2019屆高考數(shù)學(xué)全冊(cè)精準(zhǔn)培優(yōu)專練(打包20套)理.zip
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培優(yōu)點(diǎn)十六 利用空間向量求夾角
1.利用面面垂直建系
例1:在如圖所示的多面體中,平面平面,四邊形為邊長為2的菱形,
為直角梯形,四邊形為平行四邊形,且,,.
(1)若,分別為,的中點(diǎn),求證:平面;
(2)若,與平面所成角的正弦值為,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】(1)連接,∵四邊形為菱形,∴.
∵平面平面,平面平面,平面,,
∴平面.又平面,∴.
∵,∴.∵,∴平面.
∵分別為,的中點(diǎn),∴,∴平面.
(2)設(shè),由(1)得平面,
由,,得,.
過點(diǎn)作,與的延長線交于點(diǎn),取的中點(diǎn),連接,,
如圖所示,
又,∴為等邊三角形,∴,
又平面平面,平面平面,平面,
故平面.
∵為平行四邊形,∴,∴平面.
又∵,∴平面.
∵,∴平面平面.
由(1),得平面,∴平面,∴.
∵,∴平面,∴是與平面所成角.
∵,,∴平面,平面,∵,
∴平面平面.
∴,,解得.
在梯形中,易證,
分別以,,的正方向?yàn)檩S,軸,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
則,,,,,,
由,及,得,
∴,,.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由得,
令,得
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由得,
令,得.∴,
又∵二面角是鈍角,∴二面角的余弦值是.
2.線段上的動(dòng)點(diǎn)問題
例2:如圖,在中,,,,沿將翻折到的位置,
使平面平面.
(1)求證:平面;
(2)若在線段上有一點(diǎn)滿足,且二面角的大小為,
求的值.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】(1)中,由余弦定理,可得.∴,
∴,∴.作于點(diǎn),
∵平面平面,平面平面,∴平面.
∵平面,∴.
又∵,,∴平面.
又∵平面,∴.
又,,∴平面.
(2)由(1)知,,兩兩垂直,以為原點(diǎn),以方向?yàn)檩S正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
則,,.設(shè),
則由,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則由,
取.平面的一個(gè)法向量可取,
∴.
∵,∴.
3.翻折類問題
例3:如圖1,在邊長為2的正方形中,為中點(diǎn),分別將,沿,所在直線折疊,使點(diǎn)與點(diǎn)重合于點(diǎn),如圖2.在三棱錐中,為中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)求直線與平面所成角的正弦值;
(3)求二面角的大小.
【答案】(1)見解析;(2);(3).
【解析】(1)在正方形中,為中點(diǎn),,,
∴在三棱錐中,,.
∵,∴平面.
∵平面,∴.
(2)取中點(diǎn),連接,取中點(diǎn),連接.
過點(diǎn)作的平行線.
∵平面,∴,.
∵,為的中點(diǎn),∴.∴.
如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系.
,,,.
∵,為的中點(diǎn),∴.
∵平面,平面,∴平面平面.
∵平面平面,平面,
∴平面.∵.
∴平面的法向量..
設(shè)直線與平面所成角為,則.
∴直線與平面所成角的正弦值為.
(3)由(2)知,,.
設(shè)平面的法向量為,則有即,
令,則,.即.∴.
由題知二面角為銳角,∴它的大小為.
對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)
一、單選題
1.如圖,在所有棱長均為的直三棱柱中,,分別為,的中點(diǎn),則異面直線,所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)的中點(diǎn),以,,為,,軸建立坐標(biāo)系,
則,,,,
則,,
設(shè)與成的角為,則,故選C.
2.在三棱柱中,底面是邊長為1的正三角形,側(cè)棱底面,點(diǎn)在棱上,
且,若與平面所成的角為,則的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,易求點(diǎn).
平面的一個(gè)法向量是,∴,則.故選D.
3.如圖,圓錐的底面直徑,高,為底面圓周上的一點(diǎn),,則空間中兩條直線與所成的角為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】取中點(diǎn),以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
如圖所示,
∵圓錐的底面直徑,高,為底面圓周上的一點(diǎn),,
∴可得,,,,
則,,
設(shè)空間兩條直線與所成的角為,∴,
∴,即直線與所成的角為,故選B.
4.已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形,,平面平面,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),則直線與平面所成角的正弦值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由題可知,,,,
則,,
∵是的中點(diǎn),∴,
設(shè)平面的法向量,直線與平面所成角為,
則可取,,故選D.
5.如圖,在直三棱柱中,,,點(diǎn)與分別是和的中點(diǎn),點(diǎn)與分別是和上的動(dòng)點(diǎn).若,則線段長度的最小值為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,
則,,
由于,∴,∴,
故,
∴當(dāng)時(shí),線段長度取得最小值,且最小值為.故選A.
6.如圖,點(diǎn)分別在空間直角坐標(biāo)系的三條坐標(biāo)軸上,,平面的法向量為,設(shè)二面角的大小為,則( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意可知,平面的一個(gè)法向量為:,
由空間向量的結(jié)論可得:.故選C.
7.如圖所示,五面體中,正的邊長為1,平面,,且.
設(shè)與平面所成的角為,,若,則當(dāng)取最大值時(shí),平面與平面所成角的正切值為( )
A. B.1 C. D.
【答案】C
【解析】如圖所示,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,
取的中點(diǎn),則,則平面的一個(gè)法向量為,
由題意,
又由,∴,解得,∴的最大值為,
當(dāng)時(shí),設(shè)平面的法向量為,
則,
取,由平面的法向量為,
設(shè)平面和平面所成的角為,
則,∴,∴,故選C.
8.已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等,在底面內(nèi)的射影為的中心,
則與底面所成角的正弦值等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如圖,設(shè)在平面內(nèi)的射影為,以為坐標(biāo)原點(diǎn),、分別為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.
設(shè)邊長為1,則,,
∴.又平面的法向量為.
設(shè)與底面所成角為,則.
故直線與底面所成角的正弦值為.故選B.
9.如圖,四棱錐中,平面,底面為直角梯形,,,,點(diǎn)在棱上,且,則平面與平面的夾角的余弦值為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn),以、、所在直線為、、軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,∴,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,
取,得,平面的法向量為,
∴.∴平面與平面的夾角的余弦值為.故選B.
10.在正方體中,直線與平面所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分別以,,為,,軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系:
設(shè)正方體的棱長為1,可得,,,,
∴,,,
設(shè)是平面的一個(gè)法向量,∴,即,
取,得,∴平面的一個(gè)法向量為,
設(shè)直線與平面所成角為,∴;
∴,即直線與平面所成角的余弦值是.故選C.
11.已知四邊形,,,現(xiàn)將沿折起,使二面角
的大小在內(nèi),則直線與所成角的余弦值取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】取中點(diǎn),連結(jié),,
∵.,∴,,且,,
∴是二面角的平面角,
以為原點(diǎn),為軸,為軸,
過點(diǎn)作平面的垂線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
,,,
設(shè)二面角的平面角為,則,
連、,則,,
∴,,
設(shè)、的夾角為,則,
∵,∴,
故,∴.故選A.
12.正方體中,點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)(包括端點(diǎn)),則與AD1所成角的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】以點(diǎn)為原點(diǎn),、、所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長為1,點(diǎn)坐標(biāo)為,
則,,
設(shè)、的夾角為,
則,
∴當(dāng)時(shí),取最大值,.
當(dāng)時(shí),取最小值,.
∵,∴與所成角的取值范圍是.故選D.
二、填空題
13.如圖,在直三棱柱中,,,是的中點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值為________.
【答案】
【解析】在直三棱柱中,,,是的中點(diǎn),∴,.
以為原點(diǎn),為軸,為軸,過作的垂線為軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,
∴,,
設(shè)異面直線與所成角為,則.
∴異面直線與所成角的余弦值為.
14.已知四棱錐的底面是菱形,,平面,且,點(diǎn)是棱的中點(diǎn),在棱上,若,則直線與平面所成角的正弦值為__________.
【答案】
【解析】以點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)菱形的邊長為2,
則, ,,∴,
平面的一個(gè)法向量為,
則,
即直線與平面所成角的正弦值為.
15.設(shè),是直線,,是平面,,,向量在上,向量在上,,,則,所成二面角中較小的一個(gè)的余弦值為________.
【答案】
【解析】由題意,∵,,
∴,
∵,,向量在上,向量在上,
∴,所成二面角中較小的一個(gè)余弦值為,故答案為.
16.在四棱錐中,底面為平行四邊形,平面,,,,,則當(dāng)變化時(shí),直線與平面所成角的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系,得,,,,
設(shè)平面的法向量,,,
∴,得,
又,∴,
∴,
∴,則
三、解答題
17.如圖所示:四棱錐,底面為四邊形,,,,平面平面,,,,
(1)求證:平面;
(2)若四邊形中,,是否在上存在一點(diǎn),使得直線與平面
所成的角的正弦值為,若存在,求的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)存在,.
【解析】(1)設(shè),連接
,為中點(diǎn)
又,
∵平面平面,平面平面
平面,而平面
在中,由余弦定理得,
,而
平面.
(2)過作垂線記為軸,為軸,為軸建立空間直角坐標(biāo)系:
,,,,
,,設(shè)
,
設(shè)平面法向量為,
∴,取,
設(shè)與平面所成角為,
,
解,.
18.如圖,在斜三棱柱中,底面是邊長為2的正三角形,,,.
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】(1)取的中點(diǎn),連接,,
∵底面是邊長為2的正三角形,∴,且,
∵,,,∴,
∴,又∵,∴,
∴,又∵,∴平面,又∵平面,
∴平面平面.
(2)如圖所示,
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸,為軸,為軸建立空間直角坐標(biāo)系,其中,
則,,,,
∴,,,
設(shè)為平面的法向量,
則,即,令,得;
設(shè)為平面的法向量,則,即,
令,得;∴,
∴二面角的正弦值為.
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