多元函數(shù)的微積分

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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,6.2 多元函數(shù)的微積分,主要內(nèi)容：,一,.,多元函數(shù)的概念,二.二元函數(shù)的極限和連續(xù),三.偏導(dǎo)數(shù)的概念及簡單計(jì)算,四.全微分,五.空間曲線的切線與法平面,六.曲面的切平面與法線,七.多元函數(shù)的極值,設(shè),D,是平面上的一個(gè)點(diǎn)集如果對于每個(gè)點(diǎn),P,(,x,，,y,),D,，,變量,z,按照一定法則總有確定的值和它對應(yīng)，則稱,z,是變量,x、y,的二元函數(shù)(或點(diǎn),P,的函數(shù))，記為,z,=,f,(,x,，,y,)(,或,z,=,f,(,P,),二元函數(shù)的定義：,其中,D,稱為定義域，,x,，,y,稱為自變量，,

2、z,稱為因變量,類似地可定義三元及三元以上函數(shù),當(dāng)自變量的個(gè)數(shù)多于一個(gè)時(shí),函數(shù)稱為多元函數(shù),一.多元函數(shù)的概念,二元函數(shù)的圖形：,二元函數(shù)的圖形是一張曲面,例,z,=,a x,+,b,y,+c,是一張平面，,x,y,z,O,x,0,y,0,M,0,點(diǎn)集(,x,，,y,，,z,)|,z,=,f,(,x,，,y,)，(,x,，,y,),D,稱為二元函數(shù),z,f,(,x,，,y,),的圖形,由方程,x,2,y,2,z,2,a,2,確定的函數(shù),z,=,f,(,x,，,y,),有兩個(gè)：,由方程,x,2,y,2,z,2,a,2,確定的函數(shù),z,=,f,(,x,，,y,),是中心在原點(diǎn)，,它的定義域?yàn)?D,

3、=(,x,，,y,)|,x,2,y,2,a,2,O,x,y,半徑為,a,的球面,二.二元函數(shù)的極限和連續(xù),1.二元函數(shù)的極限,設(shè)函數(shù),f,(,x,，,y,),在開區(qū)域(或閉區(qū)域),D,內(nèi)有定義，,P,0,(,x,0,，,y,0,),是,D,的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)如果對于任意給定的正數(shù),e,總存在正數(shù),d,，,使得對于適合不等式,都有|,f,(,x,，,y,),A,|,e,成立，,則稱常數(shù),A,為函數(shù),f,(,x,，,y,),當(dāng),x,x,0,，,y,y,0,時(shí)的極限，,記為,這里,r,|,P,P,0,|,我們把上述二元函數(shù)的極限叫做,二重極限,定義,的一切點(diǎn),P,(,x,，,y,),D,，,(1),二重

4、極限存在，是指,P,以任何方式趨于,P,0,時(shí)，函數(shù)都無限接近于,A,.,例,當(dāng)點(diǎn),P,(,x,，,y,),沿,x,軸、,y,軸趨于點(diǎn)(0，0)時(shí)函數(shù)的極限為零，,當(dāng)點(diǎn),P,(,x,，,y,),沿直線,y,=,k,x,趨于點(diǎn)(0，0)時(shí),注意：,(2),如果當(dāng),P,以兩種不同方式趨于,P,0,時(shí)，函數(shù)趨于不同的值，則函數(shù)的極限不存在,則稱函數(shù),f,(,x,，,y,),在點(diǎn),P,0,(,x,0,，,y,0,),連續(xù),定義：,設(shè)函數(shù),f,(,x,y,),在開區(qū)域(或閉區(qū)域),D,內(nèi)有定義,P,0,(,x,0,y,0,),D,函數(shù),f,(,x,，,y,),在區(qū)域(開區(qū)域或閉區(qū)域),D,內(nèi)連續(xù)：是指函

5、數(shù),f,(,x,，,y,),在,D,內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)此時(shí)稱,f,(,x,，,y,),是,D,內(nèi)的連續(xù)函數(shù),二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應(yīng)地推廣到,n,元函數(shù),f,(,P,),上去,2.,二元函數(shù)的連續(xù)性,如果,所以函數(shù)在原點(diǎn)不連續(xù),.,例,函數(shù)在單位圓,上各點(diǎn)是否連續(xù)？,解：,如果,函數(shù)在單位圓上任何點(diǎn)都連續(xù),若在單位圓上任何點(diǎn)都不連續(xù),設(shè)函數(shù),z,f,(,x,，,y,),在點(diǎn)(,x,0,，,y,0,),的某一鄰域內(nèi)有定義，,當(dāng),y,固定,在,y,0,而,x,在,x,0,處有增量,x,時(shí)，,相應(yīng)地函數(shù)有增量,f,(,x,0,x,，,y,0,),f,(,x,0,，,y,0,)，,（）如果極限,存在，,則

6、稱此極限為函數(shù),z,f,(,x,，,y,),在點(diǎn)(,x,0,，,y,0,),處對,x,的偏導(dǎo)數(shù)，記作,定義,偏導(dǎo)數(shù)的概念及簡單計(jì)算,1.偏導(dǎo)數(shù)的概念：,記作,（）如果極限,則稱此極限為函數(shù),z,f,(,x,，,y,),在點(diǎn)(,x,0,，,y,0,),處對,y,的偏導(dǎo)數(shù)，,存在，,對自變量的偏導(dǎo)函數(shù)，記作,偏導(dǎo)函數(shù)：,如果函數(shù),z,f,(,x,，,y,),在區(qū)域,D,內(nèi)每一點(diǎn)(,x,，,y,),處對,x,的偏導(dǎo)數(shù)都,存在，,那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是,x,、,y,的函數(shù)，,它就稱為函數(shù),z,f,(,x,，,y,),類似地，可定義函數(shù),z,f,(,x,，,y,),在點(diǎn)(,x,0,，,y,0,),處對,y,

7、的偏導(dǎo),函數(shù)，,記為,偏導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系：,2.一階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,注意：,看成二者之商,.,例,3,求,z,x,2,3,x,y,y,2,在點(diǎn)(1，2)處的偏導(dǎo)數(shù),解,3.二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,按照對變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù),二階偏導(dǎo)數(shù)：,設(shè)函數(shù),z,f,(,x,，,y,),在區(qū)域,D,內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù),那么在,D,內(nèi),f,x,(,x,，,y,)、,f,y,(,x,，,y,),都是,x,，,y,的函數(shù)如果這兩個(gè)函數(shù),的偏導(dǎo)數(shù)也存在,則稱它們是函數(shù),z,f,(,x,，,y,),的二偏導(dǎo)數(shù),二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù),其中,稱為,混合偏導(dǎo)數(shù),同樣可得三階、四階以及,n,階偏導(dǎo)數(shù)

8、,高階偏導(dǎo)數(shù):,解,在對,x,求導(dǎo)就有,得證.,設(shè),z,f,(,u,，,v,)，,而,u,j,(,x,，,y,)，,v,y,(,x,，,y,)，,則復(fù)合函數(shù),4.復(fù)合函數(shù)的微分法(鏈?zhǔn)椒▌t),z,f,j,(,x,，,y,)，,y,(,x,，,y,),的偏導(dǎo)數(shù)為：,四.全微分,全增量：,z,f,(,x,x,，,y,y,),f,(,x,，,y,),稱為函數(shù)在點(diǎn),P(x，y),對,自變量增量,x,、,y,的全增量,全微分的定義：,如果函數(shù),z,f,(,x,，,y,),在點(diǎn)(,x,，,y,),的全增量,記作,dz,或,df,(,x,y,),即,或,可微:,當(dāng)函數(shù),z,=,f,(,x,y,),在,(,x

9、,y,),全微分存在時(shí),稱,z,=,f,(,x,y,),在,(,x,y,),可微.,當(dāng)函數(shù),z,=,f,(,x,y,),在區(qū)域,D,的每一點(diǎn)都可微時(shí),稱,z,=,f,(,x,y,),在,區(qū)域,D,可微.,定理1,函數(shù),z,=,f,(,x,y,),在其一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)一定可微.,定理2,函數(shù),z,=,f,(,x,y,),在可微點(diǎn)連續(xù).,定理1和定理2的結(jié)論可推廣到三元及三元以上函數(shù),連續(xù)，則它可微,且其全微分為,解,由定義知,所以,得,解,因?yàn)?所以,五空間曲線的切線與法平面,定義:,設(shè)在空間曲線 上有一個(gè)定點(diǎn),，,在其鄰近處取 上另一點(diǎn),，,并作割線,令 沿 趨近 ，,那么割線的極限位置,的,

10、切線,就是曲線 在點(diǎn),M,M,x,y,z,O,T,設(shè)空間曲線,的參數(shù)方程為,得曲線在點(diǎn),M,處的切線方程為,過曲線,上,t,t,0,和,t,t,0,t,對應(yīng)的,考慮,當(dāng),M,M,，,即,t,0,時(shí),x,(,t,)，,y,y,(,t,)，,z,w,(,t,),這里假定,(,t,)，,y,(,t,)，,w,(,t,),都可導(dǎo),點(diǎn),M,和,M,，,作曲線的割線,M,M,，,x,y,z,O,M,通過點(diǎn),M,而與切線垂直的平面,法平面：,x,y,z,O,M,j,(,t,0,)(,x,x,0,),y,(,t,0,)(,y,y,0,),w,(,t,0,)(,z,z,0,),0,稱為曲線,在點(diǎn),M,處的法平面

11、.,法平面方程為:,例,9,求曲線,x,t,，,y,t,2,，,z,t,3,在點(diǎn)(1，1，1)處的切線及法平面,于是，切線方程為,法平面方程為,(,x,1),2(,y,1),3(,z,1),0，,即,x,2,y,3,z,6,方程.,數(shù),t,1，,所以,曲面,上通過點(diǎn),M,的一切曲線在點(diǎn),M,的切線都在,同一個(gè)平面上這個(gè)平面稱為曲面,在點(diǎn),M,的切平面,通過點(diǎn),M,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),而垂直于切平面的直線稱為曲面在該,曲面的切平面：,曲面的法線：,六曲面的切平面與法線,曲面的法向量：,垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量,點(diǎn)的法線,其中函數(shù),z=f(x,y),具有連續(xù)的一

12、階偏導(dǎo)數(shù),法線的方程,為,切平面方程為：,解,f,(,x,，,y,),3x,2,2,y,2,，,例,10,求拋物面,z,3,x,2,2,y,2,在點(diǎn),P(1,，,-1,，,5),處的切平面方程及,所以在點(diǎn)(2，1，4)處的切平面方程為,6(,x,1),-4,(,y,+,1),(,z,5),0，,即,6,x,-4,y,z,5,0,法線方程為,法線方程,七多元函數(shù)的極值,設(shè)函數(shù),z,f,(,x,，,y,),在點(diǎn)(,x,0,，,y,0,),的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對于該,鄰域內(nèi)異開(,x,0,，,y,0,),的點(diǎn)(,x,，,y,)：,如果都適合不等式,f,(,x,，,y,),f,(,x,0,，,y,0,

13、)，,則稱函數(shù)在點(diǎn)(,x,0,，,y,0,),有極小值,f,(,x,0,，,y,0,),極大值、極小值統(tǒng)稱為極值使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn),極值的定義：,定理,有界閉域上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值,例,11,函數(shù),z,(,x-2),2,(,y-3),2-1,在點(diǎn),(,2,，,3),處有極小值,-1,也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn),因?yàn)樵邳c(diǎn)(0，0)處的函數(shù)值為零，,而在點(diǎn)(0，0)的任一鄰域,內(nèi)，,總有使函數(shù)值為正的點(diǎn)，,取得極小值,處既不取得極大值也不,在點(diǎn),函數(shù),例,),0,0,(,4,xy,z,=,定理,設(shè)函數(shù),z,f,(,x,，,y,),在點(diǎn)(,x,0,，,y,0,),具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)

14、,取得極值的必要條件：,(,x,0,，,y,0,),處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：,駐點(diǎn)：,函數(shù),z,f,(,x,，,y,),的駐點(diǎn),注意,：,函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn),如：函數(shù),（，）點(diǎn),是其駐點(diǎn)，但不是其極值點(diǎn),定理,設(shè)函數(shù),z,f,(,x,，,y,),在點(diǎn)(,x,0,，,y,0,),的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一,取得極值的充分條件：,(3),AC,B,2,0,時(shí)可能有極值，也可能沒有極值,(2),AC,B,2,0,時(shí)具有極值，且當(dāng),A,0,時(shí)有,極小值,；,則,f,(,x,，,y,),在(,x,0,，,y,0,),處是否取得極值的條件如下：,階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又,f,

15、x,(,x,0,，,y,0,),0，,f,y,(,x,0,，,y,0,),0，,令,求二元函數(shù)極值的步驟：,f,x,(,x,，,y,),0，,f,y,(,x,，,y,),0，,第一步 解方程組,求得一切實(shí)數(shù)解，即可得一切駐點(diǎn),第二步 對于每一個(gè)駐點(diǎn)(,x,0,，,y,0,)，,求出二階,偏導(dǎo)數(shù)的,值,A,、,B,和,C,第三步 定出,AC,B,2,的符號，按定理的結(jié)論判,f,(,x,0,，,y,0,),是否是極值、是極大值 還是極小值,例,12,求函數(shù),f,(,x,，,y,),x,3,y,3,3,x,2,3,y,2,9,x,的極值,求得駐點(diǎn)為(1，0)、(1，2)、(,3，0)、(,3，2),

16、在點(diǎn)(1，0)處，,AC,B,2,1260，,又,A,0，,所以函數(shù)的(1，0),處有極小值,f,(1，0),5,；,在點(diǎn)(1，2)處，,AC,B,2,12(,6)0，,所以,f,(1，2),不是極值；,在點(diǎn)(,3，0)處，,AC,B,2,1260，,又,A,0，,所以函數(shù)的,(,3，2)處有極大值,f,(,3，2),31,f,xx,(,x,，,y,),6,x,6，,f,xy,(,x,，,y,),0，,f,yy,(,x,，,y,),6,y,6,再求出二階偏導(dǎo)數(shù),八,.,小結(jié),1 多元函數(shù)的概念,2 二元函數(shù)的極限,3 二元函數(shù)的連續(xù)性,(1)偏導(dǎo)數(shù)的概念,(2)一階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,(3)二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,(4)復(fù)合函數(shù)的微分法,5 全微分,4 偏導(dǎo)數(shù)的概念及簡單計(jì)算,6空間曲線的切線與法平面,7曲面的切平面與法線,8.多元函數(shù)的極值,j,(,t,0,)(,x,x,0,),y,(,t,0,)(,y,y,0,),w,(,t,0,)(,z,z,0,),0,函數(shù)極值的求法,九.作業(yè),習(xí)題6.2,2,4,6,8,10,