2019屆高考數(shù)學全冊精準培優(yōu)專練(打包20套)理.zip
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培優(yōu)點十二 數(shù)列求和
1.錯位相減法
例1:已知是等差數(shù)列,其前項和為,是等比數(shù)列,且,,
.
(1)求數(shù)列與的通項公式;
(2)記,,求證:.
【答案】(1),;(2)見解析.
【解析】(1)設的公差為,的公比為,
則,,
即,解得:,
,.
(2),①
,②
得
,
∴所證恒等式左邊,右邊,
即左邊右邊,所以不等式得證.
2.裂項相消法
例2:設數(shù)列,其前項和,為單調遞增的等比數(shù)列,, .
(1)求數(shù)列,的通項公式;
(2)若,求數(shù)列的前項和.
【答案】(1),;(2).
【解析】(1)時,,
當時,符合上式,,
∵為等比數(shù)列,,
設的公比為,則,而,
,解得或,
∵單調遞增,,.
(2),
.
對點增分集訓
一、單選題
1.已知等差數(shù)列中,,,則項數(shù)為( )
A.10 B.14 C.15 D.17
【答案】C
【解析】∵,∴,
∴,,故選C.
2.在等差數(shù)列中,滿足,且,是前項的和,若取得最大值,則( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】C
【解析】設等差數(shù)列首項為,公差為,
由題意可知,,,
二次函數(shù)的對稱軸為,開口向下,
又∵,∴當時,取最大值.故選C.
3.對于函數(shù),部分與的對應關系如下表:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3
7
5
9
6
1
8
2
4
數(shù)列滿足:,且對于任意,點都在函數(shù)的圖象上,則( )
A.7554 B.7549 C.7546 D.7539
【答案】A
【解析】由題意可知:,,,,,
點都在函數(shù)的圖象上,則,,,,,
則數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列,
由于,且,
故.故選A.
4.設等差數(shù)列的前項和,,,若數(shù)列的前項和為,則( )
A.8 B.9 C.10 D.11
【答案】C
【解析】為等差數(shù)列的前項和,設公差為,,,
則,解得,則.
由于,則,
解得.故答案為10.故選C.
5.在等差數(shù)列中,其前項和是,若,,則在,,,中最大的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由于,,
∴可得,,
這樣,,,,,,,而,,
∴在,,,中最大的是.故選C.
6.設數(shù)列的前項和為,則對任意正整數(shù),( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵數(shù)列是首項與公比均為的等比數(shù)列.
∴其前項和為.故選D.
7.已知數(shù)列滿足,,,,若恒成立,則的最小值為( )
A.0 B.1 C.2 D.
【答案】D
【解析】由題意知,,由,
得,
∴,
∴恒成立,,故最小值為,故選D.
8.數(shù)列的前項和為,若,則( )
A.2018 B.1009 C.2019 D.1010
【答案】B
【解析】由題意,數(shù)列滿足,
∴
,故選B.
9.已知數(shù)列中,,則等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】設,
由,解得,
令,故.故選A.
10.已知函數(shù),且,則( )
A.20100 B.20500 C.40100 D.10050
【答案】A
【解析】,當為偶數(shù)時,,
當為奇數(shù)時,,
故
.故選A.
11.已知數(shù)列滿足:,,,則的整數(shù)部分為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】
,
∴原式,
當時,,
∴整數(shù)部分為1,故選B.
12.對于任意實數(shù),符號表示不超過的最大整數(shù),例如,,.已知數(shù)列滿足,其前項和為,若是滿足的最小整數(shù),則的值為( )
A.305 B.306 C.315 D.316
【答案】D
【解析】由題意,,當時,可得,(1項)
當時,可得,(2項)
當時,可得,(4項)
當時,可得,(8項)
當時,可得,(16項)
當時,可得,(項)
則前項和為,
,
兩式相減得,
∴,此時,
當時,對應的項為,即,故選D.
二、填空題
13.已知數(shù)列滿足,記為的前項和,則__________.
【答案】440
【解析】由可得:
當時,有, ①
當時,有, ②
當時,有, ③
有,有,
則
.
故答案為440.
14.表示不超過的最大整數(shù).若,
,
,
,則__________.
【答案】,
【解析】第一個等式,起始數(shù)為1,項數(shù)為,,
第二個等式,起始數(shù)為2,項數(shù)為,,
第三個等式,起始數(shù)為3,項數(shù)為,,
第個等式,起始數(shù)為,項數(shù)為,,,
故答案為,.
15.已知函數(shù),則________;
【答案】2018
【解析】∵
,
設, ①
則, ②
得,
∴.故答案為2018.
16.定義為個正整數(shù),,,的“均倒數(shù)”,若已知數(shù)列的前
項的“均倒數(shù)”為,又,則_________;
【答案】
【解析】∵數(shù)列的前項的“均倒數(shù)”為,
∴,解得,∴,
當時,,
當時,上式成立,則,
∴,,
則.
故答案為.
三、解答題
17.正項等差數(shù)列中,已知,,且,,構成等比數(shù)列的前三項.
(1)求數(shù)列,的通項公式;
(2)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1),;(2).
【解析】(1)設等差數(shù)列的公差為,則由已知得:,即,
又,解得或(舍去),,
∴,
又,,∴,∴;
(2)∵,
,
兩式相減得,
則.
18.已知為數(shù)列的前項和,且,,,.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若對,,求數(shù)列的前項的和.
【答案】(1);(2).
【解析】(1),,
當時,,化為,
∵,∴,
當時,,且,解得.
∴數(shù)列是等差數(shù)列,首項為1,公差為3.∴;
(2).
∴,
∴的前項的和.
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