2019-2020年高考數學 常見題型解法歸納反饋訓練 第05講 函數解析式的求法.doc

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2019-2020年高考數學 常見題型解法歸納反饋訓練 第05講 函數解析式的求法 【知識要點】 一、求函數的解析式的主要方法有以下五種： 1、待定系數法：如果已知函數解析式的類型（函數是二次函數、指數函數和對數函數等）時，可以用待定系數法. 2、代入法：如果已知原函數的解析式，求復合函數的解析式時，可以用代入法. 3、換元法：如果已知復合函數的解析式，求原函數的解析式時，可以用換元法.換元時，注意新“元”的范圍. 4、解方程組法：如果已知抽象函數滿足的關系式中有互為相反的自變量或互為倒數的自變量時，可以用解方程組的方法. 5、實際問題法：在實際問題中，根據函數的意義求出函數的解析式. 【方法講評】 方法一 待定系數法 使用情景 已知函數的類型. 解題步驟 根據已知先設出函數的解析式，再列方程（組）求待定系數. 【例1】已知是一次函數，且滿足，求. 【點評】（1）本題由于已知函數的類型是一次函數，所以可以利用待定系數法求函數的解析式.（2） 由于對于定義域內的任意一個值都成立，所以最后的 實際上是一個恒等式，所以可以比較等式兩邊的系數分別相等列方程組. 【例2】已知函數（的圖形的一個最高點為（2，），由這個最高點到相鄰的最低點時曲線經過（6，0），求這個函數的解析式. 【解析】由題得 【點評】(1)對于三角函數，待定系數法同樣適用，關鍵是通過已知條件找到關于待定系數的方程 （組）.(2)對于三角函數來說，一般利用最小正周期得到的方程，利用最值得到的方程，利用最值點得到的方程. 【反饋檢測1】已知為二次函數，且 ，且,圖象在軸上截得的線段長為2,求的解析式. 方法二 代入法 使用情景 （1）已知原函數的解析式，求復合函數的解析式；（2）已知某區(qū)間的函數的解析式，求對稱區(qū)間的解析式. 解題步驟 （1）直接代入原函數的解析式即可；（2）一般先在所求的函數的圖像上任意取一點，然后求出它的對稱點的坐標，再把對稱點的坐標代入對稱點滿足的方程. 【例3】已知函數，求函數的表達式. 【解析】由題得 【點評】本題就是已知原函數的解析式，求復合函數的解析式，所以只需直接用“”代換原函數中的“”即可.這就是代入法求函數的解析式. 【例4】已知函數是定義在上的奇函數，且當時，，求當時，的函數解析式. 【點評】本題就是已知某區(qū)間的函數的解析式，求對稱區(qū)間的解析式. 一般先在所求的函數的圖像上 任意取一點，然后求出它的對稱點的坐標，再把對稱點的坐標代入對稱點滿足的方程.這是高中數學常見到的一種題型，要好好地理解和掌握. 【反饋檢測2】設函數的圖象為，關于點對稱的圖象為， 求對應的函數的表達式. 方法三 換元法 使用情景 已知復合函數的解析式，求原函數的解析式. 解題步驟 先換元，求出函數的自變量的表達式，再代入復合函數得到函數的解析式. 【例5】已知，求. 【解析】令（），則，∴， 所以. 【點評】（1）本題就是已知復合函數的解析式，求原函數的解析式.一般先換元，再求出函數的自變量的表達式，再代入復合函數得到函數的解析式.（2）換元時，一定要注意新元的取值范圍，它就是所求函數的定義域. 【反饋檢測3】 已知求的解析式. 方法四 解方程組法 使用情景 已知抽象函數滿足的關系式中有互為相反的自變量或互為倒數的自變量. 解題步驟 利用已知構造另一個方程，得到一個方程組，解方程組即可. 【例6】已知滿足，求． 【解析】 ①，把①中的換成，得 ②， ①②得，∴． 【點評】在已知的方程中有自變量和，它們互為倒數，所以可以把方程中的地方統(tǒng)一換成，從而又得到一個關于的方程，解關于的方程組即可. 【反饋檢測5】定義在區(qū)間上的函數滿足，求的表達式. 方法五 實際問題法 使用情景 實際問題 解題步驟 一般情況下根據函數的意義求出函數的解析式，要注意函數的定義域. 【例7】某人開汽車以的速度從地到遠處的地，在地停留后，再以 的速度返回地，把汽車離開地的路程表示為時間（從地出發(fā)是開始）的函數，再把車速表示為時間的函數． 【點評】實際問題中求函數的解析式難度比較大，一般要認真讀題，再根據函數的意義、自變量的意義及其它們之間的關系建立它們之間的函數關系.在寫函數的解析式時，要注意函數的定義域. 【反饋檢測6】 某公司生產一種產品的固定成本為萬元，但每生產件需要增加投入萬元，市場對此產品的需要量為件，銷售收入為函數 萬元，其中是產品售出的數量（單位：百件）. （1）把利潤表示為年產量的函數； （2）年產量為多少時，當年公司所得利潤最大. 高中數學常見題型解法歸納及反饋檢測第05講：函數解析式的求法 參考答案 【反饋檢測1答案】 【反饋檢測1詳細解析】 【反饋檢測2答案】 【反饋檢測2詳細解析】設是函數圖象上任一點 ，則關于對稱點為在 上，即：即： 故. 【反饋檢測3答案】 【反饋檢測5答案】 【反饋檢測5詳細解析】 【反饋檢測6答案】（1）（2）當年產量為件時，公司所得利潤最大. （2）當時， ∴當年產量為件時，公司所得利潤最大， ∵該產品最多賣出件， ∴根據問題的實際意義可得，當年產量為件時，公司所得利潤最大.