燕尾定理詳細(xì)解析題庫教師版.doc
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燕尾定理 例題精講 燕尾定理: 在三角形中,,,相交于同一點,那么. 上述定理給出了一個新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段,因為和的形狀很象燕子的尾巴,所以這個定理被稱為燕尾定理.該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一個三角形之中,為三角形中的三角形面積對應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑. 通過一道例題證明一下燕尾定理: 如右圖,是上任意一點,請你說明: 【解析】 三角形與三角形同高,分別以、為底, 所以有;三角形與三角形同高,;三角形與三角形同高,,所以;綜上可得. 【例 1】 (2009年第七屆希望杯五年級一試試題)如圖,三角形的面積是,是的中點,點在上,且,與交于點.則四邊形的面積等于 . 【解析】 方法一:連接, 根據(jù)燕尾定理,,, 設(shè)份,則份,份,份,如圖所標(biāo) 所以 方法二:連接,由題目條件可得到, ,所以, , 而.所以則四邊形的面積等于. 【鞏固】如圖,已知,,三角形的面積是,求陰影部分面積. 【解析】 題中條件只有三角形面積給出具體數(shù)值,其他條件給出的實際上是比例的關(guān)系,由此我們可以初步判斷這道題不應(yīng)該通過面積公式求面積. 又因為陰影部分是一個不規(guī)則四邊形,所以我們需要對它進(jìn)行改造,那么我們需要連一條輔助線, (法一)連接,因為,,三角形的面積是30, 所以,. 根據(jù)燕尾定理,,, 所以,, 所以陰影部分面積是. (法二)連接,由題目條件可得到, ,所以, , 而.所以陰影部分的面積為. 【鞏固】如圖,三角形的面積是, 在上,點在上,且,,與 交于點.則四邊形的面積等于 . 【解析】 連接, 根據(jù)燕尾定理,,, 設(shè)份,則份,份,份,份,所以 【鞏固】如圖,已知,,與相交于點,則被分成的部分面積各占 面積的幾分之幾? 【解析】 連接,設(shè)份,則其他部分的面積如圖所示,所以份,所以四部分按從小到大各占面積的 【鞏固】(年香港圣公會數(shù)學(xué)競賽)如圖所示,在中,,,與相交于點,若的面積為,則的面積等于 . 【解析】 方法一:連接. 由于,,所以,. 由蝴蝶定理知,, 所以. 方法二:連接設(shè)份,根據(jù)燕尾定理標(biāo)出其他部分面積, 所以 【鞏固】如圖,三角形的面積是,,,與相交于點,請寫出這部分的面積各是多少? 【解析】 連接,設(shè)份,則其他幾部分面積可以有燕尾定理標(biāo)出如圖所示,所以,,, 【鞏固】如圖,在上,在上,且,,與交于點.四邊形的面積等于,則三角形的面積 . 【解析】 連接,根據(jù)燕尾定理,,, 設(shè)份,則份,份,份, 份,份,如圖所標(biāo),所以份,份 所以 【鞏固】三角形中,是直角,已知,,,,那么三角形(陰影部分)的面積為多少? 【解析】 連接. 的面積為 根據(jù)燕尾定理,; 同理 設(shè)面積為1份,則的面積也是1份,所以的面積是份,而的面積就是份,也是4份,這樣的面積為份,所以的面積為. 【鞏固】如圖,長方形的面積是平方厘米,,是的中點.陰影部分的面積是多少平方厘米? 【解析】 設(shè)份,則根據(jù)燕尾定理其他面積如圖所示平方厘米. 【例 2】 如圖所示,在四邊形中,,,四邊形的面積是,那么平行四邊形的面積為________. 【解析】 連接,根據(jù)燕尾定理,,設(shè),則其他圖形面積,如圖所標(biāo),所以. 【例 3】 是邊長為厘米的正方形,、分別是、邊的中點,與交于,則四邊形的面積是_________平方厘米. 【解析】 連接、,設(shè)份,根據(jù)燕尾定理得份,份,則份,份,所以 【例 4】 如圖,正方形的面積是平方厘米,是的中點,是的中點,四邊形 的面積是_____平方厘米. 【解析】 連接,根據(jù)沙漏模型得,設(shè)份,根據(jù)燕尾定理份,份,因此份,,所以(平方厘米). 【例 5】 如圖所示,在中,,是的中點,那么 . 【解析】 連接. 由于,,所以, 根據(jù)燕尾定理,. 【鞏固】在中,, ,求? 【解析】 連接. 因為,根據(jù)燕尾定理,,即; 又,所以.則, 所以. 【鞏固】在中,, ,求? 【解析】 題目求的是邊的比值,一般來說可以通過分別求出每條邊的值再作比值,也可以通過三角形的面積比來做橋梁,但題目沒告訴我們邊的長度,所以應(yīng)該通過面積比而得到邊長的比.本題的圖形一看就聯(lián)想到燕尾定理,但兩個燕尾似乎少了一個,因此應(yīng)該補(bǔ)全,所以第一步要連接. 連接. 因為,根據(jù)燕尾定理,,即; 又,所以.則, 所以. 【例 6】 (2009年清華附中入學(xué)測試題)如圖,四邊形是矩形,、分別是、上的點,且,,與相交于,若矩形的面積為,則與的面積之和為 . 【解析】 (法1)如圖,過做的平行線交于,則, 所以,,即, 所以. 且,故,則. 所以兩三角形面積之和為. (法2)如上右圖,連接、. 根據(jù)燕尾定理,,, 而, 所以,,,, 則,, 所以兩個三角形的面積之和為15. 【例 7】 如右圖,三角形中,,,求. 【解析】 根據(jù)燕尾定理得 (都有的面積要統(tǒng)一,所以找最小公倍數(shù)) 所以 【點評】本題關(guān)鍵是把的面積統(tǒng)一,這種找最小公倍數(shù)的方法,在我們用比例解題中屢見不鮮,如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì),我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量! 【鞏固】如右圖,三角形中,,,求. 【解析】 根據(jù)燕尾定理得 (都有的面積要統(tǒng)一,所以找最小公倍數(shù)) 所以 【鞏固】如圖,,,則 【解析】 根據(jù)燕尾定理有,,所以 【鞏固】如右圖,三角形中,,,求. 【解析】 根據(jù)燕尾定理得 (都有的面積要統(tǒng)一,所以找最小公倍數(shù)) 所以 【點評】本題關(guān)鍵是把的面積統(tǒng)一,這種找最小公倍數(shù)的方法,在我們用比例解題中屢見不鮮,如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì),我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量! 【例 8】 (2008年“學(xué)而思杯”六年級數(shù)學(xué)試題)如右圖,三角形中,,且三角形的面積是,則三角形的面積為______,三角形的面積為________,三角形的面積為______. 【分析】 連接、、. 由于,所以,故; 根據(jù)燕尾定理,,,所以 ,則,; 那么; 同樣分析可得,則,,所以,同樣分析可得, 所以,. 【鞏固】 如右圖,三角形中,,且三角形的面積是,求三角形的面積. 【解析】 連接BG,份 根據(jù)燕尾定理,, 得(份),(份),則(份),因此, 同理連接AI、CH得,, 所以 三角形GHI的面積是1,所以三角形ABC的面積是19 【鞏固】(2009年第七屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”初賽六年級)如圖,中,,,那么的面積是陰影三角形面積的 倍. 【分析】 如圖,連接. 根據(jù)燕尾定理,,, 所以,, 那么,. 同理可知和的面積也都等于面積的,所以陰影三角形的面積等于面積的,所以的面積是陰影三角形面積的7倍. 【鞏固】如圖在中,,求的值. 【解析】 連接BG,設(shè)1份,根據(jù)燕尾定理,,得(份),(份),則(份),因此,同理連接AI、CH得,, 所以 【點評】如果任意一個三角形各邊被分成的比是相同的,那么在同樣的位置上的圖形,雖然形狀千變?nèi)f化,但面積是相等的,這在這講里面很多題目都是用“同理得到”的,即再重復(fù)一次解題思路,因此我們有對稱法作輔助線. 【鞏固】如圖在中,,求的值. 【解析】 連接BG,設(shè)1份,根據(jù)燕尾定理,,得(份),(份),則(份),因此,同理連接AI、CH得,, 所以 【鞏固】如右圖,三角形中,,且三角形的面積是,求角形 的面積. 【解析】 連接BG,12份 根據(jù)燕尾定理,, 得(份),(份),則(份),因此, 同理連接AI、CH得,, 所以 三角形ABC的面積是,所以三角形GHI的面積是 【例 9】 兩條線段把三角形分為三個三角形和一個四邊形,如圖所示, 三個三角形的面積 分別是,,,則陰影四邊形的面積是多少? 【解析】 方法一:遇到?jīng)]有標(biāo)注字母的圖形,我們第一步要做的就是給圖形各點標(biāo)注字母,方便后面的計算. 再看這道題,出現(xiàn)兩個面積相等且共底的三角形. 設(shè)三角形為,和交于,則,再連結(jié). 所以三角形的面積為3.設(shè)三角形的面積為, 則,所以,四邊形的面積為. 方法二:設(shè),根據(jù)燕尾定理,得到,再根據(jù)向右下飛的燕子,有,解得四邊形的面積為 【鞏固】右圖的大三角形被分成5個小三角形,其中4個的面積已經(jīng)標(biāo)在圖中,那么,陰影三角形的面積是 . 【解析】 方法一:整個題目讀完,我們沒有發(fā)現(xiàn)任何與邊長相關(guān)的條件,也沒有任何與高或者垂直有關(guān)系的字眼,由此,我們可以推斷,這道題不能依靠三角形面積公式求解.我們發(fā)現(xiàn)右圖三角形中存在一個比例關(guān)系: ,解得. 方法二:回顧下燕尾定理,有,解得. 【例 10】 如圖,三角形被分成個三角形,已知其中個三角形的面積,問三角形的面積是多少? 【解析】 設(shè),由題意知根據(jù)燕尾定理,得 ,所以, 再根據(jù),列方程解得 ,所以 所以三角形ABC的面積是 【例 11】 三角形ABC的面積為15平方厘米,D為AB中點,E為AC中點,F(xiàn)為BC中點,求陰影部分的面積. 【解析】 令BE與CD的交點為M,CD與EF的交點為N,連接AM,BN. 在中,根據(jù)燕尾定理,,, 所以 由于S,所以 在中,根據(jù)燕尾定理, 設(shè)(份),則(份),(份),(份), 所以,,因為,F為BC中點, 所以,, 所以(平方厘米) 【例 12】 如右圖,中,是的中點,、、是邊上的四等分點,與交于,與交于,已知的面積比四邊形的面積大平方厘米,則的面積是多少平方厘米? 【解析】 連接、. 根據(jù)燕尾定理,,,所以; 再根據(jù)燕尾定理,,所以,所以,那么,所以. 根據(jù)題意,有,可得(平方厘米) 【鞏固】(2007年四中分班考試題)如圖,中,點是邊的中點,點、是邊的三等分點,若的面積為1,那么四邊形的面積是_________. 【解析】 由于點是邊的中點,點、是邊的三等分點,如果能求出、、三段的比,那么所分成的六小塊的面積都可以求出來,其中當(dāng)然也包括四邊形的面積. 連接、. 根據(jù)燕尾定理,,而,所以,那么,即. 那么,. 另解:得出后,可得, 則. 【例 13】 如圖,三角形的面積是,,,三角形被分成部分,請寫出這部分的面積各是多少? 【解析】 設(shè)BG與AD交于點P,BG與AE交于點Q,BF與AD交于點M,BF與AE交于點N.連接CP,CQ,CM,CN. 根據(jù)燕尾定理,,,設(shè)(份),則(份),所以 同理可得,,,而,所以,. 同理,,所以,,, 【鞏固】如圖,的面積為1,點、是邊的三等分點,點、是邊的三等分點,那么四邊形的面積是多少? 【解析】 連接、、. 根據(jù)燕尾定理,,, 所以,那么,. 類似分析可得. 又,,可得. 那么,. 根據(jù)對稱性,可知四邊形的面積也為,那么四邊形周圍的圖形的面積之和為,所以四邊形的面積為. 【例 14】 如右圖,面積為的中,,,,求陰影部分面積. 【解析】 設(shè)交于,交于,交于.連接, . ∵,, ∵,, ∴ ∵ ∴, ∵ ∴ . 同理 ∴ , ∵ , ∴ , 又∵, ∴, 同理 ,∵,∴, ∴. 同理 個小陰影三角形的面積均為. 陰影部分面積. 【例 15】 如圖,面積為l的三角形ABC中,D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA 的三等分點,求陰影部分面積. 【解析】 三角形在開會,那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧! 令BI與CD的交點為M,AF與CD的交點為N,BI與AF的交點為P,BI與CE的交點為Q,連接AM、BN、CP ⑴求:在中,根據(jù)燕尾定理, 設(shè)(份),則(份),(份),(份), 所以,所以,, 所以, 同理可得另外兩個頂點的四邊形面積也分別是面積的 ⑵求:在中,根據(jù)燕尾定理, 所以,同理 在中,根據(jù)燕尾定理, 所以 所以 同理另外兩個五邊形面積是面積的 所以 【例 16】 如圖,面積為l的三角形ABC中,D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA 的三等分點,求中心六邊形面積. 【解析】 設(shè)深黑色六個三角形的頂點分別為N、R、P、S、M、Q,連接CR 在中根據(jù)燕尾定理,, 所以,同理, 所以 同理 根據(jù)容斥原理,和上題結(jié)果 【例 17】 (年數(shù)學(xué)解題能力大賽六年級初試試題)正六邊形,,,,,的面積是平方厘米,,,,,,分別是正六邊形各邊的中點;那么圖中陰影六邊形的面積是 平方厘米. 【解析】 (方法一)因為空白的面積等于面積的倍,所以關(guān)鍵求的面積,根據(jù)燕尾定理可得,但在用燕尾定理時,需要知道的長度比,連接,,過作的平行線,交于,根據(jù)沙漏模型得,再根據(jù)金字塔模型得,因此,在中,設(shè)份,則份,份,所以, 因此(平方厘米) (方法二)既然給的圖形是特殊的正六邊形,且陰影也是正六邊形我們可以用下圖的割補(bǔ)思路,把正六邊形分割成個大小形狀相同的梯形,其中陰影有個梯形,所以陰影面積為(平方厘米) 【例 18】 已知四邊形,為正方形,,與是兩個正方形的邊長,求 【解析】 觀察圖形,感覺陰影部分像蝴蝶定理,但是細(xì)細(xì)分析發(fā)現(xiàn)用蝴蝶定理無法繼續(xù)往下走,注意到題目條件中給出了兩個正方形的邊長,有邊長就可以利用比例,再發(fā)現(xiàn)在連接輔助線后可以利用燕尾,那么我們就用燕尾定理來求解 連接EO、AF, 根據(jù)燕尾定理:, 所以 ,作OM⊥AE、ON⊥EF, ∵AEEF ∴ ∴ ∴ 17- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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