七年級數(shù)學下冊 培優(yōu)新幫手 專題22 直線、射線與線段試題 （新版）新人教版.doc

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22　直線、射線與線段 閱讀與思考 構成平面圖形的基本元素是點和線，在幾何圖形中，點無大小，線無寬窄，它們都是抽象思維的產物，點與線有著密切的聯(lián)系，點運動成線，線與線相交的地方形成點，一條線確定了兩個端點，線的長短也就確定了，從這個意義上講，點是線的界限． 在線中，最簡單、最常見的就是直線、射線、線段，它們是最基本的圖形，它們的概念、性質及畫圖是今后研究由線段所組成的比較復雜圖形（如三角形、四邊形等）的基礎，解與直線、射線、線段相關問題常涉及如下知識與方法： 1．直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系． 2．線段中點的概念． 3．枚舉法、分類討論法． 例題與求解 【例1】已知一條直線上有A，B，C三點，線段AB的中點為P，AB＝10，線段BC的中點為Q，BC＝6，則線段PQ的長為＿＿＿＿． （江蘇省競賽試題） 解題思路：未給出圖形，注意C點位置有多種可能． 【例2】在一條直線上已知四個不同的點依次是A，B，C，D，那么到A，B，C，D的距離之和最小的點（　　） A．可以是直線AD外的某一點 B．只有點B或點C C．只是線段AD的中點 D．有無窮多個 （全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題） 解題思路：直線上的四個點把直線分成五部分，就每一種情況畫圖表示出到A，B，C，D的距離，從直觀的圖形中作出判斷． 【例3】如圖，C是線段上的一點，D是BC的中點，已知圖中所有線段的長度之和為23，線段AC的長度與線段BC的長度都是正整數(shù)，求線段AC的長． （“希望杯”邀請賽試題） 解題思路：解題的關鍵是將每一條線段用AC或BC來表示，依題意可列一個關于AC，BC的方程，討論此不定方程的正整數(shù)解． 【例4】如圖所示，點C為線段AB的中點，點E為線段AB上的點，點D為線段AE的中點． （1）若線段AB＝，CE＝，＝0，求，． （2）如圖①，在（1）的條件下，求線段DE的長． （3）如圖②，若AB＝15，AD＝2BE，求線段CE的長． 圖① 圖② （湖北省武漢市調考試題） 解題思路：將幾何問題代數(shù)化，對于（3），引入未知數(shù)，列方程求解． 【例5】（1）一條直線可以把平面分成兩個部分（或區(qū)域），如圖，兩條直線可以把平面分成幾個部分？三條直線可以把平面分成幾個部分？試畫圖說明． （2）四條直線最多可以把平面分成幾個部分？試畫出示意圖，并說明這四條直線的位置關系． （3）平面上有條直線，每兩條直線都恰好相交，且沒有三條直線交于一點，處于這種位置的條直線分一個平面所成的區(qū)域最多，記為，試研究與之間的關系． （山東省聊城市中考試題） 解題思路：從簡單情形入手，由簡到繁，歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律． 【例6】已知線段AB＝，CD＝，線段CD在直線上運動（A在B左側，C在D左側），若與互為相反數(shù)． （1）求線段AB，CD的長． （2）M，N分別是線段AC，BD的中點，若BC＝4，求MN． （3）當CD運動到某一時刻時，D點與B點重合，P是線段延長線上任意一點，下列兩個結論： ①是定值；②是定值．可以證明，有且只有一個結論是正確的，請你作出正確的選擇并畫圖求值． （浙江省寧波市中考試題改編） 解題思路：（1）與的平方互為相反數(shù)，可以推出二者都為零，否則一個正數(shù)是不可能等于一個負數(shù)的，所以＝6，＝12． （2）需要分類討論：如圖①，當點C在點B左側時，根據(jù)“M，N分別為線段AC，BD的中點”，先計算出AM，DN的長度，然后計算MN＝ADAMDN；如圖②，當點C位于點B右側時，利用線段間的和差關系求得MN的長度． （3）能計算出①或②的值是一個常數(shù)的，即為符合題意的結論． 能力訓練 A級 1．已知點O在直線AB上，且線段OA的長度為4cm，線段OB的長度為6cm，E，F(xiàn)分別為線段ｏA，OB的中點，則線段EF的長度為＿＿＿＿． （黑龍江省中考試題） 2．如圖，線段AB＝BC＝CD＝DE＝1厘米，那么圖中所有線段的長度之和等于＿＿＿厘米． （“希望杯”邀請賽試題） 3．如圖，B，C，D依次是上的三點，已知AE＝8.9cm，BD＝3cm，則圖中以A，B，C，D，E這5個點為端點的所有線段長度的和為＿＿＿＿cm． （《中學生數(shù)理化》讀刊用刊知識競賽試題） 4．平面內兩兩相交的8條直線，其交點個數(shù)最少為＿＿＿＿，最多為＿＿＿＿． （“希望杯”邀請賽試題） 5．直線，，，，共點O，直線與上述五條直線分別交于A，B，C，D，E五點，則上述圖形中共有線段（　?。l． A．4 B．5 C．10 D．15 6．如圖，點A，B，C順次在直線上，M是線段AC的中點，N是線段BC的中點．若想求出MN的長度，則只需條件（　?。? A．AB＝12 B．BC＝4 C．AM＝5 D．CN＝2 （海南省競賽試題） 7．如圖，A，B，C，D四點在同一直線上，M是線段AB的中點，N是線段DC的中點，MN＝，BC＝則AD＝（　?。? A． B． C． D． 8．如圖，AC＝AB，BD＝AB，且AE＝CD，則CE為AB長的（　?。? A． B． C． D． 9．已知線段AB＝6． （1）取線段AB的三等分點，這些點連同線段AB的兩個端點可以組成多少條線段？求這些線段長度的和． （2）再在線段AB上取兩種點：第一種是線段AB的四等分點；第二種是線段AB的六等分點，這些點連同（1）中的三等分點和線段AB的兩個端點可以組成多少條線段？求這些線段長度的和． （湖北省武漢市武昌區(qū)期末調考試題） 10．已知AB＝60cm，點C是直線AB上不同于A，B的點，M為AC中點，N是BC中點，求MN的長度． 11．如圖，已知點A，B，C是數(shù)軸上三點，點C對應的數(shù)為6，BC＝4，AB＝12． （1）求點A，B對應的數(shù)； （2）動點P，Q同時從A，C出發(fā)，分別以每秒6個單位和3個單位的速度沿數(shù)軸正方向運動．M為AP的中點，N在CQ上，且CN＝CQ，設運動時間（＞0）． ①求點M，N對應的數(shù)（用含的式子表示）． ②為何值時，OM＝2BN？ B級 1．把線段AB延長至D，使BD＝AB，再延長BA至C，使CA＝AB，則BC是CD的＿＿＿＿倍． 2．如圖，AB︰BC︰CD＝2︰3︰4，AB的中點M與CD的中點N的距離是3厘米，則BC＝＿＿＿＿厘米． 3．如圖，C是線段AB的中點，D是線段CB上的一點，若所有線段的長度都是正整數(shù)，且線段AB的所有可能的長度數(shù)的乘積等于140，則線段AB的所有可能的長度數(shù)的和等于＿＿＿＿． （“希望杯”邀請賽試題） 4．如圖，已知B，C是線段AD上的兩點，M是AB的中點，N是CD的中點，若MN＝，BC＝，則線段AD＝＿＿＿＿． 5．如圖，已知數(shù)軸上點A，B，C所對應的數(shù)，，都不為0，且C是AB的中點．如果＝0，那么原點O的位置在（　?。? A．線段AC上 B．線段CA的延長線上 C．線段BC上 D．線段CB的延長線上 （江蘇省競賽試題） 6．如圖，已知B是線段AC上的一點，M是線段AB的中點，N為線段AC的中點，P為NA的中點，Q為MA的中點，則MN︰PQ等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．平面上有四個點，經過其中每兩個點畫一條直線，那么一共可以畫直線（　?。? A．6條 B．1條或3條或6條 C．1條或4條 D．1條或4條或6條 8．如圖，在一條筆直的公路上有7個村莊，其中A，B，C，D，E，F(xiàn)離城市的距離分別為4，10，15，17，19，20公里，而村莊G正好是AF的中點，現(xiàn)要在某個村莊建一個活動中心，使各村到活動中心的路程之和最短，則活動中心應建在（　　） A．A處 B．C處 C．G處 D．E處 城市 （江蘇省競賽試題） 9．電子跳蚤游戲盤為△ABC，AB＝，AC＝，BC＝，如果電子跳蚤開始時在BC邊上P0點，BP0＝，第一步跳蚤跳到AC邊上P1點，且CP1＝CP0；第二步跳蚤從P1跳到邊上P2點，且AP2＝AP1；第三步跳蚤從P2跳到BC邊上P3點，且BP3＝BP2…跳蚤按上述規(guī)則跳下去，第2001次落到P2001，請計算P0與P2001之間的距離． （“華杯賽”邀請賽試題） 10．設有甲、乙、丙三人，他們步行的速度相同，騎車的速度也相同，騎車的速度為步行速度的3倍．現(xiàn)甲自A地去B地，乙、丙則從B地去A地，雙方同時出發(fā)，出發(fā)時，甲、乙為步行，丙騎車．途中，當甲、丙相遇時，丙將車給甲騎，自己改為步行，三人仍按各自原有方向繼續(xù)前進；當甲、乙相遇時，甲將車給乙騎，自己又步行，三人仍按各自原有方向繼續(xù)前進．問：三人之中誰最先到達自己的目的地？誰最后到達自己的目的地？ （“華羅庚金杯”競賽試題） 11．已知數(shù)軸上A，B兩點對應數(shù)分別為2和4，P為數(shù)軸上一點，對應數(shù)為． （1）若P為線段AB的三等分點，求P點對應的數(shù)． （2）數(shù)軸上是否存在點P，使P點到A點，B點距離和為10？若存在，求出值；若不存在，請說明理由． （3）若點A、點B和點P（點P在原點）同時向左運動，它們的速度分別為1，2，1個（長度單位/分），則第幾分鐘時，P為AB的中點？ 12．—條直線順次排列著1990個點：P1，P2，…，P1990，已知點是線段的等分點當中最靠近巧的那個點（2≤≤1989），如P5是線段P4P6的5等分點當中最靠近P6的那個分點．如果線段P1P2的長度是1，線段P1989P1990的長度為． 求證：＝． （浙江省競賽試題） 專題22 直線、射線、線段 例1 8或2 例2 D 例3 設，，則，，，，故圖中所有線段長度之和為 ，即 又為正整數(shù)， 例4 （1）， （2） ，，， （3）設，則，又，， 解得，即， 例5 （1）如圖?，兩條直線因其位置不同，可以分別把平面分成3個或4個區(qū)域；如圖?， 三條直線因其位置不同，可以分輥把平面分成4個，6個，7個區(qū)域 （2）如圖?，四條直線最多可以把平面分成11個區(qū)域，此時這四條直線位置關系是 兩兩都相交，且無三線共點。 （3）平面上條直線兩兩相交，且沒有三條直線交于一點，把平面分成個區(qū)域， 平面本身就是一個區(qū)域，當時，；當時，； 當時，；當時，，……由此 可以歸納公式為……4DE=4（AB+DE）+6（BC+CD）=4（AE－BD）+6BD=4AE+2BD=48.9+23=41.6. 4．1 28 5．D 6．A 7．D 8．C 9．（1）6條，長度和為20. （2）36條，長度和為88. 10．（1）當點C在點A左側時，MN=NC－MC=cm. （2）當點C在點A、B兩點之間時，MN=NC+MC=cm. （3）當點C在點B右側時，MN=MC－NC=cm. 綜上所述：MN=30 cm. 11．（1）A、B兩點對應的數(shù)分別為－10，2. （2）①AP=6t，CQ=3t，M為AP中點，CN=，則 ． ∴ 點M對應的數(shù)為－10+3t，點N對應的數(shù)為6+t. ②∵OM=|－10+3t|，BN=BC+CN=4+t， 又∵OM=2BN，∴|－10+3t|=8+2t. 則－10+3t=8+2t或－10+3t=－8－2t. 解之得t=18秒或秒. B級 1． 2． 3．24 4．2a－b 5．A 提示： 6．B 7．D 8．B 9．因BP0=4a，根據(jù)題意：CP0=10a－4a=6a，CP1=CP0=6a；AP1=9a－6a=3a；AP2=AP1=3a；BP2=8a－3a=5a，BP3=BP2=5a；CP3=10a－5a=5a，CP4=CP3=5a；AP4=9a－5a=4a，AP5=AP4=4a；BP5=8a－4a=4a，BP6=BP5=4a. 由此可見，P6點與P0點重合，又因為2001=6333+3，所以P2001點與P3點重合，P0與P2001之間的距離就是P0與P3之間的距離，積6a－5a=a. 10．提示： 如圖，設甲、丙在C點相遇，同時乙整好走到D點，丙騎車的路程為整個BC，而甲騎車的路程不是整個BC（因為甲在途中遇到乙后即改為步行），所以丙騎車的路程比甲長，丙比甲先到目的地.因為甲乙步行速度相等，所以AC=BD. 設甲、乙在C、D之間的E點相遇，則甲騎車的路程只有CE這一段，而乙騎車的路程是AE=EC+CA，所以乙騎車路程比甲長，乙比甲先到目的地. 最后，比較一下乙、丙騎車的路程：因為AC=BD，所以丙騎車的路程BC=BD+DC=AC+DC=AD>EA，從而丙比乙先到達目的地.因此，丙最先到達目的地，甲最后到達目的地. 11．（1）0或2. （2）當x=－4或6時，PA+PB=10. （3）設t分鐘后，P為AB的中點，A、B、P運動t分鐘后對應的數(shù)分別為－2－t，4－2t，－t，由．得t=2. 12．由題設可知，P2是線段P1P3的中點，故P1P2=P2P3=1；P3是線段P2P4的3等分點當中最靠近P4的那個分點，故P3P4=P2P3=；一般地，Pk是線段PK－1Pk+1的k等分點當中最靠近Pk+1的那個分點，故PkPk+1= Pk－1Pk+1= Pk－1Pk+ PkPk+1. 于是有PkPk+1= Pk－1Pk.當k=4，5，6，…，1989時， P4P5==，P5P6=， P6P7=，…， P1989P1990=， 所以