2019屆高考數(shù)學全冊精準培優(yōu)專練(打包20套)理.zip
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培優(yōu)點十九 圓錐曲線綜合
1.直線過定點
例1:已知中心在原點,焦點在軸上的橢圓的離心率為,過左焦點且垂直于軸的直線交橢圓于,兩點,且.
(1)求的方程;
(2)若直線是圓上的點處的切線,點是直線上任一點,過點作橢圓的切線,,切點分別為,,設切線的斜率都存在.求證:直線過定點,并求出該定點的坐標.
【答案】(1);(2)證明見解析,.
【解析】(1)由已知,設橢圓的方程為,
因為,不妨設點,代入橢圓方程得,
又因為,所以,,所以,,
所以的方程為.
(2)依題設,得直線的方程為,即,
設,,,
由切線的斜率存在,設其方程為,
聯(lián)立得,,
由相切得,
化簡得,即,
因為方程只有一解,所以,所以切線的方程為,
即,同理,切線的方程為,
又因為兩切線都經(jīng)過點,所以,所以直線的方程為,
又,所以直線的方程可化為,
即,令,得,
所以直線恒過定點.
2.面積問題
例2:已知橢圓的左、右焦點分別為、,焦距為4,直線與橢圓相交于、兩點,關于直線的對稱點在橢圓上.斜率為的直線與線段相交于點,與橢圓相交于、兩點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)求四邊形面積的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)由橢圓焦距為4,設,,連結,設,
則,又,得,,
,
解得,,所以橢圓方程為.
(2)設直線方程:,、,
由,得,所以,
由(1)知直線:,代入橢圓得,,得,由直線與線段相交于點,得,
,
而與,知,,
由,得,所以,
四邊形面積的取值范圍.
3.參數(shù)的值與范圍
例3:已知拋物線的焦點,點在拋物線上,過焦點的直線交拋物線于,兩點.
(1)求拋物線的方程以及的值;
(2)記拋物線的準線與軸交于點,若,,求的值.
【答案】(1),;(2).
【解析】(1)拋物線的焦點,
,則,拋物線方程為;
點在拋物線上,.
(2)依題意,,設,設、,
聯(lián)立方程,消去,得.
所以 ①,且,
又,則,即,
代入①得,消去得,
,則,,
則
,
當,解得,故.
4.弦長類問題
例4:已知橢圓的左右頂點是雙曲線的頂點,且橢圓的上頂點到雙曲線的漸近線的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與相交于,兩點,與相交于,兩點,且,求的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)由題意可知:,又橢圓的上頂點為,
雙曲線的漸近線為:,
由點到直線的距離公式有:,∴橢圓方程.
(2)易知直線l的斜率存在,設直線l的方程為,代入,消去并整理得:
,
要與相交于兩點,則應有:,
設,,
則有:,.
又.
又:,所以有:,
,②
將,代入,消去并整理得:,
要有兩交點,則.③
由①②③有.
設、.有,,
.
將代入有.
,令,,
令,.
所以在內(nèi)恒成立,故函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,
故.
5.存在性問題
例5:已知橢圓的左、右焦點分別為,,點在橢圓上.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)是否存在斜率為2的直線,使得當直線與橢圓有兩個不同交點,時,能在直線上找到一點,在橢圓上找到一點,滿足?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
【答案】(1);(2)不存在,見解析.
【解析】(1)設橢圓的焦距為,則,
∵在橢圓上,∴,
∴,,故橢圓的方程為.
(2)假設這樣的直線存在,設直線的方程為,
設,,,,的中點為,
由,消去,得,
∴,且,故且,
由,知四邊形為平行四邊形,
而為線段的中點,因此為線段的中點,
∴,得,
又,可得,∴點不在橢圓上,
故不存在滿足題意的直線.
對點增分集訓
一、解答題
1.已知動圓過點并且與圓相外切,動圓圓心的軌跡為.
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)過點的直線與軌跡交于、兩點,設直線,設點,直線交于,求證:直線經(jīng)過定點.
【答案】(1);(2)見解析.
【解析】(1)由已知,,
軌跡為雙曲線的右支,,,,
曲線標準方程.
(2)由對稱性可知,直線必過軸的定點,
當直線的斜率不存在時,,,,知直線經(jīng)過點,
當直線的斜率存在時,不妨設直線,,,
直線,當時,,,
得,,,
下面證明直線經(jīng)過點,即證,即,
即,由,,
整理得,,即
即證經(jīng)過點,直線過定點.
2.已知點在橢圓上,設,分別為橢圓的左頂點、下頂點,原點到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設為橢圓在第一象限內(nèi)一點,直線,分別交軸、軸于,兩點,求四邊形的面積.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)因為橢圓經(jīng)過點,有,
由等面積法,可得原點到直線的距離為,
聯(lián)立兩方程解得,,所以橢圓的方程為.
(2)設點,則,即.
直線,令,得.
從而有,同理,可得.
所以四邊形的面積為
.
所以四邊形的面積為.
3.已知點為圓的圓心,是圓上的動點,點在圓的半徑上,且有點和上的點,滿足,.
(1)當點在圓上運動時,判斷點的軌跡是什么?并求出其方程;
(2)若斜率為的直線與圓相切,與(1)中所求點的軌跡交于不同的兩點,,且(其中是坐標原點),求的取值范圍.
【答案】(1)是以點,為焦點,焦距為2,長軸長為的橢圓,;(2).
【解析】(1)由題意是線段的垂直平分線,
所以,
所以點的軌跡是以點,為焦點,焦距為2,長軸長為的橢圓,
∴,,,
故點的軌跡方程是.
(2)設直線:,,,
直線與圓相切,得,即,
聯(lián)立,消去得:,
,得,
,,
∴
,
所以,得,
∴,解得或,
故所求范圍為.
4.已知橢圓的焦距為,離心率為,圓,,是橢圓的左右頂點,是圓的任意一條直徑,面積的最大值為2.
(1)求橢圓及圓的方程;
(2)若為圓的任意一條切線,與橢圓交于兩點,,求的取值范圍.
【答案】(1),;(2).
【解析】(1)設點到軸距離為,則,易知當線段在軸時,,,
,,,,,
所以橢圓方程為,圓的方程為.
(2)當直線的斜率不存在時,直線的方程為,此時;
設直線方程為:,直線為圓的切線,,,
直線與橢圓聯(lián)立,,得,
判別式,由韋達定理得:,
所以弦長,令,
所以;
綜上,,
5.如圖,己知、是橢圓的左、右焦點,直線經(jīng)過左焦點,且與橢圓交,兩點,的周長為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)是否存在直線,使得為等腰直角三角形?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)不存在,見解析.
【解析】(1)設橢圓的半焦距為,因為直線與軸的交點為,故.
又的周長為,即,故,所以,.
因此,橢圓的標準方程為.
(2)不存在.理由如下:
先用反證法證明不可能為底邊,即.
由題意知,設,,假設,則,
又,,代入上式,消去,得:.
因為直線斜率存在,所以直線不垂直于軸,所以,故.
(與,,矛盾)
聯(lián)立方程,得:,所以矛盾.
故.
再證明不可能為等腰直角三角形的直角腰.
假設為等腰直角三角形,不妨設為直角頂點.
設,則,在中,由勾股定理得:,此方程無解.故不存在這樣的等腰直角三角形.
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