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1、單擊此處編輯母版書(shū)名樣式,*,材料力學(xué),出版社 科技分社,第七章,彎曲變形,2,平面彎曲時(shí)，梁的軸線在縱向?qū)ΨQ(chēng)平面內(nèi)彎曲成一條平面曲線，這條曲線稱(chēng)為梁的撓曲線。橫截面形心在橫向沿y軸方向的位移w稱(chēng)為撓度。,撓曲線方程,或,撓度方程：,梁的橫截面與變形前橫截面的夾角,稱(chēng)為梁的轉(zhuǎn)角。,小變形梁可近似為,轉(zhuǎn)角方程,7.1 梁的彎曲變形,3,7.2 梁的撓曲線近似微分方程,由純彎曲梁的曲率與彎矩的關(guān)系：,曲線曲率計(jì)算公式,由曲率-彎矩的符號(hào)關(guān)系：,小變形梁的近似微分方程：,4,7.3,積分法求梁的位移,對(duì)于等截面直梁,一次積分得轉(zhuǎn)角方程,二次積分得撓曲線方程,C、D積分常數(shù)，由梁上的撓度或轉(zhuǎn)角確定，這
2、些的撓度或轉(zhuǎn)角稱(chēng)為邊界條件。,5,以圖示簡(jiǎn)支梁為例,以圖示懸臂梁為例,6,例題,7.1,：圖示一彎曲剛度為,EI,的懸臂梁，在自由端受一集中力,F,的作用，試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。,解：建立圖示坐標(biāo)系，彎矩方程為,撓曲線近似微分方程,兩次積分，得,7,由懸臂梁的邊界條件,得積分常數(shù),轉(zhuǎn)角方程,撓曲線方程,最大轉(zhuǎn)角,最大撓度,8,例題,7.2,：圖示彎曲剛度為,EI,的簡(jiǎn)支梁，受集度為,q,的均布荷載作用，試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。,解：由平衡方程得支座反力,建立坐標(biāo)系，得梁的彎矩方程為,梁撓曲線近似微分方程,9,兩次積分得：,由
3、簡(jiǎn)支梁的邊界條件：,得積分常數(shù),10,梁的轉(zhuǎn)角方程,梁的撓曲線方程,最大轉(zhuǎn)角,最大撓度,11,例題,7.3,：圖示彎曲剛度為,EI,的簡(jiǎn)支梁，在,C,點(diǎn)受集中力,F,作用，試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。,解：梁的兩支座支反力,AC段0 x a:,彎矩方程：,撓曲線近似微分方程：,積分一次：,積分二次：,12,CB段a x l:,12,彎矩方程：,撓曲線近似微分方程：,積分一次：,積分二次：,13,由,C,點(diǎn)處的光滑連續(xù)條件：,由梁的邊界條件：,14,得梁,AC,段轉(zhuǎn)角方程和撓曲線位移方程,得梁,CB,段轉(zhuǎn)角方程和撓曲線位移方程,15,顯然，最大轉(zhuǎn)角可能發(fā)生在左、右兩
4、支座處的截面，其值分別為,當(dāng),a,b,時(shí)，,B,支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對(duì)值為最大,簡(jiǎn)支梁的最大撓度應(yīng)在,d,w,/d,x,=0,處，由 得,當(dāng) ab 時(shí)，那么有x1 a，由此可知最大撓度位于AC之間。,16,最大撓度值,跨中撓度值,可以證明，當(dāng)集中載荷從簡(jiǎn)支梁跨中向梁端移動(dòng)時(shí)，最大撓度與跨中撓 度之比值不斷增大。當(dāng)b值趨于零時(shí)，那么比值wmax/wC1.0265，即最大撓度值與跨中撓度值最大相差不超過(guò)2.65%。,工程中，無(wú)論受到什么荷載作用，只要簡(jiǎn)支梁的撓曲線上無(wú)拐點(diǎn)，其最大撓度均都可用梁跨中點(diǎn)處的撓度代替，其精確度足可滿足工程的計(jì)算要求。,17,7.4,疊加法求梁的變形,在上述條件下，如果梁受
5、多個(gè)荷載同時(shí)作用，其任一橫截面的撓度和轉(zhuǎn)角等于各荷載單獨(dú)作用下同一截面撓度和轉(zhuǎn)角的疊加,和,，此為梁變形計(jì)算的,疊加原理。,梁在小變形條件下，其彎矩與荷載成線性關(guān)系，在線彈性范圍內(nèi)，撓曲線的曲率與彎矩成正比，當(dāng)撓度很小時(shí)，曲率與撓度也成線性關(guān)系。,18,例題,7.4,：示簡(jiǎn)支梁，其上作用有集中力,F,和集度為,q,的均布荷載，求,A,截面處的點(diǎn)轉(zhuǎn)角和梁中點(diǎn),C,的點(diǎn)撓度。,解,：均布荷載,q,單獨(dú)作用時(shí)：,，,集中力,F,單獨(dú)作用時(shí)：,，,將相應(yīng)的位移疊加，即得,19,例題,7.5,：圖示懸臂梁，其上作用有集中力,F,，求自由端點(diǎn),C,處的撓度和轉(zhuǎn)角。,，,解,：梁上,BC,段未受力的作用，這
6、段梁只發(fā)生位移，沒(méi)有變形，保持為直線。,B,點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和撓度分別為,由疊加原理,20,例題,7.6,：懸臂梁承受荷載如圖示。求撓度的最大值。,解：將荷載分解為圖示b和c兩種均布荷載的疊加。在b荷載作用下,在c荷載作用下,疊加,21,梁的剛度條件,為了保證梁在荷載作用下有足夠的剛度，按梁的用途，可選擇梁的撓度或梁的轉(zhuǎn)角為梁的剛度容許條件。對(duì)于選擇撓度，通常用許可的撓度與跨長(zhǎng)之比值 作為標(biāo)準(zhǔn)。,在土建工程中,在機(jī)械工程中,梁的許可轉(zhuǎn)角,的值一般限制在,0.0050.001rad,范圍內(nèi)。,22,例題7.7：承受均布荷載的簡(jiǎn)支梁，梁截面采用22號(hào)工字鋼，：l=6m，q=4kN/m，梁的許可撓度與跨長(zhǎng)之
7、比值為 f/l=1/400,彈性模量E=200GPa，試校核梁的剛度。,解,：由,附錄,型鋼表，查得,22,號(hào)工字鋼的,軸,慣性矩為,滿足剛度要求。,23,例題7.8：一圓木簡(jiǎn)支梁受均布荷載如圖示。：q=2kN/m，l=4m，E=10GPa，=10MPa，f/l=1/200；試求梁截面所需直徑d。,解：1根據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面尺寸。,正應(yīng)力強(qiáng)度條件,所需橫截面的直徑,簡(jiǎn)支梁的最大彎矩為,24,2根據(jù)由剛度條件選擇截面尺寸,簡(jiǎn)支梁的最大撓度值,由剛度條件,所需橫截面的直徑為,綜合考慮取梁的截面直徑：,d,162mm,25,7.5.2,提高梁的剛度的措施,1增大梁的彎曲剛度EI,2調(diào)整跨長(zhǎng)和改
8、變結(jié)構(gòu),為了增大鋼梁的彎曲剛度，梁的橫截面應(yīng)采用使截面面積盡可能分布在距中性軸較遠(yuǎn)的形狀，以增大截面對(duì)于中性軸的慣性矩,I,z,，,26,所謂改變結(jié)構(gòu)來(lái)提高梁的剛度在這里是指增加梁的支座約束使靜定梁成為超靜定梁。,27,7.6,簡(jiǎn)單超靜定梁的解法,如果梁的未知約束反力的數(shù)目多于可列出的獨(dú)立靜力學(xué)平衡方程的數(shù)目，僅憑靜力學(xué)平衡條件不能完全確定所有未知約束反力，這類(lèi)梁稱(chēng)為,超靜定梁,。,28,以圖,示,的簡(jiǎn)支梁為例，說(shuō)明其解法,.,解除超靜定梁的多余約束,C,，用約束反力,F,C,代替；由此得到的靜定梁稱(chēng)為原超靜定梁的靜定基,。,變形相容性條件,或,q,引起的,C,處撓度,F,C,引起的,C,處撓
9、度,29,將關(guān)系式b(c)代入a,得,解得多余約束反力為,根據(jù)靜定基的,平衡條件，求得梁端的支座約束力為,梁的剪力和彎矩圖如下圖,30,例題,7.9,：求圖示超靜定梁,B,支座的約束反力。,解,：,解除,B,處的約束，以約束反力,F,B,代替,變形相容條件,查附錄,得,31,將得到的上述撓度代入變形相容條件,即得補(bǔ)充方程,解得,負(fù)號(hào)表示支座B處的約束力實(shí)際方向與假設(shè)相反,32,例題,7.10,：圖示結(jié)構(gòu)，梁,AB,的,EI,為一常數(shù)，,BC,桿的,EA,為一常數(shù)，求,B,處的約束反力。,解：1選擇靜定基，解除B處的約束，以約束反力FBC代替,2變形相容條件,3由梁與拉壓桿的變形計(jì)算,33,4將
10、變形計(jì)算式代入相容條件得補(bǔ)充方程,解得,34,本章小結(jié),1梁的位移用撓度w和轉(zhuǎn)角 兩個(gè)根本量表示,且,2由撓曲線近似微分方程,通過(guò)積分運(yùn)算計(jì)算梁的撓度和轉(zhuǎn)角；,3當(dāng)梁上同時(shí)受有幾種幾個(gè)荷載作用時(shí)，可采用疊加法計(jì)算梁的位移。,4工程設(shè)計(jì)中，梁不僅需滿足強(qiáng)度條件，還應(yīng)滿足剛度條件，把位移控制在允許的范圍內(nèi)。,35,(5),求解超靜定梁的主要步驟：,解除超靜定結(jié)構(gòu)的多余約束，用多余約束力替代相應(yīng)約束，得靜定基；,根據(jù)原超靜定結(jié)構(gòu)給出靜定基的變形相容條件；,求出靜定基的位移計(jì)算表達(dá)式，并代入變形相容條件得到補(bǔ)充方程。,由補(bǔ)充方程求解出多余約束力。,再按靜定平衡條件計(jì)算出其它約束反力，繪出剪力和彎矩圖。,36,第七章結(jié)束,
材料力學(xué)第7章彎曲變形
