2019年高考數(shù)學 考點分析與突破性講練 專題11 三角函數(shù)概念、基本關系式和誘導公式 理.doc
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專題11 三角函數(shù)概念、基本關系式和誘導公式 一、 考綱要求: 1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能進行弧度與角度的互化. 3.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義. 4.理解同角三角函數(shù)的基本關系式:sinα+cosα=1,=tan α. 5.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出α,πα的正弦、余弦、正切的誘導公式. 二、概念掌握及解題上的注意點: 1.終邊在某直線上角的求法四步驟 (1)數(shù)形結合,在平面直角坐標系中畫出該直線. (2)按逆時針方向寫出[0,2π)內的角. (3)再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合. (4)求并集化簡集合. 2.確定kα,(k∈N*)終邊位置的步驟 (1)用終邊相同角的形式表示出角α的范圍. (2)再寫出kα或的范圍. (3)然后根據(jù)k的可能取值討論確定kα或的終邊所在位置. 3.注意角度與弧度不能混用. 4.終邊落在x軸上角的集合. 終邊落在y軸上角的集合. 終邊落在坐標軸上的角的集合 5.同角三角函數(shù)關系式及變形公式的應用方法 (1))利用sin2α+cos2α=1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化,利用\f(sin α cos α)=tan α可以實現(xiàn)角α的弦切互化. (2))應用公式時注意方程思想的應用:對于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α這三個式子,利用(sinαcosα2=12sin αcos α,可以知一求二. (3))注意公式逆用及變形應用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. 6.利用誘導公式的方法與步驟 (1)方法:利用誘導公式應注意已知角或函數(shù)名稱與所求角或函數(shù)名稱之間存在的關系,尤其是角之間的互余、互補關系,選擇恰當?shù)墓?,向所求角和三角函?shù)進行化歸. (2)步驟: 三、高考考題題例分析: 例1. (2016全國卷Ⅰ)已知θ是第四象限角,且sin=,則tan=________. 解析:由題意知sin=,θ是第四象限角,所以cos>0,所以cos==. sin=sin=cos=, cos=cos=sin=. ∴tan=-tan-. 例2. (2018全國卷II)已知sinα+cosβ=l,cosα+sinβ=0,則sin(α+β)= ?。? 例3.(2018全國卷 Ⅲ)若sinα=,則cos2α=( ?。? A. B. C.﹣ D.﹣ 解析:∵sinα=, ∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2=. 故選:B. 例4(2018江蘇卷).已知α,β為銳角,tanα=,cos(α+β)=﹣. (1)求cos2α的值; (2)求tan(α﹣β)的值. 解析:(1)由,解得, ∴cos2α=; 例5(2018浙江卷)已知角α的頂點與原點O重合,始邊與x軸的非負半軸重合,它的終邊過點P(﹣,﹣). (Ⅰ)求sin(α+π)的值; (Ⅱ)若角β滿足sin(α+β)=,求cosβ的值. 解析:(Ⅰ)∵角α的頂點與原點O重合,始邊與x軸非負半軸重合,終邊過點P(﹣,﹣). ∴x=﹣,y=,r=|OP|=, ∴sin(α+π)=﹣sinα=; 三角函數(shù)概念概念、基本關系式和誘導公式練習題 一、選擇題 1.與角的終邊相同的角可表示為( ) A.2kπ+45(k∈Z) B.k360+π(k∈Z) C.k360-315(k∈Z) D.kπ+(k∈Z) C 解析:π=180=360+45=720-315, ∴與角π的終邊相同的角可表示為k360-315,k∈Z. 2.已知弧度為2的圓心角所對的弦長為2,則這個圓心角所對的弧長是( ) A.2 B.sin 2 C. D.2sin 1 C 解析:由題設知,圓弧的半徑r=, ∴圓心角所對的弧長l=2r=. 3.已知點P(cos α,tan α)在第三象限,則角α的終邊在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B 解析:由題意可得則所以角α的終邊在第二象限,故選B. 4.將表的分針撥快10分鐘,則分針旋轉過程中形成的角的弧度數(shù)是( ) A. B. C.- D.- 5.已知角α的終邊經(jīng)過點(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0.則實數(shù)a的取值范圍是( ) A.(-2,3] B.(-2,3) C.[-2,3) D.[-2,3] A 解析:∵cos α≤0,sin α>0, ∴角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上. ∴∴-2<a≤3. 6.(2018石家莊質檢(二))若sin(π-α)=,且≤α≤π,則cos α=( ) A. B.- C.- D. B 解析:由sin(π-α)=得sin α=,又因為≤α≤π,所以cos α=-=-,故選B. 7.已知sin(π+θ)=-cos(2π-θ),|θ|<,則θ等于( ) A.- B.- C. D. D 解析:∵sin(π+θ)=-cos(2π-θ), ∴-sin θ=-cos θ,∴tan θ=.∵|θ|<,∴θ=. 8.已知傾斜角為α的直線l與直線x+2y-3=0垂直,則cos的值為( ) A. B.- C.2 D.- B 解析:由題意可得tan α=2, 所以cos=-sin 2α=-=-=-,故選B. 9.=( ) A.- B.- C. D. 10.(2017廣州模擬)當θ為第二象限角,且sin=時,的值是( ) A.1 B.-1 C.1 D.0 B 解析:∵sin=, ∴cos =. ∵θ為第二象限角, ∴在第一象限,且cos <sin , ∴= =-1. 11.設θ是第三象限角,且=-cos,則是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 12.已知sin α+3cos α+1=0,則tan α的值為( ) A.或 B.-或- C.或- D.-或不存在 D解析:[由sin α=-3cos α-1,可得(-3cos α-1)2+cos2α=1,即5cos2α+3cos α=0,解得cos α=-或cos α=0,當cos α=0時,tan α的值不存在,當cos α=-時,sin α=-3cos α-1=,tan α==-,故選D. 二、填空題 13.已知角α的始邊與x軸非負半軸重合,終邊在射線4x-3y=0(x≤0)上,則cos α-sin α=________. 解析:角α的始邊與x軸非負半軸重合,終邊在射線4x-3y=0(x≤0)上, 不妨令x=-3,則y=-4,∴r=5,∴cos α==-,sin α==-, 則cos α-sin α=-+=. 14.在直角坐標系中,O是原點,A(,1),將點A繞O逆時針旋轉90到點B,則點B的坐標為________. (-1,) 解析:依題意知OA=OB=2,∠AOx=30,∠BOx=120,設點B的坐標為(x,y),則x=2cos 120=-1,y=2sin 120=,即B(-1,). 15.已知<α<π,3sin 2α=2cos α,則sin=________. 解析:∵<α<π,∴cos α<0. ∵3sin 2α=2cos α, 即6sin αcos α=2cos α, ∴sin α=,則sin=-cos α==. 16.sin21+sin22+sin23+…+sin289=________. 44.5 解析:因為sin(90-α)=cos α,所以當α+β=90時,sin2α+sin2β=sin2α+cos2α=1, 設S=sin21+sin22+sin23+…+sin289, 則S=sin289+sin288+sin287+…+sin21, 兩個式子相加得2S=1+1+1+…+1=89,S=44.5. 三、解答題 17.已知角θ的終邊上有一點P(x,-1)(x≠0),且tan θ=-x,求sin θ+cos θ的值. 18.已知半徑為10的圓O中,弦AB的長為10. (1)求弦AB所對的圓心角α的大小; (2)求α所在的扇形弧長l及弧所在的弓形的面積S. [解] (1)在△AOB中,AB=OA=OB=10, 所以△AOB為等邊三角形. 因此弦AB所對的圓心角α=. (2)由扇形的弧長與扇形面積公式,得 l=αR=10=, S扇形=Rl=αR2=. 又S△AOB=OAOBsin=25. 所以弓形的面積S=S扇形-S△AOB=50 19.求值:sin(-1 200)cos 1 290+cos(-1 020)sin(-1 050)+tan 945. [解] 原式=-sin 1 200cos 1 290+cos 1 020(-sin 1 050)+tan 945 =-sin 120cos 210+cos 300(-sin 330)+tan 225 =(-sin 60)(-cos 30)+cos 60sin 30+tan 45 =++1=2. 20.已知sin(3π+α)=2sin,求下列各式的值: (1); (2)sin2α+sin 2α. 21.已知sin α<0,tan α>0. (1)求角α的集合; (2)求終邊所在的象限; (3)試判斷tan sincos的符號. [解] (1)由sin α<0,知α在第三、四象限或y軸的負半軸上; 由tan α>0,知α在第一、三象限,故α角在第三象限, 其集合為. (2)由2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z, 得kπ+<<kπ+,k∈Z, 故終邊在第二、四象限. (3)當在第二象限時,tan <0, sin >0,cos <0, 所以tan sin cos 取正號; 當在第四象限時,tan <0, sin <0,cos >0, 所以tan sin cos也取正號. 因此,tan sin cos 取正號. 22.已知f(α)=. (1)化簡 f(α); (2)若α是第三象限角,且cos=,求f(α)的值.- 配套講稿:
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