物理選修3-1：第一章《靜電場(chǎng)》典型例題
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【典型例題】 [例1] 如圖中虛線表示等勢(shì)面，相鄰兩等勢(shì)面間電勢(shì)差相等。有一帶正電的粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，實(shí)線表示該帶正電的粒子只在電場(chǎng)力作用下的運(yùn)動(dòng)軌跡，粒子在a點(diǎn)的動(dòng)能為20 eV，運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為2 eV。若取c點(diǎn)為零勢(shì)點(diǎn)，則當(dāng)粒子的電勢(shì)能為一6 eV時(shí)，它的動(dòng)能是（ ） A. 16 eV B. 14 eV C. 6 eV D. 4 eV 解析：因該帶正電的粒子從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)動(dòng)能減少了18eV，則運(yùn)動(dòng)至c等勢(shì)面時(shí)的動(dòng)能Ekc＝20 eV一＝8eV，帶電粒子的總能量E＝Ekc+Ec＝8eV+0＝8eV。當(dāng)粒子的電勢(shì)能為-6eV時(shí)，動(dòng)能Ek＝8eV一（一6）eV＝14eV，選項(xiàng)B正確。 說(shuō)明：帶電粒子只在電場(chǎng)力作用下運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能和電勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，總能量守恒。 [例2] 如圖所示，在真空中，兩條長(zhǎng)為60 cm的絲線一端固定于O點(diǎn)，另一端分別系一質(zhì)量均為0.1g的小球A和B。當(dāng)兩小球帶相同的電荷量時(shí)，A球被光滑的絕緣擋板擋住，且使OB線保持與豎直方向成60?角而靜止。求： （1）小球所帶電荷量； （2）OB線受到的拉力。 解析：作B 球的受力分析圖如圖所示，B受G、F、T三力作用，三力平衡時(shí)表示三力的有向線段依次相接可以組成一個(gè)封閉的力三角形。由圖可知，該力三角形與幾何三角形AOB相似，由于ΔAOB為等邊三角形，故力三角形也是等邊三角形。 設(shè)AB長(zhǎng)為l，則（1）由F＝＝mg，得小球電荷量為 Q＝＝＝2.010－6 C （2）OB線受的拉力為T(mén)＝G＝mg＝0.110—310 N＝10—3 N [例3] 如圖所示，用電池對(duì)電容器充電，電路a、b之間接有一靈敏電流表，兩極板之間有一個(gè)電荷q處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)將兩極板的間距變大，則（ ） A. 電荷將向上加速運(yùn)動(dòng) B. 電荷將向下加速運(yùn)動(dòng) C。電流表中將有從a到b的電流 D。電流表中將有從b到a的電流 解析：充電后電容器的上極板A帶正電。不斷開(kāi)電源，增大兩板間距，U不變、d增大。由C＝知電容C減小。由Q=CU知極板所帶電荷量減少。由E＝知兩極板間場(chǎng)強(qiáng)減小。場(chǎng)強(qiáng)減小會(huì)使電荷q受到的電場(chǎng)力減小，電場(chǎng)力小于重力，合力向下，電荷q向下加速運(yùn)動(dòng)。極板所帶電荷量減少，會(huì)有一部分電荷返回電源，形成逆時(shí)針?lè)较虻碾娏?。電流表中將?huì)有由b到a的電流，選項(xiàng)BD正確。 [例4] 如圖所示，離子發(fā)生器發(fā)射出一束質(zhì)量為m、電荷量為q的離子，從靜止經(jīng)加速電壓U1加速后，獲得速度vo，并沿垂直于電場(chǎng)線方向射入兩平行板中央，受偏轉(zhuǎn)電壓U2作用后，以速度v離開(kāi)電場(chǎng)。已知平行板長(zhǎng)為l，兩板間距離為d，（重力忽略不計(jì)） 求： （1）vo的大?。? （2）離子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t； （3）離子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中受到的電場(chǎng)力的大小F；（4）離子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的加速度；。 （5）離子在離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的橫向速度vx； （6）離子在離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的速度vy的大??； （7）離子在離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的橫向偏移量y； （8）離子離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)角θ的正切值tanθ。 解析：（1）不管加速電場(chǎng)是不是勻強(qiáng)電場(chǎng)，W=qU都適用，所以由動(dòng)能定理得： qU1＝，所以v0＝。 （2）由于偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)是勻強(qiáng)電場(chǎng)，所以離子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)。 即垂直電場(chǎng)方向?yàn)樗俣葹関0的勻速運(yùn)動(dòng)，平行電場(chǎng)方向?yàn)槌跛俣葹榱愕膭蚣铀僦本€運(yùn)動(dòng)。 所以在垂直電場(chǎng)方向t＝＝l （3）E＝，F(xiàn)＝—qE＝ （4）a＝＝。 （5）vy＝at＝l＝ （6）v＝＝。 （7）y＝＝＝（和帶電粒子q、m無(wú)關(guān)，只取決于加速電場(chǎng)和偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)） （8）tanθ＝＝＝（和帶電粒子q、m無(wú)關(guān)，只取決于加速電場(chǎng)和偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)） [例5] 如圖所示，A、B為平行金屬板，兩板相距為d，分別與電源兩極相連，兩板的中央各有一小孔M和N。今有一帶電質(zhì)點(diǎn)，自A板上方相距d的P點(diǎn)由靜止自由下落（P、M、N在同一直線上），空氣阻力忽略不計(jì)，到達(dá)N孔時(shí)速度恰好為零，然后沿原路返回。若保持兩極間的電壓不變，則：① 把A板向上平移一小段距離，質(zhì)點(diǎn)自P點(diǎn)自由下落后仍能返回 ② 把A板向下平移一小段距離，質(zhì)點(diǎn)自P點(diǎn)自由下落后將穿過(guò)N孔繼續(xù)下落 ③把B板向上平移一小段距離，質(zhì)點(diǎn)自P點(diǎn)自由下落后仍能返回 ④把B板向下平移一小段距離，質(zhì)點(diǎn)自P點(diǎn)自由下落后將穿過(guò)N孔繼續(xù)下落，以上判斷正確的是（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 解析：考查質(zhì)點(diǎn)自P下落到N孔處的全過(guò)程。根據(jù)動(dòng)能定理，在A、B兩板沒(méi)有移動(dòng)時(shí)mg2d—qU＝0 （1） 其中m和q分別為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和帶電荷量，U為兩極板間的電壓。 當(dāng)A板向上或向下移動(dòng)一小段距離時(shí)，由于極板間電壓不變，故（1）式仍成立，故①正確，②錯(cuò)誤。 當(dāng)B板向上平移一小段距離時(shí)，質(zhì)點(diǎn)自P下落至N的距離h<2d，即有mgh—qU<0 （2） （2）式表明質(zhì)點(diǎn)未到N即返回。 當(dāng)B板向下平移一小段距離時(shí)，質(zhì)點(diǎn)自P下落至N的距離h>2d，即有 mgh’一qU’＝>0 （3） （3）式表明質(zhì)點(diǎn)能穿過(guò)N孔繼續(xù)下落。 ①③④正確，即應(yīng)選D。 [例6] 如圖所示，M、N是水平放置的一對(duì)金屬板，其中M板中央有一個(gè)小孔O，板間存在豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)。AB是一長(zhǎng)9L的輕質(zhì)絕緣細(xì)桿，在桿上等間距地固定著l0個(gè)完全相同的帶正電小球，每個(gè)小球的電荷量為q、質(zhì)量為m，相鄰小球距離為L(zhǎng)現(xiàn)將最下端小球置于O處，然后將AB由靜止釋放，AB在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持豎直。經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)，在第4個(gè)小球進(jìn)入電場(chǎng)到第5個(gè)小球進(jìn)入電場(chǎng)這一過(guò)程中AB做勻速運(yùn)動(dòng)。求： （1）兩板間電場(chǎng)強(qiáng)度E；（2）上述勻速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度v的大小。 解析：（1）由題意，當(dāng)有4個(gè)小球在電場(chǎng)中時(shí)，電場(chǎng)力等于重力： 4Eq＝l0mg ① E＝5mg／2q ② （2）對(duì)第4個(gè)小球剛好進(jìn)入電場(chǎng)之前的過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理： l0mg3L—qE（3L+2L+L）＝ ③ 將②式代入③式得v＝。 [例7] 如圖所示，在x>0的空間中，存在沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)E；在x<0的空間中存在沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小也為E。一電子（一e，m）在x＝d處的P點(diǎn)以沿y軸正方向的初速度v0開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，不計(jì)電子重力。求： （1）電子的x方向分運(yùn)動(dòng)的周期； （2）電子運(yùn)動(dòng)的軌跡與y軸的各個(gè)交點(diǎn)中，任意兩個(gè)交點(diǎn)的距離。 解析：電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的受力情況及軌跡如圖所示。 在x>０的空間中，沿y軸正方向以v0的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，沿x軸負(fù)方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度的大小為a，則F＝eE＝ma d＝ ＝v0t1 解得：t1＝ ＝vo 電子從A點(diǎn)進(jìn)入x<0的空間后，沿y軸正方向仍做速度為v0的勻速直線運(yùn)動(dòng)，沿x軸負(fù)方向做加速度大小仍為a的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)Q點(diǎn)。根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性得，電子在x軸方向速度減為零的時(shí)間 t2＝t1＝，電子沿y軸正方向的位移）＝＝vo。 電子到達(dá)Q點(diǎn)后，在電場(chǎng)力作用下，運(yùn)動(dòng)軌跡QCPl與QAP關(guān)于QB對(duì)稱(chēng)，而后的運(yùn)動(dòng)軌跡沿y軸正方向重復(fù)PAQCP1，所以有：（1）電子的x方向分運(yùn)動(dòng)的周期T＝4 t1＝4。 （2）電子運(yùn)動(dòng)的軌跡與y軸的各個(gè)交點(diǎn)中，任意兩個(gè)交點(diǎn)的距離s＝n=2n＝2nvo（n＝1，2，3……）。 8. 某帶電粒子僅在電場(chǎng)力作用下由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，電場(chǎng)線、粒子在A點(diǎn)的初速度及運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，可以判定（ ） A. 粒子在A點(diǎn)的加速度大于它在B點(diǎn)的加速度 B. 粒子在A點(diǎn)的動(dòng)能小于它在B點(diǎn)的動(dòng)能 C. 粒子在A點(diǎn)的電勢(shì)能小于它在B點(diǎn)的電勢(shì)能 D. 電場(chǎng)中A點(diǎn)的電勢(shì)低于B點(diǎn)的電勢(shì) A B r 圖2 9．如圖2所示，絕緣水平面上靜止著兩個(gè)質(zhì)量均為m，電量均為+Q的物體A和B（A、B均可視為質(zhì)點(diǎn)），它們間的距離r，與水平面的動(dòng)摩擦因數(shù)均為,則此時(shí)A受到的摩擦力為 。 如果將A的電量增至+4Q，則兩物體將開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它們的加速度第一次為零時(shí)，A運(yùn)動(dòng)的距離 ，B運(yùn)動(dòng)的距離為 。 10. 如圖所示，水平放置的金屬板正上方有一固定的正點(diǎn)電荷Q，一表面絕緣的帶正電的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)且不影響Q的電場(chǎng)），從左端以初速度V0滑上金屬板，沿光滑的上表面向右運(yùn)動(dòng)到右端。在該運(yùn)動(dòng)過(guò)程中（ ） A. 小球作勻速直線運(yùn)動(dòng) B. 小球作先減速，后加速運(yùn)動(dòng) C. 小球的電勢(shì)能保持不變 D. 電場(chǎng)力對(duì)小球所做的功為零 11．A、B兩帶電小球，A固定不動(dòng)，B的質(zhì)量為m，在庫(kù)侖力作用下，B由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，已知初始時(shí)，A、B間的距離為d，B的加速度為a，一段時(shí)間后，B的加速度變?yōu)?，此時(shí)A、B間的距離應(yīng)為_(kāi)_____________.已知此時(shí)B的速度為v，則在此過(guò)程中電勢(shì)能的減少量為_(kāi)__________ 12. 如圖所示，有兩個(gè)完全相同的金屬球A、B，B固定在絕緣地板上，A在離B高H的正上方由靜止釋放，與B發(fā)生正碰后回跳高度為h，設(shè)碰撞中無(wú)動(dòng)能損失，空氣陰力不計(jì)，則（ ） A. 若A、B帶等量同種電荷，則h＞H B. 若A、B帶等量異種電荷，則h＜H C. 若A、B帶等量異種電荷，則h＞H D. 若A、B帶等量異種電荷，則h＝H 13. 如圖所示，ql、q2、q3分別表示在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)電荷。已知ql與q2之間的距離為ll，q2與q3之間的距離為l2，且每個(gè)電荷都處于平衡狀態(tài)。若q2為正電荷，則ql為 電荷，q3為 電荷；ql、q2、q3三者電荷量大小之比是 ： ： 14 .在真空中的O點(diǎn)放一點(diǎn)電荷Q=1.010－9C，直線MN過(guò)O點(diǎn)，OM=30cm，M點(diǎn)放有一點(diǎn)電荷q=－210－10C，如圖所示。求：（1）M點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大??；（2）若M點(diǎn)的電勢(shì)比N點(diǎn)的電勢(shì)高15V，則電荷q從M點(diǎn)移到N點(diǎn)，電勢(shì)能變化了多少? 15. 如圖所示，BC是半徑為R的1/4圓弧形的光滑且絕緣的軌道，位于豎直平面內(nèi)，其下端與水平絕緣軌道平滑連接，整個(gè)軌道處在水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度為E.今有一質(zhì)量為m、帶正電q的小滑塊（體積很小可視為質(zhì)點(diǎn)），從C點(diǎn)由靜止釋放，滑到水平軌道上的A點(diǎn)時(shí)速度減為零。若已知滑塊與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，求： （1）滑塊通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大?。? （2）水平軌道上A,B兩點(diǎn)之間的距離。 16.一個(gè)帶電質(zhì)點(diǎn)的帶電荷量為310-9C的正電荷，逆著電場(chǎng)方向從A點(diǎn)移動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程中外力做功為610-5J，帶電質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能增加了4.510-5J，求A、B兩點(diǎn)間的電勢(shì)差UAB。 17. 如圖所示，水平放置的平行金屬板A、B間距為d，帶電粒子的電荷量為q，質(zhì)量為m，粒子以速度v從兩極板中央處水平飛入兩極板間，當(dāng)兩板上不加電壓時(shí)，粒子恰從下板的邊緣飛出.現(xiàn)給AB加上一電壓，則粒子恰好從上極板邊緣飛出求： （1）兩極板間所加電壓U；（2）金屬板的長(zhǎng)度L A B 圖14 18．如圖14所示,在真空中用等長(zhǎng)的絕緣絲線分別懸掛兩個(gè)點(diǎn)電荷A和 B,其電荷量分別為+q和-q.在水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)作用下,兩懸線保持豎直,此時(shí)A、B間的距離為L(zhǎng).求該勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向, A B O q l E m 圖15 19．如圖15所示,在場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)中,一絕緣輕質(zhì)細(xì)桿可繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng),A端有一個(gè)帶正電的小球,電荷量為q,質(zhì)量為m。將細(xì)桿從水平位置自由釋放,則： (1)請(qǐng)說(shuō)明小球由A到B的過(guò)程中電勢(shì)能如何變化? (2)求出小球在最低點(diǎn)時(shí)的速率 _ v + 圖16 (3)求在最低點(diǎn)時(shí)絕緣桿對(duì)小球的作用力. 20．如圖16所示,電荷量為q,質(zhì)量為m的帶電粒子以速度v垂直進(jìn)入平行板電容器中（不計(jì)粒子的重力），已知極板的長(zhǎng)度為，兩極板間的距離為d，兩極板間的電壓為U，試推導(dǎo)帶電粒子射出電容器時(shí)在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)位移y和偏轉(zhuǎn)角的表達(dá)式。 圖17 21．如圖17所示,半徑為R的絕緣光滑圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，環(huán)上套一個(gè)帶正電的小珠子，，該裝置所在空間存在著水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，已知珠子所受電場(chǎng)力是重力的，將珠子從最低點(diǎn)由靜止釋放。求：珠子獲得的最大速度 22．一個(gè)不帶電的平行板電容器,用電壓為60V的直流電源(不計(jì)電源的內(nèi)阻)充電,充電過(guò)程中電源耗去了4.810-6J的能量,試求：（1）這個(gè)電容器的電容 （2）在充電過(guò)程中,從一個(gè)極板轉(zhuǎn)移至另一個(gè)極板的電子數(shù)目. 23．一個(gè)帶正電的微粒，從A點(diǎn)射入水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，微粒沿直線AB運(yùn)動(dòng)，如圖18所示，AB與電場(chǎng)線夾角θ=30，已知帶電微粒的質(zhì)量m=1.010－7kg，電量q=1.010－10C，A、B相距L=20cm。（取g=10m/s2，結(jié)果保留二位有效數(shù)字）圖18 求： （1）說(shuō)明微粒在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，要求說(shuō)明理由。 （2）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向？ （3）要使微粒從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，微粒射入電場(chǎng)時(shí)的最小速 度是多少？ 圖19 24．如圖19所示，在豎直放置的足夠大的鉛屏A的右表面上貼著射線（即電子）放射源P，已知射線實(shí)質(zhì)為高速電子流，放射源放出粒子的速度v0＝1.0107m/s。足夠大的熒光屏M與鉛屏A平行放置，相距d ＝2.010－2m，其間有水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小E＝2.5104N/C。已知電子電量e＝1.610-19C，電子質(zhì)量取m＝9.010-31kg。 求： （1）電子到達(dá)熒光屏M上的動(dòng)能。 （2）熒光屏上的發(fā)光面積。 圖20 25．如圖20所示，足夠大的平行金屬板豎直放置，兩板相距為d，分別與直流電源的正負(fù)極相連，電源電動(dòng)勢(shì)為E．質(zhì)量為m、電量為-q的質(zhì)點(diǎn)沿著右板的邊緣從a點(diǎn)開(kāi)始被豎直上拋，最后在左板與a點(diǎn)等高的b點(diǎn)與左板相碰,重力加速度用g表示。試計(jì)算： (1)帶電質(zhì)點(diǎn)由a到b運(yùn)動(dòng)過(guò)程中到達(dá)的最高點(diǎn)，相對(duì)于ab的高度多大？最高點(diǎn)與右板相距多遠(yuǎn)？ （2）質(zhì)點(diǎn)與左板相碰前的瞬時(shí)速度的大小和方向。 {答案} 8. B 解析：由電場(chǎng)線的疏密可知場(chǎng)強(qiáng)EB>EA，所以粒子的加速度aB>aA。由定性畫(huà)出的等勢(shì)面并根據(jù)沿電場(chǎng)線方向電勢(shì)降低，可知電勢(shì)φA>φB，由粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的彎曲趨向可知電場(chǎng)力做正功，所以動(dòng)能、電勢(shì)能的變化情況為EKB>EKA，EB下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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