從全市中抽取10戶的用電量為第一階梯，滿足，可知 , ,解得， , 所以當(dāng)時，概率最大，所以. 【數(shù)學(xué)思想】 ① 數(shù)形結(jié)合思想． ② 函數(shù)方程思想． ③ 轉(zhuǎn)化與化歸思想. 【溫馨提示】 均值能夠反映隨機變量取值的“平均水平”，因此，當(dāng)均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分曉，由此可對實際問題作出決策判斷；若兩隨機變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進而進行決策． 【典例試題演練】 1.【2017河南百校聯(lián)考】小李參加一種紅

9、包接龍游戲：他在紅包里塞了12元，然后發(fā)給朋友，如果猜中，將獲得紅包里的所有金額；如果未猜中，將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友，如果猜中，平分紅包里的金額；如果未猜中，將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友，如果猜中，和平分紅包里的金額；如果未猜中，紅包里的錢將退回小李的賬戶，設(shè)猜中的概率分別為，且是否猜中互不影響． （1）求恰好獲得4元的概率； （2）設(shè)獲得的金額為元，求的分布列； （3）設(shè)獲得的金額為元，獲得的金額為元，判斷所獲得的金額的期望能否超過的期望與的期望之和． （3）的可能取值為0，4，6；的可能取值為0，4． 因為， ， 所以， 所以， 又， 由于，所以所獲得的金額的期望能超過的

10、期望與的期望之和． 2.【2016洛陽市統(tǒng)一考試】今年春節(jié)期間，在為期5天的某民俗廟會上，某攤點銷售一種兒童玩具的情況如下表： 日期 天氣 2月13日 2月14日 2月15日 2月16日 2月17日 小雨 小雨 陰 陰轉(zhuǎn)多云 多云轉(zhuǎn)陰 銷售量 上午 42 47 58 60 63 下午 55 56 62 65 67 由表可知：兩個雨天的平均銷售量為100件/天，三個非雨天的平均銷售量為125件/天. （1）以十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉，畫出表中10個銷售數(shù)據(jù)的莖葉圖，并求出這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)； （2）假如明天廟會5天中每天下雨的概率為，且每

11、天下雨與否相互獨立，其他條件不變，試估計廟會期間同一類型攤點能夠售出的同種兒童玩具的件數(shù)； （3）已知攤位租金為1000元/個，該種玩具進貨價為9元/件，售價為13元/件，未售出玩具可按進貨價退回廠家，若所獲利潤大于1200元的概率超過0.6，則稱為“值得投資”，那么在（2）的條件下，你認為“值得投資”嗎? 【解析】（1）由已知得如下莖葉圖，中位數(shù)為. （2）設(shè)明年廟會期間下雨天數(shù)為，則的所有可能取值為0,1,2,3,4,5，且～， 所以， 所以估計明年廟會期間，可能有2天下雨，3天不下雨， 據(jù)此推測廟會期間該攤點能售出的玩具件數(shù)為. 3.一個口袋中有2個白球和n個紅球(

12、n≥2，且n∈N*)，每次從袋中摸出兩個球(每次摸球后把這兩個球放回袋中)，若摸出的兩個球顏色相同為中獎，否則為不中獎． （1）試用含n的代數(shù)式表示一次摸球中獎的概率； （2）若n＝3，求三次摸球恰有一次中獎的概率； （3）記三次摸球恰有一次中獎的概率為f(p)，當(dāng)n為何值時，f(p)取最大值？ 【解析】（1）一次摸球從n＋2個球中任選兩個，有C種選法，其中兩球顏色相同有C＋C種選法，因此一次摸球中獎的概率為＝. （2）若n＝3，則一次摸球中獎的概率為，三次摸球是獨立重復(fù)試驗，三次摸球中恰有一次中獎的概率是C··(1－)2＝. （3）設(shè)一次摸球中獎的概率是p，則三次摸球恰有一次中獎

13、的概率是f(p)＝C·p·(1－p)2＝3p3－6p2＋3p，0＜p＜1. 因為f′(p)＝9p2－12p＋3＝3(p－1)(3p－1)， 所以f(p)在(0，)上是增函數(shù)，在(，1)上是減函數(shù)， 所以當(dāng)p＝時，f(p)取最大值， 所以p＝＝(n≥2，且n∈N*)，所以n＝2. 故n＝2時，f(p)取最大值． 4.為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1 000位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額． （1）若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元，其余3個均為10元，求： ①顧客所獲的獎

14、勵額為60元的概率； ②顧客所獲的獎勵額的分布列及均值； （2）商場對獎勵總額的預(yù)算是60 000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成．為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由． （2）根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵額為60元．所以，先尋找均值為60元的可能方案．對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10,10,10,50)的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以均值不可能為60元；如果選擇(50,50,50,10)的方

15、案，因為60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能為60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，記為方案1. 對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，記為方案2. 以下是對兩個方案的分析： 對于方案1，即方案(10,10,50,50)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為X1，則X1的分布列為 X1 20 60 100 P X1的均值E(X1)＝20×＋60×＋100×＝60， X1的方差D(X1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×

16、＝. 對于方案2，即方案(20,20,40,40)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為X2，則X2的分布列為 X2 40 60 80 P X2的均值E(X2)＝40×＋60×＋80×＝60， X2的方差D(X2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝. 由于兩種方案的獎勵額的均值都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案2. 5.(2016·全國乙卷)某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200 元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500 元．

17、現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100 臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100 臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1 臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2 臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2 臺機器的同時購買的易損零件數(shù)． （1）求X的分布列； （2）若要求P(X≤n)≥0.5，確定n的最小值； （3）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應(yīng)選用哪個？ 【解析】（1）由柱狀圖及以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2，0.

18、4，0.2,0.2. 從而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16； P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04. 所以X的分布列為 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 6

19、.【2018四川省樂山外國語學(xué)校模擬】某公司每個工作日由位于市區(qū)的總公司向位于郊區(qū)的分公司開一個來回的班車（每年按200個工作日計算），現(xiàn)有兩種使用班車的方案，方案一是購買一輛大巴，需花費90萬元，報廢期為10年，車輛平均每年的各種費用合計5萬元，司機年工資6萬元，司機每天請假的概率為0.1（每年請假時間不超過15天不扣工資，超過15天每天100元），若司機請假則需從公交公司雇傭司機，每天支付300元工資.方案二是租用公交公司的車輛（含司機），根據(jù)調(diào)研每年12個月的車輛需求指數(shù)如直方圖所示，其中當(dāng)某月車輛需求指數(shù)在時，月租金為萬元. （1）若購買大巴，設(shè)司機每年請假天數(shù)為，求公司因司機請假而增加的花費（元）及使用班車年平均花費（萬元）的數(shù)學(xué)期望. （2）試用調(diào)研數(shù)據(jù)，給出公司使用班車的建議，使得年平均花費最少. 【解析】（1）由已知，當(dāng)時， ， 當(dāng)時， 所以 由已知，所以 所以（萬元） 12