2019年高考數學 考點分析與突破性講練 專題37 隨機事件、古典概型和幾何概型 理.doc
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專題37 隨機事件、古典概型和幾何概型 一、考綱要求： 1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別. 2.了解兩個互斥事件的概率加法公式． 3.理解古典概型及其概率計算公式.2.會計算一些隨機事件所包含的基本事件數及事件發(fā)生的概率． 4.了解隨機數的意義，能運用模擬方法估計概率. 5.了解幾何概型的意義． 二、概念掌握及解題上的注意點： 1.概率與頻率的關系 概率是常數，是頻率的穩(wěn)定值，頻率是變量，是概率的近似值.有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值. 2.隨機事件概率的求法 利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復試驗，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數，這個常數就是概率. 3.復雜事件的概率的兩種求法 (1）)直接求法，將所求事件分解為一些彼此互斥的事件，運用互斥事件的概率求和公式計算. (2）)間接求法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求解(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法就比較簡便. 4.求古典概型概率的步驟 (1）判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件A； (2）分別求出基本事件的總數n與所求事件A中所包含的基本事件個數m； (3）利用公式P(A)＝，求出事件A的概率. 5.確定基本事件個數的方法： (1）基本事件較少的古典概型，用列舉法寫出所有基本事件時，可借助“樹狀圖”列舉，以便做到不重、不漏. (2）利用計數原理、排列與組合的有關知識計算基本事件. 6.與長度有關的幾何概型 如果試驗結果構成的區(qū)域可用長度度量，則其概率的計算公式為P(A)＝ . 7.與角度有關的幾何概型 當涉及射線的轉動、扇形中有關落點區(qū)域問題時，應以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率，且不可用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段. 三、高考考題題例分析： 例1.（2018全國卷I）如圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ．在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則（ ?。? A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3 D．p1=p2+p3 【答案】A 例2.（2018全國卷II）我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如30=7+23．在不超過30的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于30的概率是（ ?。? A． B． C． D． 【答案】C 例3.(2016天津高考)甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸的概率為( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：事件“甲不輸”包含“和棋”和“甲獲勝”這兩個互斥事件，所以甲不輸的概率為＋＝. 例4.(2017全國卷Ⅲ)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表： 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率． (1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率； (2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率． 【答案】(1) 0.6；(2) Y的所有可能值為900,300，－100. Y大于零的概率的估計值為0.8. 【解析】： (1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25，由表格數據知，最高氣溫低于25的頻率為＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6. (2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時， 若最高氣溫不低于25，則Y＝6450－4450＝900； 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6300＋2(450－300)－4450＝300； 若最高氣溫低于20，則Y＝6200＋2(450－200)－4450＝－100. 所以，Y的所有可能值為900,300，－100. Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20，由表格數據知，最高氣溫不低于20的頻率為＝0.8，因此Y大于零的概率的估計值為0.8. 3．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為，都是白子的概率是.則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( ) A． B． C． D．1 【答案】C 4．下面三行三列的方陣中有九個數aij(i＝1,2,3；j＝1,2,3)，從中任取三個數，則至少有兩個數位于同行或同列的概率是( ) A． B． C． D． 【答案】D 5．在正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，則構成的四邊形是梯形的概率為( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】： 如圖，在正六邊形ABCDEF的6個頂點中隨機選擇4個頂點，共有15種選法，其中構成的四邊形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6種情況，故構成的四邊形是梯形的概率P＝＝. 6．一對年輕夫婦和其兩歲的孩子做游戲，讓孩子把分別寫有“1”“3”“1”“4”的四張卡片隨機排成一行，若卡片按從左到右的順序排成“1314”，則孩子會得到父母的獎勵，那么孩子受到獎勵的概率為( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：先從4個位置中選一個排4，再從剩下的位置中選一個排3，最后剩下的2個位置排1. ∴共有431＝12種不同排法． 又卡片排成“1314”只有1種情況， 故所求事件的概率P＝. 7.某車間共有12名工人，隨機抽取6名作為樣本，他們某日加工零件個數的莖葉圖如圖1053所示，其中莖為十位數，葉為個位數，日加工零件個數大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人．要從這6人中，隨機選出2人參加一項技術比賽，選出的2人至少有1人為優(yōu)秀工人的概率為( ) 圖1053 A． B． C． D． 【答案】C 8．設實數a∈(0,1)，則函數f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋1有零點的概率為( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】： 由函數f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋1有零點，可得Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋1)＝4a－3≥0，解得a≥，即有≤a<1，結合幾何概型的概率計算公式可得所求的概率為P＝＝，故選D. 9．已知圓C：x2＋y2＝4，直線l：y＝x，則圓C上任取一點A到直線l的距離小于1的概率為( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】：如圖所示，設與y＝x平行的兩直線AD，BF交圓C于點A，D，B，F，且它們到直線y＝x的距離相等，過點A作AE垂直于直線y＝x，垂足為E，當點A到直線y＝x的距離為1時，AE＝1，又CA＝2，則∠ACE＝，所以∠ACB＝∠FCD＝，所以所求概率P＝＝，故選D. 10．安排甲、乙、丙、丁四人參加周一至周六的公益活動，每天只需一人參加，其中甲參加三天活動，乙、丙、丁每人參加一天，那么甲連續(xù)三天參加活動的概率為( ) A． B． C． D． 【答案】B 11．擲一個骰子的試驗，事件A表示“出現小于5的偶數點”，事件B表示“出現小于5的點數”，若表示B的對立事件，則一次試驗中，事件A＋發(fā)生的概率為( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】：擲一個骰子的試驗有6種可能結果． 依題意P(A)＝＝，P(B)＝＝， ∴P()＝1－P(B)＝1－＝. ∵表示“出現5點或6點”的事件， ∴事件A與互斥， 從而P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝. 12．設復數z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為( ) A．＋π B．＋ C．－ D．－ 【答案】D 二、填空題 13．一只袋子中裝有7個紅玻璃球，3個綠玻璃球，從中無放回地任意抽取兩次，每次只取一個，取得兩個紅球的概率為，取得兩個綠球的概率為，則取得兩個同顏色的球的概率為________；至少取得一個紅球的概率為________. 【答案】 【解析】：由于“取得兩個紅球”與“取得兩個綠球”是互斥事件，取得兩個同色球，只需兩互斥事件有一個發(fā)生即可，因而取得兩個同色球的概率為P＝＋＝. 由于事件A“至少取得一個紅球”與事件B“取得兩個綠球”是對立事件，則至少取得一個紅球的概率為P(A)＝1－P(B)＝1－＝. 14．某城市2017年的空氣質量狀況如表所示： 污染指數T 30 60 100 110 130 140 概率P 其中污染指數T≤50時，空氣質量為優(yōu)；50
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