數(shù)學第十一章 概率 11.1 隨機事件的概率 文 新人教B版

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1、第十一章第十一章概率概率-2-1111. .1 1隨機事件的概率隨機事件的概率-4-知識梳理雙基自測2341自測點評1.事件(1)不可能事件、必然事件、隨機事件:在同樣的條件下重復進行試驗時,有的結(jié)果,它稱為不可能事件;有的結(jié)果在每次試驗中,它稱為必然事件;有的結(jié)果,也,它稱為隨機事件.(2)基本事件、基本事件空間:試驗連同它出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件,它是試驗中不能再分的最的;所有構(gòu)成的稱為基本事件空間,基本事件空間常用大寫希臘字母表示.始終不會發(fā)生 一定會發(fā)生 可能發(fā)生 可能不發(fā)生 簡單 隨機事件 基本事件 集合 -5-知識梳理雙基自測自測點評23412.概率與頻率(1)概率的定義:

2、在n次重復進行的試驗中,事件A發(fā)生的頻率 ,當n很大時,總是在某個附近擺動,隨著n的增加,擺動幅度越來越小,這時就把這個叫做事件A的概率,記作P(A).(2)概率與頻率的關(guān)系:可以通過來“測量”,_是的一個近似值.常數(shù) 常數(shù) 概率 頻率 頻率 概率 -6-知識梳理雙基自測自測點評23413.事件的關(guān)系與運算 至少有一個發(fā)生 同時發(fā)生 同時發(fā)生 必有一個發(fā)生 -7-知識梳理雙基自測自測點評23414.概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍:.(2)必然事件的概率P(E)=.(3)不可能事件的概率P(F)=.(4)互斥事件概率的加法公式如果事件A與事件B互斥,則P(AB)=.若事件B與事件A互為對

3、立事件,則P(A)=.0P(A)1 1 0P(A)+P(B) 1-P(B) 2-8-知識梳理雙基自測3415自測點評1.下列結(jié)論正確的打“”,錯誤的打“”.(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.()(2)隨機事件和隨機試驗是一回事.()(3)在大量重復試驗中,概率是頻率的穩(wěn)定值.()(4)兩個事件的和事件是指兩個事件至少有一個發(fā)生.()(5)若A,B為互斥事件,則P(A)+P(B)=1.() 答案 答案關(guān)閉(1)(2)(3)(4)(5)-9-知識梳理雙基自測自測點評234152.將一枚硬幣向上拋擲10次,其中“正面向上恰有5次”是()A.必然事件B.隨機事件C.不可能事件D.無法確定 答案 答案

4、關(guān)閉B-10-知識梳理雙基自測自測點評234153.一個人打靶時連續(xù)射擊兩次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A.至多有一次中靶B.兩次都中靶C.只有一次中靶D.兩次都不中靶 答案解析解析關(guān)閉事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶兩次”兩種情況,由互斥事件的定義,可知“兩次都不中靶”與之互斥. 答案解析關(guān)閉D-11-知識梳理雙基自測自測點評23415 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-12-知識梳理雙基自測自測點評234155.從一副不包括大小王的撲克牌(52張)中,隨機抽取1張,事件A為“抽得紅桃K”,事件B為“抽得黑桃”,則概率P(AB)=(結(jié)果用最簡分數(shù)表示). 答案解析解析

5、關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-13-知識梳理雙基自測自測點評1.頻率與概率有本質(zhì)的區(qū)別,不可混為一談.頻率隨著試驗次數(shù)的改變而變化,概率卻是一個常數(shù).當試驗次數(shù)越來越多時,頻率向概率靠近.2.隨機事件和隨機試驗是兩個不同的概念,沒有必然的聯(lián)系.在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機事件;如果試驗結(jié)果試驗前無法確定,那么試驗就叫做隨機試驗.3.對立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情況,但互斥事件不一定是對立事件,“互斥”是“對立”的必要不充分條件.-14-考點1考點2考點3例1(1)一枚均勻的正方體玩具的各個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個玩具向上拋擲1次,設事件A表示向上的一面出現(xiàn)奇

6、數(shù),事件B表示向上的一面出現(xiàn)的數(shù)字不超過3,事件C表示向上的一面出現(xiàn)的數(shù)字不小于4,則()A.A與B是互斥而非對立事件B.A與B是對立事件C.B與C是互斥而非對立事件D.B與C是對立事件-15-考點1考點2考點3(2)若從裝有5個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取3個球,則互斥而不對立的事件有.(填序號)至少有一個紅球,都是紅球至少有一個紅球,都是白球至少有一個紅球,至少有一個白球恰有一個紅球,恰有兩個紅球思考如何判斷隨機事件之間的關(guān)系? 答案解析解析關(guān)閉 (1)根據(jù)互斥事件與對立事件的定義作答,AB=出現(xiàn)點數(shù)1或3,事件A,B不互斥更不對立;BC=,BC=(為必然事件),故事件B,C是對立事件.(2

7、)由互斥與對立的關(guān)系及定義知,不互斥,對立,不互斥,互斥不對立. 答案解析關(guān)閉(1)D(2)-16-考點1考點2考點3解題心得判斷隨機事件之間的關(guān)系有兩種方法:(1)緊扣事件的分類,結(jié)合互斥事件、對立事件的定義進行分析判斷;(2)類比集合進行判斷,把所有試驗結(jié)果寫出來,看所求事件包含哪些試驗結(jié)果,從而斷定所給事件的關(guān)系.若兩個事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集,則這兩事件互斥;事件A的對立事件 所含的結(jié)果組成的集合,是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集.-17-考點1考點2考點3對點訓練對點訓練1(1)在5張電話卡中,有3張移動卡和2張聯(lián)通卡,從中任取2張,若事件“2張全是移動卡”的概

8、率是 的事件是()A.至多有一張移動卡B.恰有一張移動卡C.都不是移動卡D.至少有一張移動卡(2)某城市有甲、乙兩種報紙供居民訂閱,記事件A為“只訂甲報紙”,事件B為“至少訂一種報紙”,事件C為“至多訂一種報紙”,事件D為“不訂甲報紙”,事件E為“一種報紙也不訂”.則下列兩個事件是互斥事件的有;是對立事件的有.(填序號)A與C;B與E;B與C;C與E.-18-考點1考點2考點3答案: (1)A(2)解析: (1)至多有一張移動卡包含“一張移動卡,一張聯(lián)通卡”“兩張全是聯(lián)通卡”兩個事件,它是“2張全是移動卡”的對立事件,故選A.(2)由于事件C“至多訂一種報紙”中有可能“只訂甲報紙”,即事件A與

9、事件C有可能同時發(fā)生,故A與C不是互斥事件.事件B“至少訂一種報紙”與事件E“一種報紙也不訂”是不可能同時發(fā)生的,故B與E是互斥事件.由于事件B不發(fā)生可導致事件E一定發(fā)生,且事件E不發(fā)生會導致事件B一定發(fā)生,故B與E還是對立事件.-19-考點1考點2考點3事件B“至少訂一種報紙”中有這些可能:“只訂甲報紙”、“只訂乙報紙”、“訂甲、乙兩種報紙”,事件C“至多訂一種報紙”中有這些可能:“一種報紙也不訂”、“只訂甲報紙”、“只訂乙報紙”,由于這兩個事件可能同時發(fā)生,故B與C不是互斥事件.由的分析,事件E“一種報紙也不訂”是事件C的一種可能,即事件C與事件E有可能同時發(fā)生,故C與E不是互斥事件.-2

10、0-考點1考點2考點3例2某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況,得到如下統(tǒng)計表:-21-考點1考點2考點3(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”,求P(A)的估計值;(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”.求P(B)的估計值;(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.-22-考點1考點2考點3-23-考點1考點2考點3(3)由所給數(shù)據(jù)得調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費為0.85a0.30+a0.25+1.25a0

11、.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.192 5a.因此,續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.192 5a.-24-考點1考點2考點3解題心得1.概率是頻率的穩(wěn)定值,它從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小,它是頻率的科學抽象.當試驗次數(shù)越來越多時,頻率越穩(wěn)定于概率.2.求隨機事件的概率的常用方法有兩種:(1)可用頻率來估計概率;(2)利用隨機事件A包含的基本事件數(shù)除以基本事件總數(shù).計算的方法有:列表法;列舉法;樹狀圖法.-25-考點1考點2考點3對點訓練對點訓練2下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(單位:噸)與相應的生產(chǎn)能耗y(單位:噸標準

12、煤)的幾組對照數(shù)據(jù).(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖;(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤,試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤?(參考數(shù)值:32.5+43+54+64.5=66.5)-26-考點1考點2考點3-27-考點1考點2考點3(3)A1,A2分別表示甲選擇L1和L2時,在40分鐘內(nèi)趕到火車站;B1,B2分別表示乙選擇L1和L2時,在50分鐘內(nèi)趕到火車站.由(2)得P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1

13、)P(A2),故甲應選擇L1;P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)P(B1),故乙應選擇L2.-28-考點1考點2考點3例3(2017河南洛陽模擬)經(jīng)統(tǒng)計,在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應的概率如下:求:(1)至多2人排隊等候的概率是多少?(2)至少3人排隊等候的概率是多少?思考求互斥事件的概率一般方法有哪些?-29-考點1考點2考點3解 記“無人排隊等候”為事件A,“1人排隊等候”為事件B,“2人排隊等候”為事件C,“3人排隊等候”為事件D,“4人排隊等候”為事件E,“5人及5人以上排隊等候”為事件F,則事件A,B,C

14、,D,E,F彼此互斥.(1)記“至多2人排隊等候”為事件G,則G=A+B+C,故P(G)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)(方法一)記“至少3人排隊等候”為事件H,則H=D+E+F,故P(H)=P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.(方法二)記“至少3人排隊等候”為事件H,則其對立事件為事件G,故P(H)=1-P(G)=0.44.-30-考點1考點2考點3解題心得求互斥事件的概率一般有兩種方法:(1)公式法:將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和,運用互斥事件概率的求和公式計算;

15、(2)間接法:先求此事件的對立事件的概率,再用公式P(A)=1-P( )求出,特別是“至多”“至少”型題目,用間接法求較簡便.-31-考點1考點2考點3對點訓練對點訓練3黃種人群中各種常見血型的人所占比例大約如下:已知同種血型的人可以互相輸血,O型血的人可以給任一種血型的人輸血,任何人的血都可以輸給AB型血的人,其他不同血型的人不能互相輸血.小明是B型血,若他因病需要輸血,問(1)任找一人,其血可以輸給小明的概率是多少?(2)任找一人,其血不能輸給小明的概率是多少?-32-考點1考點2考點3解 (1)對任一人,其血型為A,B,AB,O分別記為事件A,B,C,D,它們是互斥的.由已知,有P(A)

16、=0.28,P(B)=0.29,P(C)=0.08,P(D)=0.35.因為B型,O型血可以輸給B型血的人,所以“任找一人,其血可以輸給小明”為事件BD,根據(jù)概率加法公式,得P(BD)=P(B)+P(D)=0.29+0.35=0.64.(2)(方法一)因為A型,AB型血不能輸給B型血的人,所以“任找一人,其血不能輸給小明”為事件AC,根據(jù)概率加法公式,得P(AC)=P(A)+P(C)=0.28+0.08=0.36.(方法二)記“任找一人,其血不能輸給小明”為事件E,則與其血可以輸給小明是對立事件,則P(E)=1-0.64=0.36.-33-考點1考點2考點31.對于給定的隨機事件A,由于事件A

17、發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A),因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A).2.若某一事件包含的基本事件較多,而它的對立事件包含的基本事件較少,則可用“正難則反”思想求解.-34-考點1考點2考點31.正確認識互斥事件與對立事件的關(guān)系:對立事件是互斥事件,是互斥事件的特殊情況,但互斥事件不一定是對立事件.2.注意概率加法公式的使用條件,在概率的一般加法公式P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)中,易忽視只有當AB=,即A,B互斥時,P(AB)=P(A)+P(B),此時P(AB)=0.-35-一、易錯警示忽視概率加法公式的應用條件致錯典例1拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,向

18、上的一面出現(xiàn)1點,2點,3點,4點,5點,6點的概率都是 ,記事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)點”,事件B為“向上的點數(shù)不超過3”,求P(AB).解記事件“出現(xiàn)1點”“出現(xiàn)2點”“出現(xiàn)3點”“出現(xiàn)5點”分別為A1,A2,A3,A4,由題意知這四個事件彼此互斥.-36-反思提升1.若審題不仔細,未對AB事件作出正確判斷,誤認為P(AB)=P(A)+P(B),則易出現(xiàn)P(AB)=1的錯誤.2.解決互斥事件的有關(guān)問題時,應重點注意以下兩點:(1)應用加法公式時,一定要注意其前提條件是各事件是互斥事件.(2)對于事件P(AB)P(A)+P(B),只有當A,B互斥時,等號才成立.-37-二、思想方法“正難則反”思想在

19、概率中的應用“正難則反”的思想是一種常見的數(shù)學思想,如反證法、補集的思想都是“正難則反”思想的體現(xiàn).在解決問題時,如果從問題的正面入手比較復雜或不易解決,那么嘗試采用“正難則反”思想往往會起到事半功倍的效果,大大降低題目的難度.在求對立事件的概率時,經(jīng)常應用“正難則反”的思想,即若事件A與事件B互為對立事件,在求P(A)或P(B)時,利用公式P(A)=1-P(B)先求出容易的一個,再求出另一個.-38-典例2某超市為了了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息,安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示.已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x,y的值,并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值;(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率)-39-解(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,解得x=15,y=20.該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體,所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的樣本,顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均值估計,其估計值為