北京工業(yè)大學高數(shù)上課件第一章第一節(jié)無窮小.ppt

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北京工業(yè)大學 高等數(shù)學 第一章無窮小與極限 1 1無窮小 1 2函數(shù)極限 1 3極限存在準則和兩個重要極限 1 4函數(shù)的連續(xù)性 1 5無窮小的比較 1 1無窮小 1 1 1數(shù)列無窮小 1 數(shù)列的定義 數(shù)列是指定義在正整數(shù)集上的函數(shù) 依按自變量增大的次序 數(shù)列的對應(yīng)值可以排成 稱為數(shù)列的通項 或一般項 數(shù)列簡記為 例如 數(shù)列 簡記為 簡記為 簡記為 簡記為 數(shù)列中的每個數(shù)稱為數(shù)列的一項 2 數(shù)列的幾何表示法 數(shù)列中的每一個數(shù)都可用數(shù)軸上的一個點 來表示 這些點的全體就是數(shù)列 變化過程稱為n趨于無窮大 3 數(shù)列的變化過程包含兩個相關(guān)的無限過程 自變量n的主動變化過程和因變量的被動變化過程 n的主動變化過程是 不斷增大 每次加1 即n從1開始 遵循這樣的變化規(guī)則 一定可以大于每個固定的正數(shù) 我們將n的這種 記為 表示n無限增大的過程 即n要多大就有多大 或者說 n可以大于任意給定的正數(shù) 即與0的距離可以 如果n可以大于任意給定的正數(shù) 那么 就可以小于任意給定的正數(shù) 我們稱無限接近于0 任意小 數(shù)列的變化趨勢可以概述為 無論給定一個多么小的正數(shù) 都可以有 只要即可 數(shù)列是無窮小 此時我們稱當n無限增大時 定義1 1 數(shù)列無窮小 如果對于任意給定的正數(shù) 都存在正整數(shù)N 使得當時 不等式 成立 記為 或 則稱數(shù)列是無窮小 設(shè)為數(shù)列 幾何解釋 只有有限個 至多有N個 落在其外 定義 定理1 1 無窮小比較定理1 證 設(shè)為無窮小 則也是無窮小 使得對于所有正整數(shù)n 由定義 故也是無窮小 如果存在正數(shù)C 例1證明 如果則為無窮小 證 數(shù)列從第N 1項起 則也是確定數(shù) 因是無窮小 有 注意到當時 冪函數(shù)在單調(diào)增加 所以 即是無窮小 例2證明下列數(shù)列都是無窮小 證因 4 是 1 的推廣 因為是無窮小 注意到 根據(jù)定理1 1及例1 可知上述四個數(shù)列都是無窮小 解因 且 因此 不是無窮小 注 作業(yè) P321 3 6 1 1 2時函數(shù)無窮小 我們用表示x無限增大的過程 只要即可 即x可以大于任意給定的正數(shù) 不妨設(shè) 則等價于 任意給定的正數(shù) 且無限接近0 我們稱時 是無窮小 可以小于 定義1 2 時函數(shù)無窮小 如果對于任意給定的正數(shù) 總存在正數(shù)X 當時 有 記為 或 設(shè)在有定義 c為常數(shù) 則稱當時 為無窮小 如果 則稱當時 為無窮小 記為 記為 如果當 都是無窮小 則稱當時 是無窮小 的幾何意義 完全落在帶形區(qū)域內(nèi) 函數(shù)的圖形 有 例4用定義證明 當時 為無窮小 證 取 所以 當時 為無窮小 同理 當或時 也是無窮小 證 因是無窮小 有 當時 冪函數(shù)在單調(diào)增加 所以 例5設(shè)則當時 為無窮小 故當時 是無窮小 定理1 2 無窮小比較定理2 如果存在常數(shù) 類似于定理1 1 有 是無窮小 設(shè)當 或 時 也是無窮小 則當 或 時 例6證明當時 為無窮小 證 因 不妨設(shè) 所以 當時 是無窮小 當時 例7證明當時 不是無窮小 證 有 不妨設(shè) 所以 當時 不是無窮小 由定義1 2 當時 不是無窮小 當時 1 1 3時函數(shù)無窮小 表示且可以任意小 特別地 當時 是無窮小 定義1 3 時函數(shù)無窮小 有 則稱當時 是無窮小 記為 或 有 則稱當時 是無窮小 記為 或 則稱當時 是無窮小 記為 如果當時 都是無窮小 注意 是否有定義無關(guān) 點 有 的定義可簡寫為 當或時 都是無窮小 類似于定理1 1和定理1 2 有 定理1 3 無窮小比較定理3 設(shè)當時 是無窮小 也是無窮小 則當時 如果存在常數(shù) 例8證明 如果則當時 證 是無窮小 因是無窮小 故當時 是無窮小 由冪函數(shù)在單調(diào)增加 例9證明 證 由定理1 3 有 不妨設(shè) 因 于是 例10證明 證 由定義1 3 有 因 顯然 先證 不妨設(shè) 即 于是 所以 因是奇函數(shù) 有 作單位圓O 例11設(shè) 證 證明 不妨設(shè) 因 于是 于是 故 作業(yè) P322 3 6 7 10 4 1 1 4無窮小的統(tǒng)一定義 函數(shù)都可以滿足不等式 對于前面的無窮小定義稍加比較就可以發(fā)現(xiàn) 如果對于任意給定的正數(shù) 無論哪種情況 所不同的是 隨自變量變化趨勢的不同 不等式成立的范圍 或空心鄰域 也不同 如果把不同情形下的無窮小統(tǒng)一表述為 或 則a共有七種不同情況 當函數(shù)定義域為正整數(shù)時 當函數(shù)定義域為實數(shù)集時 a可以取 為簡單起見 一般可以用等 表示無窮小 定義1 4設(shè)在點a的某個空心鄰域內(nèi)有定義 都存在點a的空心鄰域 若 記作 或 則有關(guān)于無窮小的統(tǒng)一定義形式 如果把a的和有關(guān)的鄰域記為 有了無窮小定義的統(tǒng)一形式 我們今后討論無窮小或一般的極限理論時就可以重點討論其中最具代表性的情形 只是鄰域不同而已 其他情形則可以類似給出 關(guān)于無窮小的概念 有以下幾個方面需注意 1 無窮小是函數(shù)的自變量按照一定的變化趨勢變化時 函數(shù)的一種特殊的變化趨勢 因此 我們說某個函數(shù)是無窮小時 必須同時指出自變量x的變化趨勢 例如 2 零是無窮小 但無窮小不一定等于零 例如 一個固定的正數(shù)無論多么小 總存在比它更小 另外 不能把無窮小與很小的正數(shù)相混淆 的正數(shù) 就不是無窮小 3 關(guān)于無窮小的分類 某空心鄰域 并且存在點a的 特別地 如果當 為正無窮小 同樣地 如果當 為負無窮小 顯然 正 負無窮小都是非零無窮小 例12設(shè)試證當 是無窮小 但不是非零無窮小 證 因 所以 是無窮小 任意給定的空心鄰域 都存在正整數(shù)n滿足 即 使得 故 是無窮小 但不是非零無窮小 成立 定理1 4 無窮小的比較定理 其中為常數(shù) 1 1 5無窮小的性質(zhì) 定理1 5 局部有界性 證 鄰域內(nèi)有界 若 則在a的某個空心 則存在點a的某個空心鄰域 因 取 即在a的空心鄰域內(nèi)有界 有 定理1 6有限多個無窮小之和為無窮小 證 則存在點a的某個空心鄰域 設(shè) 且 且 于是 即 證 例13設(shè)為n次多項式 且則 注意 無窮多個無窮小之和不一定是無窮小 因 可寫成 所以 即是n個無窮小之和 定理1 7無窮小與有界函數(shù)的乘積為無窮小 證 設(shè) 且在點a的某個空心鄰域 內(nèi) 有 由定理1 4 有 則 都是無窮小 例如 當 例14證明 證 因 不妨設(shè) 于是 又 推論1 1有限個無窮小的乘積是無窮小 證由定理1 5和定理1 7 即有推理1 1成立 由定理1 7 有 1 1 6無窮大 絕對值無限增大的變量稱為無窮大 定義1 5設(shè)在點a的某個空心鄰域內(nèi)有定義 都存在點a的空心鄰域 若 記作 或 則稱時為無窮大 無窮大量的幾何直觀 分別稱為正無窮大和負無窮大 說明 1 如果把上面定義中的分別改為 1 兩個正 負 無窮大之和仍為正 負 無窮大 2 有界變量與無窮大的和 差仍為無窮大 3 恒不為零的非無窮小 或無窮大 與無窮大 2 由無窮大的定義容易證明 之積仍為無窮大 是 不定式極限 需要具體分析 無窮大與無窮小的關(guān)系 則當時 有 設(shè)在a的某空心鄰域內(nèi)有定義 意義 有關(guān)無窮大的討論 都可歸結(jié)為無窮小的討論 使得 定理1 8設(shè)在點a的某個空心鄰域內(nèi)有 常數(shù) 定義 如果當時 且存在 例15證明 證1 不妨設(shè) 因 于是 由定理1 8 有 例15證明 證2 不妨設(shè) 因 于是 先證明 所以 故 注意 無窮大是變量 不能與很大的數(shù)混淆 無窮大是一種特殊的無界變量 但 不可認為極限存在 是無界變量未必是無窮大 有界 無界 無窮大 存在某 時刻 那時刻后 一切x 均滿足 概念回放 例16證明在內(nèi)無界 但當 不是無窮大 證 顯然 所以在內(nèi)無界 所以不是無窮大 1 1 7本節(jié)要點 主要結(jié)論包括三個最基本的無窮小和一個關(guān)于無窮小的比較定理 本節(jié)我們用比較直接的形式介紹了無窮小的概念 成立 本書中有關(guān)極限的其它大多數(shù)結(jié)論都可以由這四個基本事實推導(dǎo)出來 請在學習過程中注意體會 其中為常數(shù) 作業(yè) P338