離散數(shù)學題庫
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試題總匯 數(shù)理邏輯部分 1、判斷下列句子中哪些是命題 (1)2是素數(shù) (2)血是黑色的 (3)2+3=5 (4)明年10月1日是晴天 (5)3能被2整除 (6)這朵花多好看呀! (7)明天下午有會嗎? (8)請關(guān)上門! (9)X + y > 5 (10)地球外的星球上也有人 2、將下列命題符號化 (1)3不是偶數(shù) (2)2是素數(shù)和偶數(shù) (3)李芳學過英語或日語 (4)如果角A和角B是對頂角,則角A等于角B (5)李平雖然聰明,但不用功 (6)李平不但聰明,而且用功 (7)小王是游泳冠軍或者百米賽跑冠軍 (8)小王現(xiàn)在在宿舍或者在圖書館 (9)選小王或者小李中的一人當班長 (10)如果我上街,我就去書店看看,除非我很累 (11)如果明天天氣好,我們?nèi)ソ加?。否則,不去郊游 (12)你愛我,我就嫁給你 3、判斷下列命題公式是否等值 (1)(p∨q)與p∨q (2)(p∨q)與p∧q 4、驗證下列等值式 (1)p→(q→r)( p∧q)→r (2)p( p∧q)∨(p∧q) 5、用等值演算法解決下面問題: A、B、C、D 4人百米競賽。觀眾甲、乙、丙預報比賽的名次為, (1)甲:C第一,B第二。(2)乙:C第二,D第三。(3)丙:A第二,D第四。 比賽結(jié)束后發(fā)現(xiàn)甲、乙、丙每人報告的情況都是給對一半。試問,實際名次如何? 6、求下面命題公式的主析取范式和主合取范式 (1)((p∨q)→r)→p 7、利用真值表求主析取范式和主合取范式 (1)(p∧q)∨r 8、邏輯推理證明 (1)前提:p→r,q→s,p∨q。結(jié)論:r∨s。 (2)前提:p∨q,p→r,s→t,s→r,t。結(jié)論:q (3)前提:p→(q→r),s→p,q。結(jié)論:s→r。 (4)前提:p→((r∧s)→q),p,s。結(jié)論:q 9、給定語句如下: (1)15是素數(shù) (2)10能被2整除,3是偶數(shù) (3)你下午有會嗎? (4)2x+3> 0 (5)2是素數(shù)或是合數(shù) (6)這個男孩真勇敢呀! (7)如果2+2=6,則5是奇數(shù) (8)只有4是偶數(shù),3才能被2整除 (9)明年5月1日是晴天 (10)圓的面積等于半徑的平方與的乘積 以上10個語句中,是簡單命題的為A,是復合命題的為B,是真命題的為C,是假命題的為D,真值待定(真值客觀存在,只是現(xiàn)在不知道)的命題為E。 A:①(1)、(4)、(8)②(4)、(6)、(9)、(10)③(1)、(9)、(10) B:①(3)、(10)②(2)、(5)、(7)、(8)③(7)、(8) C:①(2)、(5)、(9)、(10)②(7)、(8)、(10)③(2)、(9)、(10)④(5)、(7)、(8)、(10) D:①(1)、(2)、(8)②(1)、(2)③(1)、(5) E:①(4)、(9)②(9)③(7)、(8) 10、判斷公式類型 (1)(p∧q)→(p∨q) (2)(pq)((p→q)∧(q→p)) (3)(p→q)∧q (4)(p∧p)q (5)p→(p∨q) (6)(p∨p)→((q∧q)∧r) (7)((p→q)→p)p (8)(p∧q)∨(p∧q) (9)(p∨q ∨r)(p ∧q∧r) (10)(p∧q)∧r 11、給定命題公式如下:(p→q)→(p∨q) 該命題公式的主析取范式中含極小項的個數(shù)為A,主合取范式中含極大項的個數(shù)為B,成真賦值個數(shù)為C,成假賦值個數(shù)為D。 A、B、C、D:(1)0,(2)1,(3)2,(4)3,(5)4 12、一公安人員審查一件盜竊案,已知的事實如下: (1)甲或乙盜竊了錄音機 (2)若甲盜竊了錄音機,則作案時間不能發(fā)生在午夜前 (3)若乙的證詞正確,則午夜時屋里燈光未滅 (4)若乙的證詞不正確,則作案時間發(fā)生在午夜前 (5)午夜時屋里燈光滅了 推理證明,誰盜竊了錄音機。 13、設(shè)p=1,q=0,r=1,s=0,有下列命題公式 (1)(p∧q)→(s∧r) (2)(p∧q∧r∧s)∨(s→q) (3)(p∧q∧r)(p∨s) 那么,(1)的真值為 ;(2)的真值為 ;(3)的真值為 ; 14、對于下面的語句, (1)只要4<3,就有3>2 (2)只要4<3,就有3≤2 (3)只有4<3,才有3>2 (4)只有4<3,才有3≤2 (5)除非4<3,否則3>2 (6)4≥3僅當3≤2 (7)4<3當且僅當3>2 則,他們的真值是(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 。 15、設(shè)A是含n個命題變項的公式,下面4個結(jié)論中,哪個是錯誤的? (1)若A的主析取范式中含2n 個極小項,則A是重言式 (2)若A的主合取范式中含2n 個極大項,則A是矛盾式 (3)若A的主析取范式中不含任何極小項,則A的主析取范式為0 (4)若A的主合取范式中不含任何極大項,則A的主合取范式為0 16、已知命題公式A含有3個命題變項,其成真賦值為000,010,100,110。 則A的主析取范式為 ,主合取范式為 。 17、判斷下列語句是否為命題,如是命題請指出是簡單命題還是復合命題,并討論真值 (1)是無理數(shù) (2)5能被2整除 (3)現(xiàn)在開會嗎? (4)x+5>0 (5)這朵花真好看呀! (6)2是素數(shù)當且僅當三角形有3條邊 (7)血是黑色的當且僅當太陽從東方升起 (8)2008年10月1日天氣晴朗 (9)太陽系以外的星球上有生物 (10)小李在宿舍里 (11)全體起立 (12)4是2的倍數(shù)或是3的倍數(shù) (13)4是偶數(shù)且是奇數(shù) (14)李明與王華是同學 (15)藍色和黃色可以調(diào)配成綠色 18、將下列命題符號化,并討論其真值 (1)如果今天是1號,則明天是2號 (2)如果今天是1號,則明天是3號 19、設(shè)A、B、C為任意的命題公式 (1)已知 A∨CB∨C,問AB嗎? (2)已知 A∧CB∧C,問AB嗎? (3)已知 A B,問AB嗎? 20、設(shè)計一個符合如下要求的室內(nèi)照明控制線路:在房間的門外、門內(nèi)及床頭分別裝有控制同一個電燈F的3個開關(guān)A、B、C。當且僅當一個開關(guān)的鍵向上或3個開關(guān)的鍵都向上時電燈亮。則F的邏輯關(guān)系式可化簡為 。 (1)A∨B∨C (2)A∨B∨C∨(A∧B∧C) (3)A∨B∨(A∧C) (4)C∨(A∧B) 21、將下列語句用謂詞表達式符號化 (1)2是素數(shù)且是偶數(shù) (2)如果2大于3,則2大于4 (3)凡是有理數(shù)均可表成分數(shù) (4)有的有理數(shù)是整數(shù) (5)沒有不吃飯的人 (6)素數(shù)不全是奇數(shù) (7)一切人都不一樣高 (8)有的自然數(shù)無先驅(qū)數(shù) (9)有些人喜歡所有的花 (10)任何金屬都可以溶解在某種液體中 (11)凡是對頂角都相等 22、指出下列各合式公式中的指導變項、量詞的轄域、個體變項的自由出現(xiàn)和約束出現(xiàn) (1)x(F(x)→yH(x,y)) (2)x F(x)∧G(x,y) (3)xy(R(x,y)∨L(x,y))∧x H(x,y) 23、給定解釋I如下: 1)DI={2,3} 2)DI中特定元素a=2 3)函數(shù)f(x)為f(2)=3,f(3)=2 4)謂詞F(x)為F(2)=0,F(xiàn)(3)=1; G(x,y)為G( i,j)=1,i,j=2,3; L(x,y)為L( 2,2)= L( 3,3)=1;L( 2,3)= L( 3,2)=0 在解釋I下,求下列各式的值。 (1)x(F(x)∧G(x,a)) (2)x(F(f(x))∧G(x,f(x))) (3)xy L(x,y) 24、求下列公式的前束范式 (1)xF(x)∧x G(x) (2)xF(x)∨x G(x) (3)xF(x)→x G(x) (4)xF(x)→x G(x) 25、設(shè)F(x):x是人,G(x):x愛吃糖。有人給出語句“不是所有人都愛吃糖”的4種謂詞表達式: (1)x(F(x)∧G(x)) (2)x(F(x)→G(x)) (3)x(F(x)∧G(x)) (4)x(F(x)∧G(x)) 正確的答案是 。 26、給出解釋I,使下面兩個公式在解釋I下均為假,從而說明這兩個公式都不是永真式 (1)x(F(x)∨G(x))→(xF(x)∨x G(x)) (2)(xF(x)∧x G(x))→x(F(x)∧G(x)) 27、取個體域為整數(shù)集,給定下列公式 (1)xy(x*y=0) (2)xy(x*y=1) (3)yx(x*y=2) (4)xy z(x – y = z) (5)x – y = - y + x (6)xy(x *y = y) (7)x(x*y = x) (8)xy(x + y = 2y) 在上面的公式中,真命題的為A,假命題的為B。 A:①(1)、(3)、(4)、(6);②(3)、(4)、(5); ③(1)、(3)、(4)、(5);④(3)、(4)、(6)、(7) B:①(2)、(3)、(6);②(2)、(6)、(8); ③(1)、(2)、(6)、(7);④(2)、(6)、(8)、(7) 集合部分 1、下列命題 (1);(2);(3){};(4){} 正確的是 ;錯誤的是 。 2、計算一下冪集 (1)P();(2)P({});(3)P({,{}});(4)P({1,{2,3}}) 3、證明 (1)(A-B)∪B=A∪B; 4、化簡 ((A∪B∪C)∩(A∪B))- ((A∪(B - C))∩A 5、已知:AB=AC,證明:A = B 6、求在1到1000之間不能被5和6,也不能被8整除的數(shù)的個數(shù) 7、某班有25個學生,其中14人會打籃球,12人會打排球,6人會打籃球和排球,5人會打籃球和網(wǎng)球,還有2人會打這三種球。而6個會打網(wǎng)球的人都會打另一種球(指籃球或排球),求不會打這三種球的人數(shù)。 8、設(shè)F表示一年級大學生的集合,S表示二年級大學生的集合,R表示計算機科學系學生的集合,M表示數(shù)學系學生的集合,T表示選修離散數(shù)學的學生的集合,L表示愛好文學的學生的集合,P表示愛好體育運動的學生的集合,則下列各句子所對應(yīng)的集合表達式分別是: (1)所有計算機科學系二年級的學生都選修離散數(shù)學。A (2)數(shù)學系的學生或者愛好文學或者愛好體育運動。B (3)數(shù)學系一年級的學生都沒有選修離散數(shù)學。C (4)只有一、二年級的學生才愛好體育運動。D (5)除去數(shù)學系和計算機科學系二年級的學生外都不選修離散數(shù)學。E A、B、C、D、E: ①T(M∪R)∩S;②R∩ST;③(M∩F)∩T =; ④ML∪P;⑤PF∪S;⑥S -(M∪R)P 9、設(shè)S1={1,2,…,8,9},S2={2,4,6,8},S3={1,3,5,7,9}, S4={3,4,5},S5={3,5}。確定在以下條件下X可能與S1,…,S5中哪個集合相等。 (1)若X∩S5 = ,則A (2)若XS4但X∩S2 = ,則B (3)若XS1但XS3,則C (4)若X - S3= ,則D (5)若XS3但XS1,則E A、B、C、D、E: ①X=S2或者S3;②X= S4或者S5;③X=S1,S2或者S4; ④X與其中任何集合都不等;⑤X=S2;⑥X=S5;⑦X=S3或者S5; ⑧X=S2或者S4; 10、設(shè)A、B、C為任意集合,判斷下述命題是否恒真,如果恒真給出證明,否則舉出反例。 (1)A∪B=A∪CB=C (2)AB=AB= (3)A∩(B - C)=(A∩B)-(A∩C) (4)(A∩B)∪(B - A)= B 11、設(shè)A、B為集合,試確定下列各式成立的充分必要條件: (1)A – B = B (2)A – B = B - A (3)A∪B = A∩B 12、求使得以下集合等式成立時,a,b,c,d應(yīng)該滿足的條件: (1){a,b}={a,b,c} (2){a,b,a}={a,b} (3){a,{b,c}}={a,{d}} (4){{a,b},{c}}={{b}} (5){{a,},b,{c}}={{}} 13、計算A∩B、A∪B、A - B、AB (1)A={{a,b},c},B={c,d} (2)A={{a,},c,{c},{a,b}},B={{a,b},c,{b}} (3)A={x|x∈N∧x<3},B={x|x∈N∧x≥2} (4)A={x|x∈R∧x<1},B={x|x∈Z∧x<1} (5)A={x|x∈Z∧x<0},B={x|x∈Z∧x≥2} 14、設(shè)|A|=3,|P(A)|=64,|P(A∪B)|=256, 求:|B|,|A∩B|,|A - B|,|AB| 15、設(shè)A={1,2},求:P(A)A 16、設(shè)A、B、C、D為任意集合,判斷以下等式是否成立,若成立給與證明,否則,舉出反例。 (1)(A∩B)(C∩D)=(A∩C)(B∩D) (2)(A∪B)(C∪D)=(A∪C)(B∪D) (3)(A - B)(C - D)=(A - C)(B - D) (4)(AB)(CD)=(AC)(BD) 17、設(shè)F、G是N上的關(guān)系,其定義為: F={的哈斯圖。
23、R是X上的二元關(guān)系,對于x∈X定義集合:R(x)={y|xRy}
顯然R(x) X。如果X={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},且令
R1={ 構(gòu)成群,其中為集合的對稱差。
(1)求解方程{1,3}X={3,4,5};
(2)令B={1,4,5},求由B生成的循環(huán)子群;
17、設(shè)A={1,2,5,10,11,22,55,110}是110的正因子集,構(gòu)成偏序集,其中≤為整除關(guān)系。
(1)畫出偏序集的哈斯圖;
(2)說明該偏序集是否構(gòu)成布爾代數(shù),為什么?
18、在圖6-7所示的3個有界格中哪些元素有補元?如果有,請指出該元素的所有的補元。
P154
圖論部分
1、(1)(3,3,2,3)、(5,2,3,1,4)能成為圖的度數(shù)序列嗎?為什么?
(2)已知圖G有10條邊,4個3度頂點,其余頂點的度數(shù)均小于等于2,問G中至少有多少個頂點?為什么?
2、(1)畫出4個頂點3條邊的所有可能非同構(gòu)的無向簡單圖;
(2)畫出3個頂點3條邊的所有可能非同構(gòu)的有向簡單圖;
3、給定下列各圖:
(1)G1=的哈斯圖是A ,其中最大元是B ,最小元是C ,最小上界是D ,最大下界是E 。
A:①一棵樹;②一條鏈;③以上都不對;
B、C、D、E:
④;⑤1;⑥10;⑦6,7,8,9,10;⑧6;⑨0;⑩不存在
32、設(shè)R的關(guān)系圖如所示,試給出r(R)、s(R)、t(R)的關(guān)系圖。
33、畫出下列集合關(guān)于整除關(guān)系的哈斯圖。
(1){1,2,3,4,6,8,12,24}
(2){1,2,…,8,9}
34、設(shè)A={a,b},B={0,1},
(1)求P(A)和BA;
(2)構(gòu)造一個從P(A)到BA的雙射函數(shù)。
代數(shù)系統(tǒng)部分
1、設(shè)Z+={x|x∈Z∧x>0},*表示求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的運算,則
(1)4*6=A;
(2)*在Z+上B;
(3)對于*運算的幺元是C ,零元是D ;
(4)在Z+中E;
A:①24;②12;
B:③只滿足交換率;④只滿足結(jié)合律;
⑤滿足交換率、結(jié)合律和冪等律;
C、D:⑥0;⑦1;⑧不存在;
E:⑨不存在逆元;⑩只有唯一的逆元
2、在有理數(shù)集合Q上定義二元運算*,x,y∈Q有
x * y = x + y - xy
則(1)2*(-5)=A ,7*1/2 = B 。
(2)*在Q上是C;
(3)關(guān)于*的幺元是D;
(4)Q中滿足E;
A、B:①4;②7;③-13;
C:④可結(jié)合的;⑤不可結(jié)合的;
D:⑥1;⑦0;
E:⑧所有的元素都有逆元;⑨只有唯一的逆元;
⑩x∈Q,x1時,有逆元x-1。
3、設(shè)V1=是一個A 。
(2)設(shè)x,y∈S,定義H(x,y)=,那么當x≠y時,H(x,y)≥B 。
(3)使用該種碼可查出接收碼中包含的所有k≤C 位錯誤。
(4)使用該種碼可糾正接收碼中包含的所有k≤D 位錯誤。
(5)如果接收到1000011,且知有一位出錯,那么出錯位是第E 位。
A:①半群,但不是群;②群;③環(huán),但不是域;④域;⑤前4種都不對;
B、C、D、E:
①1;②2;③3;④4;⑤5;⑥6;⑦7;⑧0;
9、對以下定義的集合和運算判斷它們是不是代數(shù)系統(tǒng)。如果是,是哪一種?
(1)S1={1,1/2,2,1/3,3,1/4,4},*為普通乘法,則S1是A ;
(2)S2={a1,a2,…,an},n≥2,ai∈R,i=1,2,…,n,
ai,aj∈S2,有aiaj=ai,則S2是B ;
(3)S3={0,1},*為普通乘法,則S3是C ;
(4)S4={1,2,3,6},為整除關(guān)系,則S4是D ;
(5)S5={0,1},+、*分別為模2加法和乘法,則S5是E 。
A、B、C、D、E:
①半群,但不是獨異點;②是獨異點,但不是群;③群;
④環(huán),但不是域;⑤域;⑥格,但不是布爾代數(shù);⑦布爾代數(shù);
⑧代數(shù)系統(tǒng),但不是以上7種;⑨不是代數(shù)系統(tǒng);
10、圖6-5給出一個格L,則
(1)L是A 元格;
(2)L是B ;
(3)b的補元是C ,a的補元是D ,1的補元是E 。
A:①5;②6;
B:③分配格;④有補格;⑤布爾格;⑥以上都不對;
C、D、E:
⑦不存在;⑧c和d;⑨0;⑩c;
11、設(shè)是布爾代數(shù),
(1)a,b∈B,公式f為b∧(a∨(a′∧(b∨b′))),在B中化簡f;
(2)在B中等式(a∧b′)∨(a′∧b)=0 成立的條件是什么?
12、對以下定義的集合和運算判斷它們能否構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)?如果能,請說明是構(gòu)成哪一種代數(shù)系統(tǒng)?
(1)S1={0,1,2,…,n},+為普通加法,則S1是A ;
(2)S2={1/2,0,2},*為普通乘法,則S2是B ;
(3)S3={0,1,2,…,n-1},n為任意給定的正整數(shù),且n≥2,*為模n乘法,為模n加法,則S3是C ;
(4)S4={0,1,2,3},≤為小于等于關(guān)系,則S4是D ;
(5)S5=Mn(R),+為矩陣加法,則S5是E ;
A、B、C、D、E:
①半群,不是獨異點;②獨異點,不是群;③群;
④環(huán),不一定是域;⑤域;⑥格,不是布爾代數(shù);⑦布爾代數(shù);
⑧代數(shù)系統(tǒng),不是以上7種;⑨不是代數(shù)系統(tǒng);
13、(1)設(shè)G={0,1,2,3},若為模4乘法,則
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