高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題1 集合與常用邏輯用語 第5練 如何讓“線性規(guī)劃”不失分 文

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第5練　如何讓“線性規(guī)劃”不失分 [題型分析高考展望]　“線性規(guī)劃”是高考每年必考的內容，主要以選擇題、填空題的形式考查，題目難度大多數(shù)為低、中檔，在填空題中出現(xiàn)時難度稍高．二輪復習中，要注重?？碱}型的反復訓練，注意研究新題型的變化點，爭取在該題目上做到不誤時，不丟分． 體驗高考 1．(2015天津)設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝x＋6y的最大值為(　　) A．3 B．4 C．18 D．40 答案　C 解析　畫出約束條件的可行域如圖中陰影部分， 作直線l：x＋6y＝0，平移直線l可知，直線l過點A時，目標函數(shù)z＝x＋6y取得最大值，易得A(0,3)， 所以zmax＝0＋63＝18，選C. 2．(2015陜西)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為(　　) 甲 乙 原料限額 A 3 2 12 B 1 2 8 A.12萬元 B．16萬元 C．17萬元 D．18萬元 答案　D 解析　設甲，乙的產(chǎn)量分別為x噸，y噸， 由已知可得 目標函數(shù)z＝3x＋4y，線性約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示： 可得目標函數(shù)在點A處取到最大值． 由得A(2,3)． 則zmax＝32＋43＝18(萬元)． 3．(2015課標全國Ⅱ)若x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為____________． 答案　 解析　畫出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分(△ABC)所示： 作直線l0：x＋y＝0，平移l0到過點A的直線l時，可使直線y＝－x＋z在y軸上的截距最大，即z最大， 解得 即A，故z最大＝1＋＝. 4．(2016山東)若變量x，y滿足則x2＋y2的最大值是(　　) A．4 B．9 C．10 D．12 答案　C 解析　滿足條件的可行域如圖中陰影部分(包括邊界)，x2＋y2是可行域上動點(x，y)到原點(0,0)距離的平方，顯然，當x＝3，y＝－1時，x2＋y2取最大值，最大值為10.故選C. 5．(2016浙江)若平面區(qū)域夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　已知不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示的陰影部分， 由 解得A(1,2)， 由 解得B(2,1)． 由題意可知，當斜率為1的兩條直線分別過點A和點B時，兩直線的距離最小， 即|AB|＝＝. 高考必會題型 題型一　已知約束條件，求目標函數(shù)的最值 例1　(2016北京)若x，y滿足則2x＋y的最大值為(　　) A．0 B．3 C．4 D．5 答案　C 解析　不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示．令z＝2x＋y，則y＝－2x＋z，作直線2x＋y＝0并平移，當直線過點A時，截距最大，即z取得最大值，由得所以A點坐標為(1,2)，可得2x＋y的最大值為21＋2＝4. 點評　(1)確定平面區(qū)域的方法：“直線定界，特殊點定域”． (2)線性目標函數(shù)在線性可行域中的最值，一般在可行域的頂點處取得，故可先求出可行域的頂點，然后代入比較目標函數(shù)的取值即可確定最值． 變式訓練1　設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝x＋2y的最小值為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　B 解析　根據(jù)約束條件作出可行域，如圖陰影部分所示． 由z＝x＋2y，得y＝－x＋z，z的幾何意義是直線y＝－x＋z在y軸上的截距，要使z最小，需使z最小，易知當直線y＝－x＋z過點A(1,1)時，z最小，最小值為3，故選B. 題型二　解決參數(shù)問題 例2　已知a＞0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝________. 答案　 解析　作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分)． 易知直線z＝2x＋y過交點A時，z取最小值， 由得 ∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝. 點評　所求參數(shù)一般為對應直線的系數(shù)，最優(yōu)解的取得可能在某點，也可能是可行域邊界上的所有點，要根據(jù)情況利用數(shù)形結合進行確定，有時還需分類討論． 變式訓練2　(2015山東)已知x，y滿足約束條件若z＝ax＋y的最大值為4，則a等于(　　) A．3 B．2 C．－2 D．－3 答案　B 解析　不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示， 易知A(2,0)，由 得B(1,1)． 由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z. ∴當a＝－2或a＝－3時，z＝ax＋y在O(0,0)處取得最大值，最大值為zmax＝0，不滿足題意，排除C，D選項；當a＝2或3時，z＝ax＋y在A(2,0)處取得最大值， ∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故選B. 題型三　簡單線性規(guī)劃的綜合應用 例3　(1)投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100噸需要資金200萬元，需場地200平方米；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100噸需要資金300萬元，需場地100平方米．現(xiàn)某單位可使用資金1 400萬元，場地900平方米，則上述要求可用不等式組表示為__________________(用x，y分別表示生產(chǎn)A，B產(chǎn)品的噸數(shù)，x和y的單位是百噸)． (2)(2016課標全國乙)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為________元． 答案　(1) (2)216 000 解析　(1)用表格列出各數(shù)據(jù) A B 總數(shù) 產(chǎn)品噸數(shù) x y 資金 200x 300y 1 400 場地 200x 100y 900 所以不難看出， (2)設生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，根據(jù)所耗費的材料要求、工時要求等其他限制條件，得線性約束條件為目標函數(shù)z＝2 100x＋900y. 作出可行域為圖中的四邊形，包括邊界，頂點為(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)處取得最大值，zmax＝2 10060＋900100＝216 000(元)． 點評　若變量的約束條件形成一個區(qū)域，如圓、三角形、帶狀圖形等，都可考慮用線性規(guī)劃的方法解決，解決問題的途徑是：集中變量的約束條件得到不等式組，畫出可行域，確定變量的取值范圍，解決具體問題． 變式訓練3　設點P(x，y)是不等式組所表示的平面區(qū)域內的任意一點，向量m＝(1,1)，n＝(2,1)，點O是坐標原點，若向量O＝λm＋μn(λ，μ∈R)，則λ－μ的取值范圍是(　　) A．[－，] B．[－6,2] C．[－1，] D．[－4，] 答案　B 解析　畫出不等式組所表示的可行域，如圖中陰影部分所示． 由題意，可得(x，y)＝λ(1,1)＋μ(2,1)＝(λ＋2μ，λ＋μ)，故令z＝λ－μ＝－2(λ＋2μ)＋3(λ＋μ)＝－2x＋3y，變形得y＝x＋. 當直線y＝x＋過點A(－1,0)時，z取得最大值，且zmax＝2；當直線y＝x＋過點B(3,0)時，z取得最小值，且zmin＝－6.故選B. 高考題型精練 1．(2015安徽)已知x，y滿足約束條件則z＝－2x＋y的最大值是(　　) A．－1 B．－2 C．－5 D．1 答案　A 解析　約束條件下的可行域如圖所示，由z＝－2x＋y可知y＝2x＋z，當直線y＝2x＋z過點A(1,1)時，截距最大，此時z最大為－1，故選A. 2．(2016四川)設p：實數(shù)x，y滿足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：實數(shù)x，y滿足則p是q的(　　) A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　如圖， (x－1)2＋(y－1)2≤2①表示圓心為(1,1)， 半徑為的圓內區(qū)域所有點(包括邊界)； ②表示△ABC內部區(qū)域所有點(包括邊界)． 實數(shù)x，y滿足②則必然滿足①，反之不成立． 則p是q的必要不充分條件．故選A. 3．若x，y滿足若目標函數(shù)z＝x－y的最小值為－2，則實數(shù)m的值為(　　) A．0 B．2 C．8 D．－1 答案　C 解析　畫出x，y滿足的可行域如圖． 可得直線y＝2x－1與直線x＋y＝m的交點使目標函數(shù)z＝x－y取得最小值， 由解得x＝，y＝， 代入x－y＝－2得－＝－2?m＝8， 故選C. 4．已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面區(qū)域Ω：若圓心C∈Ω，且圓C與x軸相切，則a2＋b2的最大值為(　　) A．5 B．29 C．37 D．49 答案　C 解析　由已知得平面區(qū)域Ω為△MNP內部及邊界． ∵圓C與x軸相切，∴b＝1. 顯然當圓心C位于直線y＝1與x＋y－7＝0的交點(6,1)處時，amax＝6. ∴a2＋b2的最大值為62＋12＝37.故選C. 5．設x，y滿足約束條件若目標函數(shù)z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值為4，則ab的取值范圍是(　　) A．(0,4) B．(0,4] C．[4，＋∞) D．(4，＋∞) 答案　B 解析　作出不等式組表示的區(qū)域如圖中陰影部分所示，由圖可知， z＝ax＋by(a＞0，b＞0)過點 A(1,1)時取最大值， ∴a＋b＝4，ab≤2＝4， ∵a＞0，b＞0， ∴ab∈(0,4]，故選B. 6．設實數(shù)x，y滿足則的取值范圍是(　　) A.∪[1，＋∞) B. C. D. 答案　D 解析　作出不等式組表示的可行域如圖所示，從圖可看出，表示可行域內的點與點A(－3,1)連線的斜率，解方程知C(2,0)，D(2,6)， 所以其最大值為kAD＝＝1， 最小值為kAC＝＝－， 所以的取值范圍為[－，1]．故選D. 7．已知實數(shù)x，y滿足若目標函數(shù)z＝2x＋y的最大值與最小值的差為2，則實數(shù)m的值為(　　) A．4 B．3 C．2 D．－ 答案　C 解析　表示的可行域如圖中陰影部分所示． 將直線l0：2x＋y＝0向上平移至過點A，B時，z＝2x＋y分別取得最小值與最大值． 由得A(m－1，m)， 由得B(4－m，m)， 所以zmin＝2(m－1)＋m＝3m－2， zmax＝2(4－m)＋m＝8－m， 所以zmax－zmin＝8－m－(3m－2)＝2，解得m＝2. 8．設關于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域內存在點P(x0，y0)，滿足x0－2y0＝2，求得m的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　當m≥0時，若平面區(qū)域存在， 則平面區(qū)域內的點在第二象限，平面區(qū)域內不可能存在點P(x0，y0)滿足x0－2y0＝2，因此m＜0. 如圖所示的陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域． 要使可行域內包含y＝x－1上的點，只需可行域邊界點(－m，m)在直線y＝x－1的下方即可， 即m＜－m－1， 解得m＜－. 9．(2016江蘇)已知實數(shù)x，y滿足則x2＋y2的取值范圍是________． 答案　 解析　已知不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖： x2＋y2表示原點到可行域內的點的距離的平方． 解方程組得A(2,3)． 由圖可知(x2＋y2)min＝2＝， (x2＋y2)max＝|OA|2＝22＋32＝13. 10．4件A商品與5件B商品的價格之和不小于20元，而6件A商品與3件B商品的價格之和不大于24，則買3件A商品與9件B商品至少需要________元． 答案　22 解析　設1件A商品的價格為x元，1件B商品的價格為y元，買3件A商品與9件B商品需要z元， 則z＝3x＋9y， 其中x，y滿足不等式組 作出不等式組表示的平面區(qū)域， 如圖所示，其中A(0,4)，B(0,8)，C(，)． 當y＝－x＋z經(jīng)過點C時，目標函數(shù)z取得最小值．所以zmin＝3＋9＝22. 因此當1件A商品的價格為元，1件B商品的價格為元時，可使買3件A商品與9件B商品的費用最少，最少費用為22元． 11．已知變量x，y滿足約束條件若目標函數(shù)z＝ax＋y(其中a>0)僅在點(3,0)處取得最大值，則a的取值范圍是__________． 答案　 解析　畫出x、y滿足約束條件的可行域如圖所示，要使目標函數(shù)z＝ax＋y僅在點(3,0)處取得最大值，則直線y＝－ax＋z的斜率應小于直線x＋2y－3＝0的斜率，即－a<－， ∴a>. 12．(2015浙江)若實數(shù)x，y滿足x2＋y2≤1，則|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是________． 答案　3 解析　滿足x2＋y2≤1的實數(shù)x，y表示的點(x，y)構成的區(qū)域是單位圓及其內部． f(x，y)＝|2x＋y－2|＋ |6－x－3y| ＝|2x＋y－2|＋6－x－3y ＝ 直線y＝－2x＋2與圓x2＋y2＝1交于A，B兩點， 如圖所示，易得B. 設z1＝4＋x－2y，z2＝8－3x－4y，分別作直線y＝x 和y＝－x并平移，則z1＝4＋x－2y在點B取得最小值為3，z2＝8－3x－4y在點B取得最小值為3，所以|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是3.