畫(huà)法幾何直線直線的相對(duì)位置直角投影定理直角三角性法.ppt

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同學(xué)們好！,大家好!,第三章直線,第二節(jié)各種位置直線,第一節(jié)直線的投影,第三節(jié)一般位置線段的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)投影的傾角,第四節(jié)兩直線的相對(duì)位置,第五節(jié)直角投影定理,,H,直線的投影仍為直線，兩點(diǎn)確定一條直線，直線上兩點(diǎn)的投影用直線連接，就得到直線的投影。,b,第一節(jié)直線的投影,直線垂直于投影面其投影積聚為一點(diǎn)(積聚性),作CB//ab,則∠ABC為直線AB對(duì)投影面H的傾角α.,直線傾斜于投影面其投影比實(shí)長(zhǎng)短:ab=ABcosα(類似性）,直線平行于投影面其投影反映線段實(shí)長(zhǎng):fg=FG（真實(shí)性）,投影特性,F,,A,B,,,a,,,,e(d),,D,E,α,,(c),,,g,,,f,G,C,投影面平行線,平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜,投影面垂直線,正平線（只平行于Ｖ面）,側(cè)平線（只平行于Ｗ面）,水平線（只平行于Ｈ面）,正垂線（垂直于Ｖ面）,側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）,鉛垂線（垂直于Ｈ面）,一般位置直線,與三個(gè)投影面都傾斜的直線,,垂直于某一投影面(平行于另兩投影面),,返回,,,第二節(jié)各種位置直線,特殊位置直線,,一、直線的分類：,二、相對(duì)投影面各種位置直線的投影,一般位置直線的三個(gè)投影仍為直線；三個(gè)投影都傾斜于投影軸；投影長(zhǎng)度小于線段的實(shí)長(zhǎng)；投影與投影軸的夾角，不反映直線對(duì)投影面的傾角。,,,,一般位置直線AB,,,,X,Z,YH,YW,O,直線上點(diǎn)的投影，必在直線的同面投影上；（c∈ab,c∈ab,c∈ab)線段上的點(diǎn)分割線段之比，投影后保持不變。AC/CB=ac/cb=ac/cb=ab/cb),1.一般位置直線上點(diǎn)的投影,,X,YW,YH,C是直線AB上的點(diǎn),例1如圖中黑色的圖形所示，作出分線段AB為3:2的點(diǎn)c的兩面投影。,0,,,,,,,,作法：1.過(guò)點(diǎn)a任作一條直線ae；2.在ae上截取五等分；3.連接be；4.在離點(diǎn)a三等分點(diǎn)處作直線平行于be，交ab上一點(diǎn)c；5.過(guò)點(diǎn)c作直線垂直于ox,交a′b′于點(diǎn)c′。點(diǎn)C(c,c′)即為所求。,,,,,a,b,a,b,,,,,c,,c,e,x,2.投影面平行線,,,,,,,,,b,a,1)正平線（投影面V的平行線AB）,投影特性：1.a"b"http://OZ，ab//OX；2.ab=AB；3.正面投影反映α、γ角的真實(shí)大小。,投影特性：1.ab//OX，a"b"http://OYw；2.ab=AB；即：水平投影反映線段實(shí)長(zhǎng)及β、γ角的真實(shí)大小。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a,a,b,a,b,b,,2)水平線（投影面H的平行線AB）,3)側(cè)平線（投影面W的平行線AB）,（小結(jié)）投影面平行線的投影特性：1.在直線所平行的投影面上的投影，反映線段實(shí)長(zhǎng)；它與投影軸的夾角，分別反映直線與另兩投影面夾角的真實(shí)大小。2.在另外兩個(gè)投影面上的投影，平行于相應(yīng)的投影軸，長(zhǎng)度縮短。,3.投影面垂直線,1)正垂線(投影面V的垂直線AB),,A,B,,,,,,b,a,,(b),a,,投影特性：1.a(b)積聚成一點(diǎn)2.ab⊥Ox；ab⊥Oz3.ab=ab=AB,z,x,yH,yH,o,(投影面H的垂直線AB),投影特性：1、ab積聚成一點(diǎn)2、ab⊥ox,ab⊥oyw3、ab=ab=AB,2)鉛垂線,(投影面W的垂直線AB),投影面垂直線的投影特性：1.在與直線垂直的投影面上的投影積聚成一點(diǎn)。2.在另外兩個(gè)投影面上的投影垂直于相應(yīng)的投影軸且反映線段實(shí)長(zhǎng)。,3)側(cè)垂線,,,,,,,,,,,z,,,,,,,,,z,1,,,,,z1,,,,,,z,,,,,o,x,a′,b′,a,b,k′,k,1,2,,例2側(cè)平線上的點(diǎn),已知AB的兩面投影及其上面的點(diǎn)K的正面投影，求點(diǎn)K的水平投影。,利用點(diǎn)在線上分割線段成定比，投影后不變的性質(zhì)作圖。,,,第三節(jié)一般位置線段的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)投影面的傾角,方法是：以線段在某一投影面上的投影長(zhǎng)為一直角邊，兩端點(diǎn)與這個(gè)投影面的距離差為另一直角邊形成的直角三角形。其斜邊是線段的實(shí)長(zhǎng)，斜邊與投影長(zhǎng)的夾角就是該直線與這個(gè)投影面的傾角。,,,,,,,,,,b,a,b,a,,b,a,,在正面投影上求線段實(shí)長(zhǎng)與傾角β,,,,在水平投影上求線段實(shí)長(zhǎng)與傾角α,在側(cè)面投影上求線段實(shí)長(zhǎng)與傾角γ,,,,,,實(shí)長(zhǎng),,實(shí)長(zhǎng),,實(shí)長(zhǎng),,,,,,,直角三角形法,Bo,直角三角形求線段實(shí)長(zhǎng)及其與投影面的傾角中的三個(gè)三角形,設(shè)所求線段為AB在三個(gè)直角三角形中，斜邊為線段實(shí)長(zhǎng)；一個(gè)直角邊為某投影長(zhǎng)，該投影與斜邊的夾角為該直線與投影面的夾角；夾角所對(duì)的邊為線段兩端點(diǎn)相應(yīng)的坐標(biāo)差。,,,,,β,,,,,,,,,,α,,AB線段實(shí)長(zhǎng),,,ΔZAB,,,ab的長(zhǎng),,γ,,,,,AB線段實(shí)長(zhǎng),,,ΔXAB,,,ab的長(zhǎng),,,,,,,,,β,,,,,,,β,,,,,,,β,,AB線段實(shí)長(zhǎng),ΔYAB,,,ab的長(zhǎng),,,例1已知線段的實(shí)長(zhǎng)AB，求它的水平投影。,a,,,,根據(jù)已知條件，要求得ab，其方法一是求得A、B兩點(diǎn)的Y坐標(biāo)差(ΔYAB)；方法二是求得ab的長(zhǎng)。此題有兩解(多解時(shí)一般只畫(huà)一解）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,b,,x,a,o,b,,,,,,,,,,,方法二已知線段的實(shí)長(zhǎng)AB，求它的水平投影。,a,,,此題有兩解,,b,,x,a,o,b,,,,,,,,,,解法二,,,方法三：求出ab的長(zhǎng),,,,,b,,x,a,o,b,,,,,,,x,a,b,,,,,B,,,,,,,a,,ΔZAB,,,1,2,以AB兩點(diǎn)的Z坐標(biāo)差為一直角邊的直角三角形中，另一直角邊為AB水平投影ab的長(zhǎng)。即：12=ab,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Δ,ZAB,,,,,,,例2已知直線AB的α=30求作AB的正面投影。,o,x,a,b,a′,b′,Δ,ZAB,30,1.分析要求得a′b′，其實(shí)就是求b′；要求得b′也就是想辦法找到A、B兩點(diǎn)的Z坐標(biāo)差或者求出a′b′的長(zhǎng)。,B0,2.作圖1）作ΔabB0,使∠α=30∠A的對(duì)邊為ΔZAB2）過(guò)a′作直線平行于Ox軸，與過(guò)b而垂直于ox軸的直線交于一點(diǎn)b03）以b0為圓心以ΔZAB為半徑畫(huà)圓弧，交bb0的延長(zhǎng)線于點(diǎn)b′4）用直線連接a′b′即為所求。,b0,,,o,x,,a,a,′,b,′,k,b,c,d,,,,,,,,,,,,,,,6,8,,,,,,2,0,,,,,d,′,c,′,,,,,,6,8,,,,,2,0,,,k′,例3已知CD∩AB=K，CD∥H，求CD的正面投影。,求k′同前。由于CD∥H所以c′d′∥ox軸。,同學(xué)們好！,第四節(jié)兩直線的相對(duì)位置,分析：1.已知AB∥CD,根據(jù)正投影圖的作圖法可知：(AaP∥BbP∥CcP∥DcP)⊥P面，則平面ABbPaP∥CDdPcP；2.兩個(gè)平行平面（ABbPaP與CDdPcP）與第三平面（P—可被看作是H、V、W面）相交，交線平行；3.綜上所述，我們可以得出：若空間兩直線平行那么他們的同面投影也對(duì)應(yīng)平行（如：ab∥cd、a′b′∥c′d′、a″b″∥c″d″）,一.兩平行直線,X,,,YH,X,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Z,YW,O,,,a′,b′,a,b,a″,b″,c,d,d′,c′,d″,c″,例1判斷兩直線是否平行,a,a,b,d,c,b,c,d,,,,,,,,o,x,方法一：看直線的方位：由投影圖可以看出ab、cd同向（均由后向前）；ab與cd反向（ab由上向下，cd由下向上）由此看出AB與CD不平行。,方法二：看比例：ab/cd≈1,ab/cd＜1,由此可知，AB不平行于CD。,例2如圖所示，判斷兩側(cè)平線的相對(duì)位置。,,,b,,,,,,,,,,,,,X,0,a,c,d,d,c,b,a,作輔助直線AD與BC的兩面投影,判斷：AD與BC是兩相交直線,則AB與CD共面.,只要證明AB與CD共面則有AB∥CD。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,X,0,a,b,c,c,b,a,b,c,d,c,,c,,c,a,b,c,b,,c,,,,,,a,a,b,c,b,c,d,,,YW,X,0,a,b,c,c,b,a,b,c,d,c,c,c,a,b,c,b,c,a,a,b,c,b,c,d,YW,X,0,a,b,c,c,a,b,c,d,c,c,c,a,b,c,c,a,a,b,c,c,d,YW,X,0,a,b,c,c,a,,c,d,c,a,b,c,a,a,b,d,c,d,YW,YH,a,Z,,方法三：求第三投影(三個(gè)投影都互相平行，則AB∥CD),方法四：看已知的二直線是否共面,,,,,,,,,,a,b,c,d,c?,a?,b?,d?,例3判斷圖中兩條直線是否平行。,由此可知：對(duì)于一般位置直線，只要有兩個(gè)同名投影互相平行，空間兩直線就平行。,即AB//CD,返回,,,∴a?b?:c?d?=ab:cd,∵a?b?∥c?d?,ab∥cd,△a?b?1?∽△1?c?d?;△ab1∽△1cd;,∴a?1?:1?d?=a1:1d,a?a∥1?1∥d?d,∴AB與CD共面,a?b?∥c?d?,ab∥cd,o,x,二、兩相交直線,因此，三對(duì)同面投影都相交，且交點(diǎn)符合點(diǎn)的三面投影特規(guī)律,Z,YH,a,b,,P,,,,,,,,,,,,A,B,C,D,E,ap,bp,cp,dp,e,,兩直線相交有且僅有一個(gè)交點(diǎn)（E）交點(diǎn)是相交兩直線的公有點(diǎn)（P面可以看作H、V、W面）,例1已知AB與CD相交，又知AB的兩面投影及CD的正面投影c?d?，且CD平行于V面。求CD的水平投影,,,,,,a?,b?,c?,d?,a,b,o,x,,,,k?,,,,,分析：∵AB∩CD=K∴K∈AB，K∈CD∴k∈ab，k∈cda?k?/k?b?=ak/kb又因?yàn)锳B平行于W面，所以cd//ox軸。用定比分點(diǎn)法求k。解：1.過(guò)a任作一條直線ae；2.在ae上截取a1=a?b?；a2=a?k?的長(zhǎng)度3.連接1b4.作2k∥1b,與ab交于點(diǎn)k5.過(guò)k作直線平行于ox軸6.過(guò)c?、d?作直線垂直于ox,交上述直線于點(diǎn)c、d,e,1,2,a?k?的長(zhǎng),,,,,,c,d,,三、交錯(cuò)直線,交錯(cuò)兩直線的投影既不符合平行兩直線的投影特性，也不符合相交兩直線的投影特性。,X,X,X,X,YH,X,X,X,X,,b,a,a,,,,,,,,e,e,,c,c,f,,,,b,a,a,,,,e,e,,c,c,f,,b,a,a,,,,e,e,,c,c,f,,,b,a,a,,,,e,,c,c,f,,b,a,a,,,,e,,c,c,f,,b,a,a,,,e,,c,c,f,,,b,a,a,,,e,,c,c,f,,b,a,a,,,e,,c,c,f,,b,a,a,,,e,,c,c,f,,b,a,a,,,c,c,,AB與CD交錯(cuò)，為什么他們?cè)赑面上的投影相交呢？因?yàn)橹本€AB上的點(diǎn)F和直線CD上的點(diǎn)E位于指向P面的同一條投射線上，所以點(diǎn)F、E在P面上的投影重合，點(diǎn)F的投影可見(jiàn)而點(diǎn)E的投影不可見(jiàn)。,,dp,bp,(f),,,,,,,,,,,,,A,B,D,,ap,F,E,fp,（ep）,P,S,cp,a,a,,,,,e,e,,f,,a,a,,,e,e,,f,,a,a,,,e,e,,f,,a,a,,,e,,f,,a,a,,,e,,f,,a,a,,,e,,f,,a,a,,,e,,f,,a,a,,,e,,f,,a,a,,,e,,f,,a,a,,,c,,AB與CD交錯(cuò)，為什么他們?cè)赑面上的投影相交呢？因?yàn)橹本€AB上的點(diǎn)F和直線CD上的點(diǎn)E位于指向P面的同一條投射線上，所以點(diǎn)F、E在P面上的投影重合，點(diǎn)F的投影可見(jiàn)，本題中點(diǎn)E、F是對(duì)V面的一對(duì)重影點(diǎn)；點(diǎn)E在前，所以點(diǎn)F的正面投影f不可見(jiàn)。,(f),C,,例1判斷兩直線的相對(duì)位置,,,,,,,,,d,,,a,,c,,b,,y,,,,解法1:作出側(cè)面投影,由三面投影可知,兩直線交錯(cuò),,例2判斷兩直線的相對(duì)位置(解法2),,,,,用點(diǎn)分割直線段之比，投影后保持不變的性質(zhì)判斷。由水平投影可判斷，點(diǎn)Ⅰ不屬于直線AB，故兩直線交錯(cuò)。,,,,,第五節(jié)直角投影定理,直角投影定理：互相垂直的兩直線，當(dāng)一邊為某投影面的平行線時(shí)，他們?cè)谠撏队懊嫔系耐队笆侵苯?。逆定理也是成立的?,,,,AB⊥BC，直角邊AB平行于投影面P(P面可以被看作是H、V、W面）,∵AB∥P，Bbp⊥P∴AB⊥Bbp又∵AB⊥BC，∴AB⊥Q，即AB⊥bpcp∵ab∥AB,∴ab⊥Q,即apbp⊥bpcp,,,,a,b,c,,,,X,0,a,c,b,P,直角投影定理：交錯(cuò)二直線,互相垂直的兩直線，當(dāng)一邊為某投影面的平行線時(shí)，他們?cè)谠撏队懊嫔系耐队笆侵苯恰?,例1作直線AB垂直于直線EF。,,,,1′,1,,,,,,例2作直線EF，使其垂直于直線AB和直線CD。,e′,e,f,,,,,,,,,b,′,o,x,a,b,k,1,,,,,,a,′,,,,k,′,,,,,,,Y,K,Ⅰ,,1,′,,,,,,,Y,K,Ⅰ,,,例3求點(diǎn)K到直線AB的距離（投影和實(shí)長(zhǎng)）。,分析1.∵ab∥ox,∴AB∥V則有k′1′⊥a′b′2.用直角三角形法求出K1的實(shí)長(zhǎng)便得解。,,,,,,,例4作三角形ABC，∠ABC為直角，使BC在MN上，且BC:AB=2:3。,,,m,x,,m,n,,,,o,n,,MN平行于投影面V，BC在MN上，直角邊BC平行于投影面V，又因?yàn)椤螦BC=90，所以有：bc=BC,ab⊥bc,用直角三角形法求線段AB實(shí)長(zhǎng),|YA-B|,,,,,,,,,AB,,,ab,,,,,bc的長(zhǎng),2份,3份,例5過(guò)點(diǎn)A作等邊三角形ABC，使B、C兩點(diǎn)屬于直線KM。,d,′,,A,D,實(shí),長(zhǎng),,,o,x,,,,,,,,,,,,,,,d,,,,,,,邊,實(shí),長(zhǎng),,,,,,,2,2,.,1,,,,,,2,2,.,1,,,,,,,,3,0,,k,′,,b,′,,,,,a,b,,a,′,c′,,,,m,m,,k,c,,,Y,AD,,Y,A,D,,,,分析：1.∵KM∥V面∴c′b′=BCa′d′⊥k′m′2.只要求得過(guò)頂點(diǎn)A的高，則ΔABC可作出；也就是說(shuō)ΔABC的邊長(zhǎng)就求出來(lái)了，即求得了c′b′,,,,,,,,o,b,a,′,b,′,,,,,,,,,7,5,,e,e,′,,,,,,7,5,,,,,,,a,b,的,長(zhǎng),,,c,′,c,,,,,a,例6作等腰直角ΔABC,使AC=AB，C點(diǎn)在AE上。,,,x,