（浙江專版）2019年高考數學一輪復習 專題3.2 導數的運算（講）.doc

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第02節(jié) 導數的運算 【考綱解讀】 考 點 考綱內容 5年統(tǒng)計 分析預測 導數的運算 會用基本初等函數的導數公式表和導數的四則運算法則求函數的導數，并能求簡單的復合函數的導數（限于形如)的導數）. 2013浙江理科8,22；文科8，21； 2014浙江理科22；文科21； 2017浙江卷7,20； 2018浙江卷22. 1.導數的運算將依然以工具的形式考查； 2.單獨考查導數的運算題目極少.對導數的運算的考查，主要通過考查導數的幾何意義、導數的應用來體現， 3.備考重點： 熟練掌握基本初等函數的導數公式及導數的四則運算法則. 【知識清單】 基本初等函數的導數公式及導數的運算法則 1. 基本初等函數的導數公式 原函數 導函數 f(x)＝c(c為常數) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cosx f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx f(x)＝ax f′(x)＝axlna f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 2．導數的運算法則 （1） [f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)； （2） [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； （3）(g(x)≠0)． (4) 復合函數的導數 復合函數y＝f(g(x))的導數和函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為yx′＝y(tǒng)u′ux′，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積． 【重點難點突破】 考點1 運用導數公式進行計算 【1-1】求下列函數的導數. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）； （5） 【解析】(1)方法一：由題可以先展開解析式然后再求導： ∴. 方法二：由題可以利用乘積的求導法則進行求導： =. (2)根據題意把函數的解析式整理變形可得： (5)設μ=3-2x，則y=(3-2x)5是由y=μ5與μ=3-2x復合而成，所以y′=f′μμ′x=(μ5)′(3-2x)′=5μ4(-2)=-10μ4= 【領悟技法】 1.求函數導數的一般原則如下： (1)遇到連乘積的形式，先展開化為多項式形式，再求導； (2)遇到根式形式，先化為分數指數冪，再求導； (3)遇到復雜分式，先將分式化簡，再求導. 2.復合函數的求導方法 求復合函數的導數，一般是運用復合函數的求導法則，將問題轉化為求基本函數的導數解決. ①分析清楚復合函數的復合關系是由哪些基本函數復合而成的，適當選定中間變量； ②分步計算中的每一步都要明確是對哪個變量求導，而其中特別要注意的是中間變量； ③根據基本函數的導數公式及導數的運算法則，求出各函數的導數，并把中間變量轉換成自變量的函數； ④復合函數的求導熟練以后，中間步驟可以省略，不必再寫出函數的復合過程. 【觸類旁通】 【變式一】求下列函數的導數： (1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (2)y＝3xex－2x＋e； 【答案】(1) 3x2＋12x＋11.(2) (ln3＋1)(3e)x－2xln2. 【解析】 (1)解法一：∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11. 解法二：y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝3x2＋12x＋11. (2) y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′ ＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′ ＝3xexln3＋3xex－2xln2 ＝(ln3＋1)(3e)x－2xln2. 考點2 導數運算的靈活應用 【2-1】【2018年天津卷文】已知函數f(x)=exlnx，為f(x)的導函數，則的值為__________． 【答案】e 【2-2】【2018屆陜西省咸陽市三?！恳阎魏瘮档膱D象如圖所示，則__________． 【答案】1. 【解析】分析：三次函數的導函數是二次函數，圖形說明二次函數的零點為－1和2，根據二次函數的性質可得. 詳解：，由的圖象知 ， ∴，， ∴， 故答案為1. 【2-3】已知函數的導函數為，且滿足，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ∵，∴．令,得,解得，-1．故選B． 【2-4】數列為等比數列，其中，，為函數的導函數，則＝ A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】，則；；則. 【領悟技法】 (1)求導之前，應利用代數、三角恒等式等變形對函數進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；遇到函數的商的形式時，如能化簡則化簡，這樣可避免使用商的求導法則，減少運算量． (2)復合函數求導時，先確定復合關系，由外向內逐層求導，必要時可換元. 【觸類旁通】 【變式一】已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的導函數，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，則f2 017(x)等于(　　) A.－sin x－cos x B.sin x－cos x C.－sin x＋cos x D.sin x＋cos x 【答案】D 【變式二】【2018年高考二輪專題復習】設函數f(x)的導數為f′(x)，且f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(2)＝(　　) A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】因為，所以，令得，解得，所以，故選A. 【變式三】已知函數為的導函數，則 （ ） A．0 B．2014 C．2015 D．8 【答案】D 【解析】 因為，所以， 則為奇函數，且為偶函數，所以 ；故選D． 【變式四】【2018屆北京市人大附中十月月考】已知函數則的值為________. 【答案】1 【易錯試題常警惕】 易錯典例1： (1)若函數f(x)＝2x3＋a2，則f′(x)＝________． (2)函數y＝的導函數為________． 易錯分析：f′(x)＝6x2＋2a.沒弄清函數中的變量是x，而a只是一個字母常量，其導數為0. 正確解析：(1)6x2??； (2)y′＝＝. 溫馨提醒：對函數求導，一般要遵循先化簡再求導的基本原則．求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用，在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤. 【學科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 ————近似與精確、有限與無限——無限逼近的極限思想 1.由可以知道，函數的導數是函數的瞬時變化率，函數的瞬時變化率是平均變化率的極限，充分說明極限是人們從近似中認識精確的數學方法.極限的實質就是無限近似的量，向著有限的目標無限逼近而產生量變導致質變的結果，這是極限的實質與精髓，也是導數的思想及其內涵. 2.曲線的切線定義，充分體現了運動變化及無限逼近的思想：“兩個不同的公共點→兩公共點無限接近→兩公共點重合(切點)”“割線→切線”. (1)在求曲線的切線方程時，注意兩個“說法”：求曲線在點P處的切線方程和求曲線過點P的切線方程，在點P處的切線，一定是以點P為切點，過點P的切線，不論點P在不在曲線上，點P不一定是切點． 【典例】已知函數. （Ⅰ）求函數在點處的切線方程； （Ⅱ）求過點的函數的切線方程. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或 【解析】 試題解析：（Ⅰ）∵ ∴在點處的切線的斜率 ∴函數在點處的切線方程為即 （Ⅱ）設函數與過點的切線相切于點，則切線的斜率 ∴切線方程為，即 ∵點在切線上 ∴即 ∴，解得或 ∴所求的切線方程為或.