高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破 導(dǎo)數(shù)與積分（打包9套）.zip
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2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破——導(dǎo)數(shù)與積分
第1講 變化率與導(dǎo)數(shù)
【知識梳理】
1．函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)
(1)定義：稱函數(shù)在x＝x0處的瞬時變化率為函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即．
【基礎(chǔ)考點突破】
考點1．求平均變化率
【例1】若一質(zhì)點按規(guī)律運動，則在時間段2～2.1中，平均速度是 ( )
A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1
【歸納總結(jié)】求函數(shù)的平均變化率的步驟:
（1）求函數(shù)的增量；（2）計算平均變化率
考點2 瞬時速度與瞬時變化率
【例2】自由落體運動的公式為s＝s(t)＝gt2(g＝10 m/s2)，若v＝，則下列說法正確的是( )
A．v是在0～1 s這段時間內(nèi)的速度
B．v是1 s到(1＋Δt)s這段時間內(nèi)的速度
C．5Δt＋10是物體在t＝1 s這一時刻的速度
D．5Δt＋10是物體從1 s到(1＋Δt)s這段時間內(nèi)的平均速度
【例3】某物體作直線運動，其運動規(guī)律是s＝t2＋(t的單位是秒，s的單位是米)，則它在4秒末的瞬時速度為( )
A.米/秒 B．米/秒 C．8米/秒 D．米/秒
考點3．定義法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
【例4】.求函數(shù)y＝x＋在x＝1處的導(dǎo)數(shù)
【歸納小結(jié)】1．求導(dǎo)方法簡記為：一差、二化、三趨近．
2．求函數(shù)在某一點導(dǎo)數(shù)的方法有兩種：一種是直接求出函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)；另一種是求出導(dǎo)函數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)在該點的函數(shù)值，此方法是常用方法．
變式訓(xùn)練1．用定義求函數(shù)f(x)＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．
【例5】（ ）
A. B. C. D.
【基礎(chǔ)練習(xí)鞏固】
1．已知物體位移公式s＝s(t)，從t0到t0＋Δt這段時間內(nèi)，下列說法錯誤的是( )
A．Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)叫做位移增量 B．＝叫做這段時間內(nèi)物體的平均速度
C．不一定與Δt有關(guān) D． 叫做這段時間內(nèi)物體的平均速度
2．設(shè)函數(shù)，當自變量由改變到時，函數(shù)的改變量為（ ?。?
A． B． C． D．
3．某地某天上午9：20的氣溫為23.40℃，下午1：30的氣溫為15.90℃，則在這段時間內(nèi)氣溫變化率為（℃/min） （ ）
A. B. C. D.
4．.函數(shù)y＝x3在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
5．已知點P(x0，y0)是拋物線y＝3x2＋6x＋1上一點，且f′(x0)＝0，則點P的坐標為( )
A．(1,10) B．(－1，－2) C．(1，－2) D．(－1,10)
6．設(shè)，若，則的值（ ）
A．2 B．－2 C．3 D．－3
7．函數(shù)在處有增量，則在到上的平均變化率是
8．一小球沿斜面自由滾下，其運動方程是s(t)＝t2(s的單位：米，t的單位：秒)，則小球在t＝5時的瞬時速度為________．
9．某物體按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的單位：m)的規(guī)律作直線運動，求自運動開始到4 s時物體運動的平均速度和4 s時的瞬時速度．
10．求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點處的導(dǎo)數(shù)．
11．若，求 ．
12．是二次函數(shù)，方程有兩個相等的實根，且，求的表達式．
2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破——導(dǎo)數(shù)與積分
第1講 變化率與導(dǎo)數(shù)（教師版）
【知識梳理】
1．函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)
(1)定義：稱函數(shù)在x＝x0處的瞬時變化率為函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即．
【基礎(chǔ)考點突破】
考點1．求平均變化率
【例1】若一質(zhì)點按規(guī)律運動，則在時間段2～2.1中，平均速度是 ( )
A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1
解析：＝＝＝＝4.1，故應(yīng)選B.
【歸納總結(jié)】求函數(shù)的平均變化率的步驟:
（1）求函數(shù)的增量；（2）計算平均變化率
知識點2 瞬時速度與瞬時變化率
【例2】自由落體運動的公式為s＝s(t)＝gt2(g＝10 m/s2)，若v＝，則下列說法正確的是( )
A．v是在0～1 s這段時間內(nèi)的速度
B．v是1 s到(1＋Δt)s這段時間內(nèi)的速度
C．5Δt＋10是物體在t＝1 s這一時刻的速度
D．5Δt＋10是物體從1 s到(1＋Δt)s這段時間內(nèi)的平均速度
【解析】 由平均速度的概念知：v＝＝5Δt＋10.故應(yīng)選D.
【例3】某物體作直線運動，其運動規(guī)律是s＝t2＋(t的單位是秒，s的單位是米)，則它在4秒末的瞬時速度為( )
A.米/秒 B．米/秒 C．8米/秒 D．米/秒
【解析】∵＝＝＝Δt＋8－，
∴ ＝8－＝. 故選B.
考點3．定義法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
【例4】.求函數(shù)y＝x＋在x＝1處的導(dǎo)數(shù)
【解析】法一 ∵Δy＝(1＋Δx)＋－(1＋)＝Δx－1＋＝，∴＝.
∴y′|x＝1＝ ＝ ＝0.
法二 ∵Δy＝(x＋Δx)＋－(x＋)＝Δx－＋＝，
∴y′＝ ＝ ＝＝1－.
∴y′|x＝1＝1－1＝0.
【歸納小結(jié)】1．求導(dǎo)方法簡記為：一差、二化、三趨近．
2．求函數(shù)在某一點導(dǎo)數(shù)的方法有兩種：一種是直接求出函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)；另一種是求出導(dǎo)函數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)在該點的函數(shù)值，此方法是常用方法．
變式訓(xùn)練1．用定義求函數(shù)f(x)＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．
解析：法一 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2，
∴ f′(1)＝ ＝ ＝ (2＋Δx)＝2，即f(x)＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)f′(1)＝2.
法二 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2－x2＝2Δx·x＋(Δx)2，∴ ＝＝2x＋Δx.
∴，∴ ，即f(x)＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)f′(1)＝2.
【例5】（ ）
A. B. C. D.
【解析】，故選B.
【基礎(chǔ)練習(xí)鞏固】
1．已知物體位移公式s＝s(t)，從t0到t0＋Δt這段時間內(nèi)，下列說法錯誤的是( )
A．Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)叫做位移增量 B．＝叫做這段時間內(nèi)物體的平均速度
C．不一定與Δt有關(guān) D． 叫做這段時間內(nèi)物體的平均速度
【解析】D錯誤，應(yīng)為t＝t0時的瞬時速度，選D
2．設(shè)函數(shù)，當自變量由改變到時，函數(shù)的改變量為（ ?。?
A． B． C． D．
2. 解析】D.
3．某地某天上午9：20的氣溫為23.40℃，下午1：30的氣溫為15.90℃，則在這段時間內(nèi)氣溫變化率為（℃/min） （ ）
A. B. C. D.
【解析】B
4．.函數(shù)y＝x3在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
【答案】C
【解析】＝＝＝3x2＋3Δx·x＋(Δx)2，∴ ＝3x2，∴y′|x＝1＝3.
5．已知點P(x0，y0)是拋物線y＝3x2＋6x＋1上一點，且f′(x0)＝0，則點P的坐標為( )
A．(1,10) B．(－1，－2) C．(1，－2) D．(－1,10)
【答案】 B
【解析】 Δy＝3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)－3x－6x0＝6x0·Δx＋3Δx2＋6Δx，
∴ ＝ (6x0＋3Δx＋6)＝6x0＋6＝0.，∴x0＝－1，y0＝－2.
6．設(shè)，若，則的值（ ）
A．2 B．－2 C．3 D．－3
【解析】A
7．函數(shù)在處有增量，則在到上的平均變化率是
3.【答案】 17.5
8．一小球沿斜面自由滾下，其運動方程是s(t)＝t2(s的單位：米，t的單位：秒)，則小球在t＝5時的瞬時速度為________．
【答案】 10米/秒
【解析】v′(5)＝ ＝ (10＋Δt)＝10.
9．某物體按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的單位：m)的規(guī)律作直線運動，求自運動開始到4 s時物體運動的平均速度和4 s時的瞬時速度．
【解析】自運動開始到t s時，物體運動的平均速度(t)＝＝3t＋2＋，故前4 s物體的平均速度為(4)＝3×4＋2＋＝15(m/s).
由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2.
＝ (2＋6t＋3·Δt)＝2＋6t， ∴4 s時物體的瞬時速度為2＋6×4＝26(m/s).
10．求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點處的導(dǎo)數(shù)．
解析：，
．
11．若，求 ．
解析： =
所以：f’(2)=
12．設(shè)是二次函數(shù)，方程有兩個相等的實根，且，求的表達式．
解析：設(shè)，則 解得，所以。
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2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破——導(dǎo)數(shù)與積分
第7講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點
【知識梳理】
研究方程根或函數(shù)的零點的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標明函數(shù)極(最)值的位置，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)．
【基礎(chǔ)考點突破】
考點1. 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題
【例1】(2014·課標全國Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲線y＝f(x)在點(0，2)處的切線與x軸交點的橫坐標為－2.
(1)求a；(2)證明：當k<1時，曲線y＝f(x)與直線y＝kx－2只有一個交點．
【例2】（2016年北京高考）設(shè)函數(shù).
（I）求曲線在點處的切線方程；
（II）設(shè)，若函數(shù)有三個不同零點，求c的取值范圍；
（III）求證：是有三個不同零點的必要而不充分條件.
變式訓(xùn)練2.（2016年全國I卷高考）已知函數(shù).
(I)討論的單調(diào)性；(II)若有兩個零點，求的取值范圍.
【基礎(chǔ)練習(xí)鞏固】
1．若函數(shù)f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有兩個不同的零點，則a可能的值為( )
A．4 B．6 C．7 D．8
2．(2015·廣東，19)設(shè)a>1，函數(shù)f(x)＝(1＋x2)ex－a.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)證明：f(x)在(－∞，＋∞)上僅有一個零點；
(3)若曲線y＝f(x)在點P處的切線與x軸平行，且在點M(m，n)處的切線與直線OP平行(O是坐標原點)，
3．(2015·課標全國Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝e2x－aln x.
(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點的個數(shù)；(2)證明：當a>0時，f(x)≥2a＋aln.
4．已知函數(shù)f(x)＝.
(1)若f(x)在區(qū)間(－∞，2)上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若a＝0，x0<1，設(shè)直線y＝g(x)為函數(shù)f(x)的圖象在x＝x0處的切線，求證：f(x)≤g(x)．
2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破——導(dǎo)數(shù)與積分
第7講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點（學(xué)生版，后附教師版）
【知識梳理】
研究方程根或函數(shù)的零點的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標明函數(shù)極(最)值的位置，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)．
【基礎(chǔ)考點突破】
考點1. 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題
【例1】(2014·課標全國Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲線y＝f(x)在點(0，2)處的切線與x軸交點的橫坐標為－2.
(1)求a；(2)證明：當k<1時，曲線y＝f(x)與直線y＝kx－2只有一個交點．
解析：f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.
曲線y＝f(x)在點(0，2)處的切線方程為y＝ax＋2，由題設(shè)得－＝－2，所以a＝1.
(2)證明 由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2，設(shè)g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.
由題設(shè)知1－k>0.
當x≤0時，g′(x)＝3x2－6x＋1－k>0，g(x)單調(diào)遞增，g(－1)＝k－1<0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一實根．
當x>0時，令h(x)＝x3－3x2＋4，則g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)．
h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0，2)單調(diào)遞減，在(2，＋∞)單調(diào)遞增，所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0.
所以g(x)＝0在(0，＋∞)沒有實根．
綜上，g(x)＝0在R有唯一實根，即曲線y＝f(x)與直線y＝kx－2只有一個交點．
【例2】（2016年北京高考）設(shè)函數(shù).
（I）求曲線在點處的切線方程；
（II）設(shè)，若函數(shù)有三個不同零點，求c的取值范圍；
（III）求證：是有三個不同零點的必要而不充分條件.
解：（I）由，得．
因為，，所以曲線在點處的切線方程為．
（II）當時，，所以．
令，得，解得或．
與在區(qū)間上的情況如下：
所以，當且時，存在，，
，使得．
由的單調(diào)性知，當且僅當時，函數(shù)有三個不同零點．
（III）當時，，，
此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不可能有三個不同零點．
當時，只有一個零點，記作．
當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
所以不可能有三個不同零點．
綜上所述，若函數(shù)有三個不同零點，則必有．
故是有三個不同零點的必要條件．
當，時，，只有兩個不同
點， 所以不是有三個不同零點的充分條件．
因此是有三個不同零點的必要而不充分條件．
變式訓(xùn)練2.（2016年全國I卷高考）已知函數(shù).
(I)討論的單調(diào)性；(II)若有兩個零點，求的取值范圍.
【解析】（Ⅰ）．
（ i ）當時，則當時，；當時，
故函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
（ ii ）當時，由，解得：或
①若，即，則，
故在單調(diào)遞增．
②若，即，則當時，；當時，
故函數(shù)在，單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減．
③若，即，則當時，；當時，；
故函數(shù)在，單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減．
（Ⅱ）（i）當時，由（Ⅰ）知，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
又∵，取實數(shù)滿足且，則
∴有兩個零點．
（ii）若，則，故只有一個零點．
（iii）若，由（I）知，當，則在單調(diào)遞增，又當時，，故不存在兩個零點；
當，則函數(shù)在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減．又當時，，故不存在兩個零點．
綜上所述，的取值范圍是．
【基礎(chǔ)練習(xí)鞏固】
1．若函數(shù)f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有兩個不同的零點，則a可能的值為( )
A．4 B．6 C．7 D．8
答案 A
解析 由題意得f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，由f′(x)>0得x<1或x>2，由f′(x)<0得11，函數(shù)f(x)＝(1＋x2)ex－a.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)證明：f(x)在(－∞，＋∞)上僅有一個零點；
(3)若曲線y＝f(x)在點P處的切線與x軸平行，且在點M(m，n)處的切線與直線OP平行(O是坐標原點)，證明：m≤－1.
解析：（1）f′(x)＝2xex＋(1＋x2)ex＝(x2＋2x＋1)ex＝(x＋1)2ex
?x∈R，f′(x)≥0恒成立.∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，＋∞).
(2)證明 ∵f(0)＝1－a，f(a)＝(1＋a2)ea－a，
∵a>1，∴f(0)<0，f(a)>2aea－a>2a－a＝a>0，∴f(0)·f(a)<0，∴f(x)在(0，a)上有一零點，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上遞增，∴f(x)在(0，a)上僅有一個零點，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上僅有一個零點.
(3)證明 f′(x)＝(x＋1)2ex，設(shè)P(x0，y0)，則f′(x0)＝ex0(x0＋1)2＝0，∴x0＝－1，把x0＝-1，代入y＝f(x)得y0＝-a，∴kOP＝a－.
f′(m)＝em(m＋1)2＝a－，令g(m)＝em－(m＋1)，g′(m)＝em－1.
令g′(x)>0，則m>0，∴g(m)在(0，＋∞)上增.
令g′(x)<0，則m<0，∴g(m)在(－∞，0)上減.∴g(m)min＝g(0)＝0.
∴em－(m＋1)≥0，即em≥m＋1.∴em(m＋1)2≥(m＋1)3，即a－≥(m＋1)3.
∴m＋1≤，即m≤－1.
3．(2015·課標全國Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝e2x－aln x.
(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點的個數(shù)；(2)證明：當a>0時，f(x)≥2a＋aln.
(1)解 f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－(x>0)．
當a≤0時，f′(x)>0，f′(x)沒有零點．
當a>0時，因為y＝e2x單調(diào)遞增，y＝－單調(diào)遞增，所以f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又f′(a)>0，當b滿足00時，f′(x)存在唯一零點．
(2)證明 由(1)，可設(shè)f′(x)在(0，＋∞)的唯一零點為x0，當x∈(0，x0)時，f′(x)<0；當x∈(x0，＋∞)時，f′(x)>0.
故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當x＝x0時，f(x)取得最小值，最小值為f(x0)．
由于2e2x0－＝0，所以f(x0)＝＋2ax0＋aln≥2a＋aln.故當a>0時，f(x)≥2a＋aln.
4．已知函數(shù)f(x)＝.
(1)若f(x)在區(qū)間(－∞，2)上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若a＝0，x0<1，設(shè)直線y＝g(x)為函數(shù)f(x)的圖象在x＝x0處的切線，求證：f(x)≤g(x)．
(1)解 易得f′(x)＝－，由已知得f′(x)≥0對x∈(－∞，2)恒成立，故x≤1－a對x∈(－∞，2)恒成立，∴1－a≥2，∴a≤－1.
(2)證明 a＝0，則f(x)＝.
函數(shù)f(x)的圖象在x＝x0處的切線方程為y＝g(x)＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)．
令h(x)＝f(x)－g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，x∈R，
則h′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝－＝.
設(shè)φ(x)＝(1－x)ex0－(1－x0)ex，x∈R，則φ′(x)＝－ex0－(1－x0)ex，∵x0<1，∴φ′(x)<0，∴φ(x)在R上單調(diào)遞減，而φ(x0)＝0，∴當x0，當x>x0時，φ(x)<0，∴當x0，當x>x0時，h′(x)<0，∴h(x)在區(qū)間(－∞，x0)上為增函數(shù)，在區(qū)間(x0，＋∞)上為減函數(shù)，
∴x∈R時，h(x)≤h(x0)＝0，∴f(x)≤g(x)．
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2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破——導(dǎo)數(shù)與積分
第8講 構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)與“二次求導(dǎo)”
【知識梳理】
構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，屬于難題．
二次求導(dǎo)的原因是導(dǎo)函數(shù)無法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求導(dǎo)可以化解很多一次求導(dǎo)函數(shù)零點“求之不得”的問題。
【基礎(chǔ)考點突破】
考點1.構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)
【例1】【2015高考新課標2，理12】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式訓(xùn)練1.【2015高考福建，理10】若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導(dǎo)函數(shù) 滿足 ，則下列結(jié)論中一定錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
考點2.利用導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)證明不等式
【例2】【2015高考福建，文22】已知函數(shù)．
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）證明：當時，；
（Ⅲ）確定實數(shù)的所有可能取值，使得存在，當時，恒有．
變式訓(xùn)練2.【2016高考新課標Ⅲ文數(shù)】設(shè)函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；（2）證明當時，；（3）設(shè)，證明當時，.
考點3.構(gòu)造函數(shù)與二次求導(dǎo)
【例3】設(shè)函數(shù)(其中).
(Ⅰ) 當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ) 當時,求函數(shù)在上的最大值.
【歸納總結(jié)】二次求導(dǎo)的原因是導(dǎo)函數(shù)無法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求導(dǎo)可以化解很多一次求導(dǎo)函數(shù)零點“求之不得”的問題。
變式訓(xùn)練3.（2012年全國卷）設(shè)函數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，為整數(shù)，且當時，，求的最大值．
變式訓(xùn)練4.（2014年山東卷）設(shè)函數(shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點，求的取值范圍．
【基礎(chǔ)練習(xí)鞏固】
1．設(shè)函數(shù)滿足，，則時，（ ）
A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值
C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值
2．設(shè)函數(shù)，其中．
（1）當時，證明不等式；（2）設(shè)的最小值為，證明．
3． 已知函數(shù)，證明: 當且時．
4.【2016高考新課標2理數(shù)】
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當時，；
(Ⅱ)證明：當時，函數(shù)有最小值.設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域．
2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破——導(dǎo)數(shù)與積分
第1講 構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)與“二次求導(dǎo)”（學(xué)生版，后附教師版）
【知識梳理】
構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，屬于難題．
二次求導(dǎo)的原因是導(dǎo)函數(shù)無法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求導(dǎo)可以化解很多一次求導(dǎo)函數(shù)零點“求之不得”的問題。
【基礎(chǔ)考點突破】
考點1.構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)
【例1】【2015高考新課標2，理12】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解析：記函數(shù)，則，因為當時，，故當時，，所以在上單調(diào)遞減；又因為函數(shù)是奇函數(shù)，故函數(shù)是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，且.當時，，則；當時，，則，綜上所述，使得成立的的取值范圍是，故選A.
變式訓(xùn)練1.【2015高考福建，理10】若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導(dǎo)函數(shù) 滿足 ，則下列結(jié)論中一定錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知條件，構(gòu)造函數(shù)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，故，所以，，所以結(jié)論中一定錯誤的是C，選項D無法判斷；構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即，，選項A,B無法判斷，故選C．
考點2.利用導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)證明不等式
【例2】【2015高考福建，文22】已知函數(shù)．
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）證明：當時，；
（Ⅲ）確定實數(shù)的所有可能取值，使得存在，當時，恒有．
【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）．
【解析】（I），．
由得解得．
故的單調(diào)遞增區(qū)間是．
（II）令，．則有．
當時，，所以在上單調(diào)遞減，故當時，，即當時，．
（III）由（II）知，當時，不存在滿足題意．
當時，對于，有，則，從而不存在滿足題意．
當時，令，，則有．
由得，．
解得，．
當時，，故在內(nèi)單調(diào)遞增．
從而當時，，即，
綜上，的取值范圍是．
變式訓(xùn)練2.【2016高考新課標Ⅲ文數(shù)】設(shè)函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；（2）證明當時，；（3）設(shè)，證明當時，.
解析：（Ⅰ）由題設(shè)，的定義域為，，令，解得.
當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在處取得最大值，最大值為，所以當時，.
故當時，，，即.
（Ⅲ）由題設(shè)，設(shè)，則，令，解得.
當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.
由（Ⅱ）知，，故，又，故當時，.
所以當時，.
考點3.構(gòu)造函數(shù)與二次求導(dǎo)
【例3】設(shè)函數(shù)(其中).
(Ⅰ) 當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ) 當時,求函數(shù)在上的最大值.
解析：(Ⅰ) 當時, ,
令,得,
當變化時,的變化如下表:
極大值
極小值
右表可知,函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.
(Ⅱ) ,令,得,,
令,則,所以在上遞增,
所以,從而,所以
所以當時,；當時,；
所以，
令,則,令,則，
所以在上遞減,而，
所以存在使得,且當時,,當時,,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
因為,.
所以在上恒成立,當且僅當時取得“”.
綜上,函數(shù)在上的最大值.
【歸納總結(jié)】二次求導(dǎo)的原因是導(dǎo)函數(shù)無法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求導(dǎo)可以化解很多一次求導(dǎo)函數(shù)零點“求之不得”的問題。
變式訓(xùn)練3.（2012年全國卷）設(shè)函數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，為整數(shù)，且當時，，求的最大值．
解 （1）的定義域為，．
若，則，在上單調(diào)遞增；若，則當時，；當時，．故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）由于，所以．
故當時，等價于①
令，則，由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞增．而，，所以在內(nèi)存在唯一的零點，故在內(nèi)存在唯一的零點，設(shè)此零點為，則．
當時，；當時，，所以在內(nèi)的最小值為．又由，可得，所以．
由于①式等價于，故整數(shù)的最大值為2．
變式訓(xùn)練4.（2014年山東卷）設(shè)函數(shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點，求的取值范圍．
解 （1）函數(shù)的定義域為，．由可得，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）由（Ⅰ）知，時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，即函數(shù)在在內(nèi)不存在極點，故．
因為，
記．若函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點，則有兩個零點．
因為，當時，在內(nèi)成立，為單調(diào)遞增函數(shù)，在內(nèi)不存在兩個極值點．當時，在內(nèi)成立，為單調(diào)遞減函數(shù)，在內(nèi)成立，為單調(diào)遞增函數(shù)．所以函數(shù)的最小值為．
若在內(nèi)存在兩個極值點，當且僅當，解得．
綜上，在內(nèi)存在兩個極值點時，的取值范圍為．
【基礎(chǔ)練習(xí)鞏固】
1．設(shè)函數(shù)滿足，，則時，（ ）
A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值
C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值
解析：由題意,令,則,且，
因此．
令，則，
所以時，；時，．從而有，即，所以當時，是單調(diào)遞增的，既無極大值也無極小值．答案D．
2．設(shè)函數(shù)，其中．
（1）當時，證明不等式；
（2）設(shè)的最小值為，，證明．
證明：（1）設(shè)，則．
當 時，，在上是增函數(shù)．
所以當時，，即．所以成立．
同理可證．所以．
（2）由已知得函數(shù)的定義域為，且，令，得．當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．
所以的最小值，
將代入，得，即.
所以，即．
3． 已知函數(shù)，證明: 當且時．
解析: 設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，則
．
當時可得，而，故當 時，遞減．
所以得．
當 時，，而，故當時，遞減．
所以，可得．
綜上， 當且時．
4.【2016高考新課標2理數(shù)】
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當時，；
(Ⅱ)證明：當時，函數(shù)有最小值.設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域．
解析：（Ⅰ）的定義域為.
且僅當時，，所以在單調(diào)遞增，因此當時，所以
（II） 由（I）知，單調(diào)遞增，對任意因此，存在唯一使得即，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.
因此在處取得最小值，最小值為
于是，由單調(diào)遞增
所以，由得
因為單調(diào)遞增，對任意存在唯一的
使得所以的值域是
綜上，當時，有，的值域是
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