2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專題41 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 理.doc
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專題41 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 一、考綱要求: 1.理解坐標(biāo)系的作用,了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況. 2.了解極坐標(biāo)的基本概念,會(huì)在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置,能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化. 3.能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形表示的極坐標(biāo)方程. 5.了解參數(shù)方程,了解參數(shù)的意義. 6.能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓曲線的參數(shù)方程. 二、概念掌握和解題上注意點(diǎn): 1.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式的三個(gè)前提條件 (1)取直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn). (2)以x軸的非負(fù)半軸為極軸. (3)兩種坐標(biāo)系規(guī)定相同的長(zhǎng)度單位. 2.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的策略 (1))直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程,只要運(yùn)用公式x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入并化簡(jiǎn)即可; (2))極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時(shí)常通過變形,構(gòu)造形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,進(jìn)行整體代換. 3.解決與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程有關(guān)的綜合問題時(shí),要注意普通方程與參數(shù)方程的互化公式,主要是通過互化解決與圓、圓錐曲線上與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的問題,如最值、范圍等. 4.根據(jù)直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式中t的幾何意義,有如下常用結(jié)論: 過定點(diǎn)M0的直線與圓錐曲線相交,交點(diǎn)為M1,M2,所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2. ①弦長(zhǎng)l=|t1-t2|; ②弦M1M2的中點(diǎn)?t1+t2=0; ③|M0M1||M0M2|=|t1t2|. 三、高考考題題例分析 例1.(2018全國(guó)卷I)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρcosθ﹣3=0. (1)求C2的直角坐標(biāo)方程; (2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn),求C1的方程. 【答案】(1)(x+1)2+y2=4;(2). 例2.(2018全國(guó)卷II)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為,(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為,(t為參數(shù)). (1)求C和l的直角坐標(biāo)方程; (2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),求l的斜率. 【答案】(1):,sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0; (2)-2 【解析】:(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)), 轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為:. 直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為:sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0. (2)把直線的參數(shù)方程代入橢圓的方程得到: +=1 整理得:(4cos2α+sin2α)t2+(8cosα+4sinα)t﹣8=0, 則:, 由于(1,2)為中點(diǎn)坐標(biāo), 所以:, 則:8cosα+4sinα=0, 解得:tanα=﹣2, 即:直線l的斜率為﹣2. 坐標(biāo)系與參數(shù)方程練習(xí)題 1.若函數(shù)y=f(x)的圖象在伸縮變換φ:的作用下得到曲線的方程為y′=3sin,求函數(shù)y=f(x)的最小正周期. 【答案】π. 【解析】: 由題意,把變換公式代入曲線方程y′=3 sin得3y=3 sin,整理得y=sin,故f(x)=sin.所以y=f(x)的最小正周期為=π. 2.在直角坐標(biāo)系xOy中,直線C1:x=-2,圓C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求C1,C2的極坐標(biāo)方程; (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R),設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M,N,求△C2MN的面積. 【答案】(1) C1:ρcos θ=-2,C2:ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0. (2) 法二:直線C3的直角坐標(biāo)方程為x-y=0,圓C2的圓心C2(1,2)到直線C3的距離d==,圓C2的半徑為1, ∴|MN|=2=,所以△C2MN的面積為. 3.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)軸中,曲線C的方程為sin θ-ρ cos2θ=0. (1)求曲線C的直線坐標(biāo)方程; (2)寫出直線l與曲線C交點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo). 【答案】(1) y-x2=0;(2) 4.在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:(t為參數(shù),t≠0),其中0≤α<π.在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2cos θ. (1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo); (2)若C1與C2相交于點(diǎn)A,C1與C3相交于點(diǎn)B,求|AB|的最大值. 【答案】(1) (0,0)和;(2)4 【解析】: (1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0,曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0, 聯(lián)立 解得或 所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和. 5.在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù),a>0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=4cos θ. (1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程; (2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=α0,其中α0滿足tan α0=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a. 【答案】(1) ρ2-2ρsin θ+1-a2=0;(2) a=1. 【解析】: (1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2+(y-1)2=a2,則C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓. 將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中, 得到C1的極坐標(biāo)方程為 ρ2-2ρsin θ+1-a2=0. (2)曲線C1,C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組 若ρ≠0,由方程組得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0, 由已知tan θ=2, 得16cos2θ-8sin θcos θ=0, 從而1-a2=0, 解得a=-1(舍去)或a=1. 當(dāng)a=1時(shí), 極點(diǎn)也為C1,C2的公共點(diǎn),且在C3上. 所以a=1. 6.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2 sin θ,正方形ABCD的頂點(diǎn)都在C1上,且依次按逆時(shí)針方向排列,點(diǎn)A的極坐標(biāo)為. (1)求點(diǎn)C的直角坐標(biāo); (2)若點(diǎn)P在曲線C2:x2+y2=4上運(yùn)動(dòng),求|PB|2+|PC|2的取值范圍. 【答案】(1) C(-1,1);(2) [14-4,14+4] 所以|PB|2+|PC|2∈[14-4,14+4]. 13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t是參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos. (1)求直線l的普通方程和圓心C的直角坐標(biāo); (2)求圓C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值. 【答案】(1) l的普通方程為y=x-6,圓心C的直角坐標(biāo)為(,-); (2)2 【解析】: (1)由題意得直線l的普通方程為y=x-6. 因?yàn)棣眩?cos, 所以ρ2=2ρcos θ-2ρsin θ, 所以圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x+2y=0, 即(x-)2+(y+)2=4, 所以圓心C的直角坐標(biāo)為(,-). (2)由(1)知,圓C的半徑為r=2,且圓心到直線l的距離d==4>2, 所以直線l與圓C相離, 所以圓C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值為d-r=4-2=2. 14.在平面直角坐標(biāo)系中,將曲線C1上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)縮短為原來的,得到曲線C2.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2. (1)求曲線C2的參數(shù)方程; (2)過原點(diǎn)O且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條直線l1與l2分別交曲線C2于A,C和B,D,且點(diǎn)A在第一象限,當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最大時(shí),求直線l1的普通方程. 【答案】(1) (θ為參數(shù));(2) l1的普通方程為y=x. 【解析】: (1)依題意,可得C1的普通方程為x2+y2=4, 由題意可得C2的普通方程為+y2=1, 所以C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). 15,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(a>0,β為參數(shù)).以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程ρcos=. (1)若曲線C與l只有一個(gè)公共點(diǎn),求a的值; (2)A,B為曲線C上的兩點(diǎn),且∠AOB=,求△OAB的面積最大值. 【答案】(1) a=1;(2) (2)法一:曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2acos θ(a>0), 設(shè)A的極角為θ,B的極角為θ+, 則S△OAB=|OA||OB|sin =|2acos θ| =a2, ∵cos θcos=cos2θ-sin θcos θ =-sin 2θ =+ =cos+, 所以當(dāng)θ=-時(shí), cos+取得最大值. △OAB的面積最大值為. 法二:因?yàn)榍€C是以(a,0)為圓心,以a為半徑的圓,且∠AOB=, 由正弦定理得=2a,所以|AB|=a. 由余弦定理得|AB|2=3a2 =|OA|2+|OB|2-|OA||OB| ≥|OA||OB|, 所以S△OAB=|OA||OB|sin≤3a2=, 所以△OAB的面積最大值為.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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