2019高考數(shù)學二輪復習 第一篇 微型專題 微專題05 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習 理.docx

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05　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.已知角α的終邊經(jīng)過點P(-5,-12),則sin3π2+α的值等于(　　). A.-513　　　B.-1213　　　C.513　　　D.1213 　　解析?　因為角α的終邊經(jīng)過點P(-5,-12), 由三角函數(shù)的定義可知cos α=xr=-5(-5)2+(-12)2=-513, 所以sin3π2+α=-cos α=513. 　　答案?　C 2.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),滿足f(x1)=-1,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值為π4,則ω=(　　). A.2 B.1 C.12 D.4 　　解析?　由題意可知|x1-x2|的最小值為T4,所以T=π44=π,所以ω=2ππ=2,故選A. 　　答案?　A 3.將函數(shù)y=cos 3x的圖象向左平移π4個單位長度,所得圖象對應的函數(shù)解析式是(　　). A.y=cos3x+π4 B.y=cos3x-π4 C.y=cos3x-3π4 D.y=cos3x+3π4 　　解析?　由函數(shù)圖象的平移規(guī)則可知y=cos 3x的圖象向左平移π4個單位長度得到y(tǒng)=cos 3x+π4的圖象,即所求函數(shù)解析式是y=cos3x+3π4,故選D. 　　答案?　D 4.給出下列結(jié)論: ①函數(shù)y=sin(kπ-x)(k∈Z)為奇函數(shù); ②函數(shù)y=tan2x+π6的圖象關于點π12,0對稱; ③函數(shù)y=cos2x+π3的圖象的一條對稱軸為直線x=-2π3; ④若tan(π-x)=2,則sin2x=15. 其中正確結(jié)論的序號為　　　　　. 　　解析?　y=sin(kπ-x)=(-1)k-1sin x是奇函數(shù),故①正確; tan2π12+π6=3,故②不正確; cos2-2π3+π3=-1,故③正確; tan(π-x)=-tan x=2,tan x=-2,sin2x=sin2xsin2x+cos2x=tan2xtan2x+1=45,故④不正確. 綜上,正確結(jié)論的序號為①③. 　　答案??、佗? 能力1 ?　能運用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題 　　【例1】　已知函數(shù)f(x)=23sin xcosx+2cos2x+m-1在0,π2上的最小值為-2. (1)求m的值及f(x)圖象的對稱軸; (2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 　　解析?　(1)由已知得f(x)=3sin 2x+cos 2x+m=2sin2x+π6+m. ∵0≤x≤π2,∴π6≤2x+π6≤7π6, ∴當2x+π6=7π6,即x=π2時,f(x)min=2-12+m=-2, ∴m=-1,此時f(x)=2sin2x+π6-1. 由2x+π6=kπ+π2(k∈Z),解得x=kπ2+π6(k∈Z), ∴f(x)圖象的對稱軸為直線x=kπ2+π6(k∈Z). (2)由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ(k∈Z),可得-π3+kπ≤x≤π6+kπ(k∈Z), ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-π3+kπ,π6+kπ(k∈Z). 有關函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B的性質(zhì)及應用問題的求解思路:第一步,先借助三角恒等變換及相應三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成y=Asin(ωx+φ)+B的形式;第二步,把“ωx+φ”視為一個整體,借助復合函數(shù)性質(zhì)求解y=Asin(ωx+φ)+B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對稱性等問題. 已知函數(shù)f(x)=sin2x+π3,則下列結(jié)論正確的是(　　). A.f(x)的圖象關于直線x=π3對稱 B.f(x)的圖象關于點π4,0對稱 C.把f(x)的圖象向左平移π12個單位長度,得到一個偶函數(shù)的圖象 D.f(x)的最小正周期為π,且在0,π6上為增函數(shù) 　　解析?　把x=π3代入函數(shù)f(x)的解析式得fπ3=sin π=0,故A不正確; 把x=π4代入函數(shù)f(x)的解析式得fπ4=sinπ2+π3=cosπ3=12≠0,故B不正確; 函數(shù)f(x)=sin2x+π3的圖象向左平移π12個單位長度,得到g(x)=sin2x+π12+π3=sin2x+π6+π3=cos 2x的圖象,g(x)是偶函數(shù),故C正確; 由題意知函數(shù)f(x)的最小正周期為π,令2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z),解得kπ-5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z),所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ-5π12,kπ+π12(k∈Z).令k=0,得-5π12≤x≤π12,令k=1,得7π12≤x≤13π12,所以函數(shù)f(x)在0,π6上為增函數(shù)是錯誤的,故D不正確.故選C. 　　答案?　C 能力2 ?　會根據(jù)三角函數(shù)的圖象求其解析式 　　【例2】　已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分圖象如圖所示,則該函數(shù)的解析式為(　　). A.y=2sin2x-π6 B.y=2sin2x-π3　 C.y=2sin2x+π6 D.y=2sin2x+π3 　　解析?　(法一)由圖象知T2=π3--π6=π2,故T=π,因此ω=2ππ=2.又圖象的一個最高點的坐標為π3,2,所以A=2,且2π3+φ=2kπ+π2(k∈Z),故φ=2kπ-π6(k∈Z),結(jié)合選項可知y=2sin2x-π6. (法二)當x=π3,y=2時,排除B,C,D.故選A. 　　答案?　A 已知圖象求解析式y(tǒng)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的方法: (1)A=ymax-ymin2,B=ymax+ymin2. (2)已知函數(shù)的周期T,則ω=2πT. (3)求φ的常用方法: ①代入法:把圖象上的一個已知點的坐標代入解析式(A,ω,B已知)求解. ②五點法:確定φ值時,一般以尋找“五點法”中的第一個零點作為突破口.具體如下:“第一點”滿足ωx+φ=0;“第二點”滿足ωx+φ=π2;“第三點”滿足ωx+φ=π;“第四點”滿足ωx+φ=3π2;“第五點”滿足ωx+φ=2π. 已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)g(x)=Acos(ωx+φ)圖象的一個對稱中心為(　　). A.-π6,0　　　　　　B.π12,0 C.π2,0 D.5π6,0 　　解析?　由函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象知,A=1,T=47π12-π3=π,∴ω=2. 由五點法畫圖知,7π122+φ=3π2+2kπ,k∈Z,解得φ=π3+2kπ(k∈Z). ∵|φ|<π,∴φ=π3, ∴f(x)=sin2x+π3,則g(x)=cos2x+π3. 由2x+π3=π2+kπ(k∈Z),解得x=kπ2+π12(k∈Z). 當k=0時,對稱中心為π12,0,故選B. 　　答案?　B 能力3 ?　能熟練進行三角函數(shù)圖象的變換 　　【例3】　將函數(shù)f(x)=sin 2xcos φ+cos 2xsin φ|φ|<π2的圖象向左平移π3個單位長度后的圖象關于原點對稱,則函數(shù)f(x)在0,π2上的最小值為(　　). A.-32 B.32 C.-12 D.12 　　解析?　由已知f(x)=sin(2x+φ)|φ|<π2的圖象向左平移π3個單位長度后,得到函數(shù)y=sin2x+π3+φ=sin2x+2π3+φ的圖象, 再根據(jù)所得圖象關于原點對稱,可得2π3+φ=kπ,k∈Z,∴φ=π3+kπ(k∈Z). 由|φ|<π2,得φ=π3,故f(x)=sin2x+π3. ∵x∈0,π2,∴2x+π3∈π3,4π3, 故當2x+π3=4π3時,f(x)=sin2x+π3取得最小值,最小值為-32,故選A. 　　答案?　A 　　由y=sin x的圖象變換得到y(tǒng)=sin(ωx+φ)(ω>0)的圖象一般有兩個途徑: 途徑一,先平移變換,再伸縮變換.先將y=sin x的圖象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|個單位長度,再將圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?ω(ω>0)倍,得到y(tǒng)=sin(ωx+φ)的圖象. 途徑二,先伸縮變換,再平移變換.先將y=sin x的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?ω(ω>0)倍,再沿x軸向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω個單位長度,得到y(tǒng)=sin(ωx+φ)的圖象. 只有區(qū)分這兩個途徑,才能靈活進行圖象變換. 已知函數(shù)f(x)=cos(2x-φ)-3sin(2x-φ)|φ|<π2的圖象向右平移π12個單位長度后關于y軸對稱,則φ的值為(　　). A.π12 B.π6 C.-π3 D.π3 　　解析?　由題意得函數(shù)f(x)=cos(2x-φ)-3sin(2x-φ)=2cos2x-φ+π3|φ|<π2, 所以函數(shù)f(x)的圖象向右平移π12個單位長度后,可得y=2cos2x-π6-φ+π3=2cos2x-φ+π6的圖象. 由于所得圖象關于y軸對稱,故-φ+π6=kπ,k∈Z,又因為|φ|<π2,所以φ=π6,故選B. 　　答案?　B 能力4 ?　會解三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合問題 　　【例4】　已知函數(shù)f(x)=sin x,將函數(shù)f(x)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?2(縱坐標不變),再將所得函數(shù)圖象向左平移π4個單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象. (1)求g(x)的解析式; (2)若關于x的方程f(x)+g(x)=m,x∈(0,π)有4個不同的根,求實數(shù)m的取值范圍. 　　解析?　(1)g(x)=sin 2x+π4=sin2x+π2=cos 2x, 即g(x)的解析式為g(x)=cos 2x. (2)f(x)+g(x)=sin x+cos 2x=sin x+1-2sin2x=m. 令sin x=t(x∈(0,π)),則t∈(0,1], 當t=1是方程2t2-t+m-1=0的根時,原方程只有1個根,不符合題意. 所以關于x的方程f(x)+g(x)=m,x∈(0,π)有4個不同的根,等價于關于t的方程2t2-t+m-1=0在(0,1)上有2個不同的根, 令h(t)=2t2-t+m-1, 則有h(0)=m-1>0,h(1)=m>0,Δ=1-8(m-1)>0,解得10,ω>0,|φ|<π2的圖象過點Pπ12,0,且圖象上與P點最近的一個最高點的坐標為π3,5. (1)求該函數(shù)的解析式; (2)若將此函數(shù)的圖象向左平移π6個單位長度后,再向下平移2個單位長度得到g(x)的圖象,求g(x)在-π6,π3上的值域. 　　解析?　(1)由已知可得A=5,T4=π3-π12=π4, ∴T=π,ω=2,∴y=5sin(2x+φ). 由5sin2π12+φ=0得π6+φ=2kπ,k∈Z, ∵|φ|<π2,∴φ=-π6, ∴y=5sin2x-π6. (2)g(x)=5sin2x+π6-π6-2 =5sin2x+π6-2. ∵-π6≤x≤π3,∴-π6≤2x+π6≤5π6, ∴-12≤sin2x+π6≤1, ∴-92≤g(x)≤3, ∴g(x)在-π6,π3上的值域為-92,3. 一、選擇題 1.若f(x)=sin x+cosx在[a,0]上是增函數(shù),則a的最小值是(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-3π4　 B.-π2 C.π4　 D.π 　　解析?　由題意得f(x)=sin x+cosx=2sinx+π4. 由-π2+2kπ≤x+π4≤π2+2kπ(k∈Z),得-3π4+2kπ≤x≤π4+2kπ(k∈Z), 令k=0,則f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為-3π4,π4. 由f(x)在[a,0]上是增函數(shù),得a≥-3π4, 故a的最小值是-3π4. 　　答案?　A 2.已知f(x)=sin(-2x+φ)|φ|<π2圖象的一個對稱中心為π6,0,則f(x)圖象的對稱軸可能為(　　). A.x=-π6 B.x=-2π3 C.x=11π12 D.x=π12 　　解析?　因為f(x)=sin(-2x+φ)|φ|<π2圖象的一個對稱中心為π6,0, 所以(-2)π6+φ=kπ,k∈Z, 即φ=kπ+π3,k∈Z. 又|φ|<π2,所以φ=π3, 所以f(x)=sin-2x+π3. 令-2x+π3=kπ+π2,k∈Z,得x=-kπ2-π12,k∈Z. 對選項逐一分析,可得x=11π12符合要求,故選C. 　　答案?　C 3.將曲線y=cos2x+π3向左平移π6個單位長度后,得到曲線y=f(x),則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　). A.kπ-π3,kπ+π6(k∈Z) B.kπ-π6,kπ+π3(k∈Z) C.kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z) D.kπ+π3,kπ+5π6(k∈Z) 　　解析?　曲線y=cos2x+π3向左平移π6個單位長度后,得到y(tǒng)=f(x)的圖象, 故f(x)=cos2x+π3+π3=cos2x+2π3. 由2kπ-π≤2x+2π3≤2kπ(k∈Z),得kπ-5π6≤x≤kπ-π3(k∈Z),等價于kπ+π6≤x≤kπ+2π3(k∈Z), 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z),故選C. 　　答案?　C 4.定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù),若f(x)的最小正周期是π,且當x∈0,π2時,f(x)=sin x,則f5π3的值為(　　). A.-12 B.32 C.-32 D.12 　　解析?　∵f(x)的最小正周期是π,且f(x)是偶函數(shù), ∴f5π3=f5π3-2π=f-π3=fπ3. ∵當x∈0,π2時,f(x)=sin x, ∴f5π3=fπ3=sinπ3=32,故選B. 　　答案?　B 5.已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示,為了得到g(x)=2cos 2x的圖象,可以將f(x)的圖象(　　). A.向右平移π12個單位長度 B.向左平移π12個單位長度 C.向右平移π6個單位長度 D.向左平移π6個單位長度 　　解析?　由函數(shù)f(x)的圖象得A=2,T4=7π12-π3,解得T=π,則ω=2. 當x=π3時,fπ3=2cos2π3+φ=0,解得φ=-π6,∴f(x)=2cos2x-π6. ∴為了得到g(x)=2cos 2x的圖象,可以將f(x)的圖象向左平移π12個單位長度,故選B. 　　答案?　B 6.函數(shù)y=cos2x-3sin x的最大值與最小值的和為(　　). A.-2 B.14 C.0 D.174 　　解析?　ycos=2x-3sin x=sin-2x-3sin x+1 =-sinx+322+134. 令t=sin x,得y=-t+322+134. 因為sin x∈[-1,1],所以t∈[-1,1]. 由二次函數(shù)的性質(zhì)可知該函數(shù)在[-1,1]上單調(diào)遞減, 所以ymax=-1+3+1=3, ymin=-1-3+1=-3, 所以ymax+ymin=0,故選C. 　　答案?　C 7.已知函數(shù)f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π),若π5,5π8是f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間,則φ的取值范圍為(　　). A.-9π10,-3π10 B.9π10,π C.π10,π4 D.-∞,π10∪3π4,+∞ 　　解析?　令2kπ+π2<2x+φ<2kπ+3π2,k∈Z,所以kπ+π4-φ2≤x≤kπ+3π4-φ2,k∈Z, 所以函數(shù)f(x)在kπ+π4-φ2,kπ+3π4-φ2上單調(diào)遞增. 因為π5,5π8是f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間,所以5π8≤kπ+3π4-φ2,且kπ+π4-φ2≤π5,k∈Z,解得2kπ+π10≤φ≤2kπ+π4,k∈Z.又|φ|<π,所以π10≤φ≤π4.故選C. 　　答案?　C 8.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(其中ω>0,φ為常數(shù))的圖象關于直線x=π2對稱,且f3π8=1,f(x)在-3π8,-π4上單調(diào),則ω的可能取值的個數(shù)為(　　). A.2 B.3 C.4 D.5 　　解析?　∵函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(其中ω>0,φ為常數(shù))的圖象關于直線x=π2對稱, ∴當x=π2時,函數(shù)f(x)取得最大值或最小值,即ωπ2+φ=π2+kπ,k∈Z.?、? ∵f3π8=1,∴sin3π8ω+φ=22, 即3π8ω+φ=π4+2kπ或3π8ω+φ=3π4+2kπ,k∈Z.　② ∵f(x)在-3π8,-π4上是同一單調(diào)區(qū)間, ∴π80,|φ|<π2的圖象的一條對稱軸與它相鄰零點的距離為π4,且圖象過點0,12,則該函數(shù)的解析式為　　　　. 　　解析?　因為函數(shù)圖象的一條對稱軸與它相鄰零點的距離為14個周期,所以T=π. 所以ω=2πT=2,代入原式得y=sin(2x+φ). 因為該函數(shù)的圖象過點0,12,所以12=sin φ, 又|φ|<π2,所以φ=π6,所以y=sin2x+π6. 　　答案?　y=sin2x+π6 11.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A,ω,φ是常數(shù),且A>0, ω>0,|φ|<π2的部分圖象如圖所示, 給出下列結(jié)論:①f(x)的最小正周期為π;②f(0)=2;③5π6,0是f(x)圖象的一個對稱中心;④將f(x)的圖象向左平移π6個單位長度,所得到的圖象對應的函數(shù)是偶函數(shù).其中正確的結(jié)論是　　　　.(填序號) 　　解析?　∵A=2,T4=7π12-π3,∴T=π,ω=2ππ=2. ∵27π12+φ=3π2+2kπ,k∈Z,∴φ=π3, ∴f(x)=2sin2x+π3. ∴f(x)的最小正周期為π,f(0)=2sinπ3=3, ∴①正確,②錯誤. ∵f5π6=2sin5π3+π3=2sin 2π=0,∴③正確. 將f(x)的圖象向左平移π6個單位長度得到g(x)的圖象,g(x)=2sin2x+π6+π3=2sin2x+2π3,該函數(shù)不是偶函數(shù),④錯誤.因此正確的結(jié)論是①③. 　　答案??、佗? 12.將函數(shù)f(x)=2sin2x+π6的圖象先向左平移π12個單位長度,再向下平移2個單位長度,得到g(x)的圖象,若g(x1)g(x2)=16,且x1,x2∈[-2π,2π],則x1-x2的最大值為　　　　. 　　解析?　函數(shù)f(x)=2sin2x+π6的圖象向左平移π12個單位長度,可得y=2sin2x+π3的圖象,再向下平移2個單位長度,得到g(x)=2sin2x+π3-2的圖象. 又g(x1)g(x2)=16,且x1,x2∈[-2π,2π], 則g(x1)=g(x2)=-4. 令g(x)=-4,得2x+π3=-π2+2kπ,k∈Z,即x=-5π12+kπ,k∈Z. 由x1,x2∈[-2π,2π],得x1,x2∈-17π12,-5π12, 7π12,19π12. 當x1=19π12,x2=-17π12時,x1-x2取得最大值,最大值為3π. 　　答案?　3π 三、解答題 13.已知函數(shù)f(x)=2cosπ2-xsin x-(sin x-cos x)2. (1)若x∈[0,π],求函數(shù)f(x)的值域; (2)把y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再把得到的圖象向左平移π4個單位長度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)y=g(x)的圖象的對稱中心坐標. 　　解析?　(1)f(x)=2cosπ2-xsin x-(sin x-cos x)2 =2sin2x-sin2x+2sin xcosx-cos2x =sin2x-cos2x+2sin xcosx =sin 2x-cos 2x=2sin2x-π4. 因為x∈[0,π],所以-π4≤2x-π4≤7π4, 所以-1≤2sin2x-π4≤2, 故函數(shù)f(x)的值域是[-1,2]. (2)由(1)知f(x)=2sin2x-π4, 把y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到y(tǒng)=2sinx-π4的圖象, 再把得到的圖象向左平移π4個單位長度,得到g(x)=2sin x的圖象, 所以函數(shù)g(x)=2sin x的圖象的對稱中心是(kπ,0)(k∈Z).