九年級數(shù)學上冊 第一章《特殊平行四邊形》1.3 正方形的性質(zhì)與判定 第2課時 正方形的判定同步練習 北師大版.doc

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第2課時　正方形的判定 知識點 1　用定義判定正方形 1．如果要證明平行四邊形ABCD為正方形，那么我們需要在四邊形ABCD是平行四邊形的基礎上，進一步證明(　　) A．AB＝BD且AC⊥BD B．∠A＝90且AB＝AD C．∠A＝90且AC＝BD D．AC和BD互相垂直平分 2．已知在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90，若使四邊形ABCD是正方形，則還需加上一個條件：________________． 知識點 2　利用菱形判定四邊形是正方形 3．在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，下列條件能判定四邊形ABCD是正方形的是(　　) A．OA＝OC，OB＝OD B．OA＝OB＝OC＝OD C．OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD D．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD 圖1－3－17 4．如圖1－3－17，將一張長方形紙片對折兩次，然后剪下一個角，打開．如果要剪出一個正方形，那么剪口線與折痕成(　　) A．22.5角 　　B．30角 C．45角 　　D．60角 5．教材習題1.8第3題變式題如圖1－3－18，有4個動點P，Q，E，F(xiàn)分別從正方形ABCD的4個頂點出發(fā)，沿著AB，BC，CD，DA以同樣的速度向B，C，D，A各點移動．請判斷四邊形PQEF的形狀． 圖1－3－18 知識點 3　利用矩形判定四邊形是正方形 6．xx齊齊哈爾矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，請你添加一個適當?shù)臈l件：________，使其成為正方形．(只填一個即可) 　圖1－3－19 7．如圖1－3－19所示，一張矩形紙片，要折疊出一個最大的正方形，小明把矩形上的一個角沿折痕AE翻折上去，使AB與AD邊上的AF重合，則四邊形ABEF就是一個最大的正方形，他判定的方法是__________________________． 8．xx邵陽如圖1－3－20所示，已知平行四邊形ABCD，對角線AC，BD相交于點O，∠OBC＝∠OCB. (1)求證：平行四邊形ABCD是矩形； (2)請?zhí)砑右粋€條件使矩形ABCD為正方形． 　圖1－3－20 9．若順次連接四邊形ABCD各邊中點所得的四邊形是正方形，則四邊形ABCD一定是(　　) A．矩形 B．對角線互相垂直的四邊形 C．菱形 D．對角線互相垂直且相等的四邊形 　圖1－3－21 10．如圖1－3－21，在△ABC中，∠ACB＝90，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且BE＝BF.添加一個條件，仍不能判定四邊形ECFB為正方形的是(　　) A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF 　圖1－3－22 11．教材習題1.8第3題變式題如圖1－3－22，正方形ABCD的邊長為8，在各邊上順次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，則四邊形EFGH的面積是(　　) A．30 B．34 C．36 D．40 12．xx貴陽期末如圖1－3－23，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E是BD延長線上的點，且△ACE是等邊三角形． (1)求證：四邊形ABCD是菱形； (2)若∠AED＝2∠EAD，求證：四邊形ABCD是正方形． 圖1－3－23 13．如圖1－3－24，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為N. (1)求證：四邊形ADCE為矩形； (2)當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE為正方形？并給出證明． 圖1－3－24 14．觀察如圖1－3－25所示圖形的變化過程，解答以下問題： 圖1－3－25 如圖1－3－26，在△ABC中，D為BC邊上的一動點(點D不與B，C兩點重合)，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F. (1)試探索當AD滿足什么條件時，四邊形AEDF為菱形，并說明理由； (2)在(1)的條件下，當△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF為正方形？為什么？ 圖1－3－26 15．如圖1－3－27，在四邊形ABCD中，E，G分別是AD，BC的中點，F(xiàn)，H分別是BD，AC的中點． (1)當AB，CD滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形？并證明你的結論； (2)當AB，CD滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形？并證明你的結論； (3)當AB，CD滿足什么條件時，四邊形EFGH是正方形？并證明你的結論． 圖1－3－27  1．B　2.AB＝BC(答案不唯一) 3．D 4．C　. 5．解：在正方形ABCD中，AP＝BQ＝CE＝DF，AB＝BC＝CD＝DA， ∴AF＝BP＝CQ＝DE. 又∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90， ∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF， ∴FP＝PQ＝QE＝EF， ∴四邊形PQEF是菱形． ∵△AFP≌△BPQ， ∴∠APF＝∠BQP. ∵∠BPQ＋∠BQP＝90＝∠BPQ＋∠APF， ∴∠FPQ＝90， ∴四邊形PQEF為正方形． 6．AB＝BC或AC⊥BD(答案不唯一) 7．有一組鄰邊相等的矩形是正方形 8．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵∠OBC＝∠OCB， ∴OB＝OC， ∴AC＝BD， ∴平行四邊形ABCD是矩形． (2)AB＝AD(或AC⊥BD，答案不唯一)． 9．D　10.D 11．B　 12．證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AO＝CO. 又∵△ACE是等邊三角形， ∴EO⊥AC，即AC⊥BD， ∴四邊形ABCD是菱形． (2)∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AO＝CO. 又∵△ACE是等邊三角形， ∴EO平分∠AEC， ∴∠AED＝∠AEC＝60＝30. 又∵∠AED＝2∠EAD， ∴∠EAD＝15， ∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝15＋30＝45. ∵四邊形ABCD是菱形， ∴∠ADC＝2∠ADO＝90， ∴四邊形ABCD是正方形． 13．解：(1)證明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC. ∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線， ∴∠MAE＝∠CAE， ∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝180＝90. 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠CEA＝90， ∴四邊形ADCE為矩形． (2)當△ABC滿足∠BAC＝90時，四邊形ADCE為正方形． 證明：∵AB＝AC，∠BAC＝90， ∴∠ACB＝∠B＝45. ∵AD⊥BC，∴∠CAD＝∠ACD＝45， ∴DC＝AD. 又∵四邊形ADCE是矩形， ∴矩形ADCE是正方形． ∴當∠BAC＝90時，四邊形ADCE是正方形． 14．解：(1)當AD平分∠BAC時，四邊形AEDF為菱形． 理由：∵AE∥DF，DE∥AF， ∴四邊形AEDF為平行四邊形． ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD. 又∵DE∥AF， ∴∠FAD＝∠ADE， ∴∠EAD＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∴平行四邊形AEDF為菱形． (2)當∠BAC＝90時，菱形AEDF是正方形．因為有一個角是直角的菱形是正方形． 15．解：(1)當AB⊥CD時，四邊形EFGH是矩形． 證明：∵E，F(xiàn)分別是AD，BD的中點，G，H分別是BC，AC的中點， ∴EF∥AB，EF＝AB， GH∥AB，GH＝AB， FG∥CD. ∴EF∥GH，EF＝GH， ∴四邊形EFGH是平行四邊形． ∵AB⊥CD， ∴EF⊥FG，即∠EFG＝90， ∴四邊形EFGH是矩形． (2)當AB＝CD時，四邊形EFGH是菱形． 證明：∵E，F(xiàn)分別是AD，BD的中點，H，G分別是AC，BC的中點， ∴EF＝AB，GH＝AB，F(xiàn)G＝CD，EH＝CD. 又∵AB＝CD， ∴EF＝FG＝GH＝EH， ∴四邊形EFGH是菱形． (3)當AB＝CD且AB⊥CD時，四邊形EFGH是正方形． 證明：∵E，F(xiàn)分別是AD，BD的中點， ∴EF∥AB，EF＝AB， 同理，EH∥CD，EH＝CD，F(xiàn)G＝CD， GH＝AB. ∵AB＝CD， ∴EF＝EH＝GH＝FG， ∴四邊形EFGH是菱形． ∵AB⊥CD， ∴EF⊥EH，即∠FEH＝90， ∴菱形EFGH是正方形．