高考數(shù)學(xué) 17-18版 第4章 第16課 課時(shí)分層訓(xùn)練16

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1、 課時(shí)分層訓(xùn)練(十六) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 1．函數(shù)f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)_______． 3(x2－a2)　[∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．]　 2．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿(mǎn)足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，則f′(1)等于________． －1　[由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，則f′(1)＝－1.]　 3．曲線y＝sin x＋ex在點(diǎn)(0,1)處的切線方程是________

2、． 2x－y＋1＝0　[y′＝cos x＋ex，故切線斜率為k＝2，切線方程為y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.]　 4．(2017·蘇州模擬)已知曲線y＝－3ln x的一條切線的斜率為－，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)_______． 2　[因?yàn)閥＝－3ln x，所以y′＝－.再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，有－＝－，解得x＝2或x＝－3(舍去)．] 5．已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，則f(x)在點(diǎn)P(－1,2)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于________． 　[∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6， ∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8， 故切線方程為y－2＝8(x＋1)，

3、即8x－y＋10＝0， 令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－， ∴所求面積S＝××10＝.] 6．曲線f(x)＝x3－x＋3在點(diǎn)P(1,3)處的切線方程是________． 2x－y＋1＝0　[由題意得f′(x)＝3x2－1，則f′(1)＝3×12－1＝2，即函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)P(1,3)處的切線的斜率為2，則切線方程為y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.] 7．若曲線y＝ax2－ln x在點(diǎn)(1，a)處的切線平行于x軸，則a＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172091】 　[因?yàn)閥′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1.因?yàn)榍€在點(diǎn)(1，a)處的切線平行于

4、x軸，故其斜率為0，故2a－1＝0，a＝.] 8．如圖16-1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x，y＝0，x＝t(t>0)圍成的△OAB的面積為S(t)，則S(t)在t＝2時(shí)的瞬時(shí)變化率是________． 圖16-1 2　[當(dāng)x＝t時(shí)，y＝t， ∴S(t)＝t×t＝t2. ∴S′(t)＝t，∴S′(2)＝2.] 9．如圖16-2，y＝f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，其中g(shù)′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g′(3)＝________. 圖16-2 0　[由題圖可知曲線y＝f(x)在x＝3處切線的斜率等

5、于－，即f′(3)＝－. 又因?yàn)間(x)＝xf(x)， 所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)， 由題圖可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.] 10．(2017·揚(yáng)州期中)若x軸是曲線f(x)＝ln x－kx＋3的一條切線，則k＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172092】 e2　[由題意可知f′(x)＝－k＝0有解，即x＝. ∴f＝ln －1＋3＝0，即k＝e2.] 11．(2017·蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)＝x－1＋，若直線：y＝kx－1與曲線y＝f(x)相切，則k＝________. 1－e　[設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0

6、)，則由題意可知 f′(x0)＝k. 又f′(x)＝1－，故1－＝k. 又y0＝x0－1＋＝kx0－1， ∴x0－1＋1－k＝kx0－1， ∴(k－1)(x0＋1)＝0，∴k＝1或x0＝－1， 當(dāng)k＝1時(shí)，由k＝1－，可得＝0(舍去)， 當(dāng)x0＝－1時(shí)，由k＝1－，可得k＝1－e.] 12．(2017·南通三模)已知兩曲線f(x)＝cos x，g(x)＝sin x，x∈相交于點(diǎn)A.若兩曲線在點(diǎn)A處的切線與x軸分別相交于B，C兩點(diǎn)，則線段BC的長(zhǎng)為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172093】 　[由f(x)＝g(x)可知tan x＝，又x∈，所以A. 又f′(x)＝－si

7、n x， ∴f′＝－， ∴在點(diǎn)A處的切線l1：y－＝－. 令y＝0，得x＝＋，即B. 又g′(x)＝cos x，∴g′＝. ∴在點(diǎn)A處的切線l2：y－＝. 令y＝0，得x＝－，即C， ∴BC＝－＝.] B組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．(2017·無(wú)錫期末)過(guò)曲線y＝x－(x>0)上一點(diǎn)P(x0，y0)處的切線分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OAB的面積為，則x0＝________. 　[∵y′＝1＋，∴y′|x＝x0＝1＋， ∴AB：y－y0＝(x－x0)． 又y0＝x0－，∴y－x0＋＝(x－x0) 令x＝0得y＝－； 令y＝0得x＝

8、， ∴S△OAB＝··＝，解得x＝(負(fù)值舍去)．] 2．(2017·南通調(diào)研一)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與曲線y＝x2(x>0)和y＝x3(x>0)均相切，切點(diǎn)分別為A(x1，y1)和B(x2，y2)，則的值是________． 　[由y＝x2得y′＝2x，切線方程為y－x＝2x1(x－x1)， 即y＝2x1x－x. 由y＝x3得y′＝3x2，切線方程為 y－x＝3x(x－x2)，即y＝3xx－2x， 由得＝.] 3．(2016·山東高考改編)若函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱(chēng)y＝f(x)具有T性質(zhì)，下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是

9、________．(填序號(hào)) ①y＝sin x；②y＝ln x；③y＝ex；④y＝x3. ①　[若y＝f(x)的圖象上存在兩點(diǎn)(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，使得函數(shù)圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則f′(x1)·f′(x2)＝－1. 對(duì)于①：y′＝cos x，若有cos x1·cos x2＝－1，則當(dāng)x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)時(shí)，結(jié)論成立； 對(duì)于②：y′＝，若有·＝－1，即x1x2＝－1，∵x>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1； 對(duì)于③：y′＝ex，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1.顯然不存在這樣的x1，x2； 對(duì)于④：y′＝3x2

10、，若有3x·3x＝－1，即9xx＝－1，顯然不存在這樣的x1，x2.] 4．(2017·啟東中學(xué)高三第一次月考)若曲線y＝aln x與曲線y＝x2在它們的公共點(diǎn)P(s，t)處具有公共切線，則＝________. 　[對(duì)曲線y＝aln x求導(dǎo)可得y′＝，對(duì)曲線y＝x2求導(dǎo)可得y′＝，因?yàn)樗鼈冊(cè)诠颤c(diǎn)P(s，t)處具有公共切線，所以＝，即s2＝ea，又t＝aln s＝s2，即2ealn s＝s2，將s2＝ea代入，所以a＝1，所以t＝，s＝，即＝.] 5．若函數(shù)f(x)＝ln x＋ax存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 　[∵f′(x)＝＋a(x>0)

11、，故由題意可知方程＋a＝2在(0，＋∞)上有解． ∴a＝2－<2. 又y＝2x與曲線f(x)＝ln x＋ax相切， 設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則 解得x0＝e，a＝2－. 綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.] 6．(2017·鹽城期中)設(shè)函數(shù)f(x)＝|ex－e2a|，若f(x)在區(qū)間(－1,3－a)內(nèi)的圖象上存在兩點(diǎn)，在這兩點(diǎn)處的切線相互垂直，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 　[當(dāng)x≥2a時(shí)，f(x)＝ex－e2a，此時(shí)f(x)是增函數(shù)； 當(dāng)x<2a時(shí)，f(x)＝－ex＋e2a，此時(shí)f(x)是減函數(shù)； 設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為M(x1，f(x1))，N(x2，f(x2))， 其中x12a. ∴2a<1，解得a<， 綜上可知，－