2019屆高考數學全冊精準培優(yōu)專練(打包20套)理.zip
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培優(yōu)點五 導數的應用
1.利用導數判斷單調性
例1:求函數的單調區(qū)間
【答案】見解析
【解析】第一步:先確定定義域,定義域為,
第二步:求導:
,
第三步:令,即,
第四步:處理恒正恒負的因式,可得,
第五步:求解,列出表格
2.函數的極值
例2:求函數的極值.
【答案】的極大值為,無極小值
【解析】
令解得:,的單調區(qū)間為:
的極大值為,無極小值.
3.利用導數判斷函數的最值
例3:已知函數在區(qū)間上取得最小值4,則___________.
【答案】
【解析】思路一:函數的定義域為,.
當時,,
當時,,為增函數,所以,,矛盾舍去;
當時,若,,為減函數,若,,為增函數,
所以為極小值,也是最小值;
①當,即時,在上單調遞增,所以,
所以(矛盾);
②當,即時,在上單調遞減,,
所以;
③當,即時,在上的最小值為,
此時(矛盾).
綜上.
思路二:,令導數,考慮最小值點只有可能在邊界點與極值點處取得,因此可假設,,分別為函數的最小值點,求出后再檢驗即可.
對點增分集訓
一、單選題
1.函數的單調遞減區(qū)間為( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函數的導數為,令,得,
∴結合函數的定義域,得當時,函數為單調減函數.
因此,函數的單調遞減區(qū)間是.故選A.
2.若是函數的極值點,則( )
A.有極大值 B.有極小值
C.有極大值0 D.有極小值0
【答案】A
【解析】因為是函數的極值點,所以,,,.當時,;當時,,因此有極大值,故選A.
3.已知函數在上單調遞減,且在區(qū)間上既有最大值,又有最小值,則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因為函數在上單調遞減,
所以對于一切恒成立,得,,
又因為在區(qū)間上既有最大值,又有最小值,
所以,可知在上有零點,
也就是極值點,即有解,在上解得,
可得,,故選C.
4.函數是上的單調函數,則的范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若函數是上的單調函數,只需恒成立,
即,.故選C.
5.遇見你的那一刻,我的心電圖就如函數的圖象大致為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由,其定義域為,即,,
則函數為奇函數,故排除C、D,
,則函數在定義域內單調遞減,排除B,故選A.
6.函數在內存在極值點,則( )
A. B.
C.或 D.或
【答案】A
【解析】若函數在無極值點,則或在恒成立.
①當在恒成立時,時,,得;時,,得;
②當在恒成立時,則且,得;
綜上,無極值時或.∴在在存在極值.故選A.
7.已知,,若函數在區(qū)間上單調遞減,則實數的取值范圍是( )
A.或 B.或 C.或 D.或
【答案】D
【解析】因為,函數在區(qū)間上單調遞減,
所以在區(qū)間上恒成立,
只需,即解得或,故選D.
8.函數在定義域內可導,其圖像如圖所示.記的導函數為,則不等式的解集為( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由圖象知和上遞減,因此的解集為.
故選A.
9.設函數,則( )
A.在區(qū)間,內均有零點
B.在區(qū)間,內均無零點
C.在區(qū)間內有零點,在區(qū)間內無零點
D.在區(qū)間內無零點,在區(qū)間內有零點
【答案】D
【解析】的定義域為,在單調遞減,單調遞增,,
當在區(qū)間上時,在其上單調,,,故在區(qū)間上無零點,
當在區(qū)間上時,在其上單調,,,故在區(qū)間上有零點.
故選D.
10.若函數既有極大值又有極小值,則實數的取值范圍為( )
A. B. C.或 D.或
【答案】D
【解析】,,
函數既有極大值又有極小值,
有兩個不等的實數根,
,,則或,故選D.
11.已知函數的兩個極值點分別在與內,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由函數,求導,
的兩個極值點分別在區(qū)間與內,由的兩個根分別在區(qū)間與內,,
令,轉化為在約束條件為時,求的取值范圍,
可行域如下陰影(不包括邊界),
目標函數轉化為,由圖可知,在處取得最大值,在處取得最小值,可行域不包含邊界,的取值范圍.本題選擇A選項.
12.設函數在區(qū)間上的導函數為,在區(qū)間上的導函數為,若在區(qū)間
上,則稱函數在區(qū)間上為“凹函數”,已知在區(qū)間上為“凹函數”,則實數的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵,∴,∴,
∵函數在區(qū)間上為“凹函數”∴,
∴在上恒成立,即在上恒成立.
∵在上為單調增函數,∴,∴,
故選D.
二、填空題
13.函數在區(qū)間上的最大值是___________.
【答案】8
【解析】,已知,
當或時,,在該區(qū)間是增函數,
當時,,在該區(qū)間是減函數,
故函數在處取極大值,,又,故的最大值是8.
14.若函數在,上都是單調增函數,則實數的取值集合是______.
【答案】
【解析】,,
函數在,上都是單調增函數,
則,即,解得,,即,解得,
則實數的取值集合是,故答案為.
15.函數在內不存在極值點,則的取值范圍是___________.
【答案】或
【解析】函數在內不存在極值點在內單調函數或在內恒成立,
由在內恒成立,,即,
同理可得,故答案為或.
16.已知函數,
① 當時,有最大值;
② 對于任意的,函數是上的增函數;
③ 對于任意的,函數一定存在最小值;
④ 對于任意的,都有.
其中正確結論的序號是_________.(寫出所有正確結論的序號)
【答案】②③
【解析】由函數的解析式可得:,當時,,,單調遞增,且,
據此可知當時,,單調遞增,函數沒有最大值,說法①錯誤;
當時,函數,均為單調遞增函數,則函數是上的增函數,說法②正確;
當時,單調遞增,且,
且當,據此可知存在,
在區(qū)間上,,單調遞減;
在區(qū)間上,,單調遞增;
函數在處取得最小值,說法③正確;
當時,,
由于,故,,說法④錯誤;
綜上可得:正確結論的序號是②③.
三、解答題
17.已知函數
(1)討論函數在上的單調性;
(2)證明:恒成立.
【答案】(1)當時,在上單調遞增;當時,在上單調遞增,
在上單調遞減;(2)見解析.
【解析】(1),
當時,恒成立,所以,在上單調遞增;
當時,令,得到,所以,當時,,單調遞增,當時,,單調遞減.
綜上所述,當時,在上單調遞增;當時,在上單調遞增,在上單調遞減.
(2)證法一:由(1)可知,當時,,
特別地,取,有,即,所以(當且僅當時等號成立),
因此,要證恒成立,只要證明在上恒成立即可,
設 ,則,
當時,,單調遞減,
當時,,單調遞增.
所以,當時,,即在上恒成立.
因此,有,又因為兩個等號不能同時成立,所以有恒成立.
證法二:記函數,則,
可知在上單調遞增,又由,知,在上有唯一實根,
且,則,即(*),
當時,,單調遞減;當時,,單調遞增,
所以,結合(*)式,知,
所以,
則,即,所以有恒成立.
18.已知函數,其導函數為.
(1)當時,若函數在上有且只有一個零點,求實數的取值范圍;
(2)設,點是曲線上的一個定點,是否存在實數使得成立?并證明你的結論.
【答案】(1)或;(2)不存在,見解析.
【解析】(1)當時,,,,,
由題意得,即,
令,則,解得,
當時,,單調遞減;當時,,單調遞增,
,
當時,,當時,,
則或時,在上有且只有一個零點.
(2)由,得,
假設存在,則有,
即,
,
,
,
即,,,
令,則,
兩邊同時除以,得,即,
令,,
令在上單調遞增,且,
對于恒成立,即對于恒成立,
在上單調遞增,,
對于恒成立,不成立,
同理,時,也不成立,
不存在實數使得成立.
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