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專題2.6 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
一、填空題
1.函數(shù)f(x)=ax-3+m(a>1)恒過點(3,10),則m=______.
【答案】9
【解析】由圖象平移知識及函數(shù)f(x)=ax過定點(0,1)知,m=9.
2.若存在負實數(shù)使得方程2x-a=成立,則實數(shù)a的取值范圍是________.
【答案】(0,2)
【解析】
在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出函數(shù)y=和y=2x-a的圖象,則由圖知,
當(dāng)a∈(0,2)時符合要求.
3.設(shè)a=22.5,b=2.50,c=2.5,則a,b,c的大小關(guān)系是________.
【解析】a>1,b=1,0
b>c.
【答案】a>b>c
4.已知f(x)=3x-b(2≤x≤4,b為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(2,1),則f(x)的值域為________.
【答案】[1,9]
5.不等式2-x2+2x>x+4的解集為________.
【答案】{x|-1x+4可化為x2-2x>x+4,等價于x2-2x0,a≠1)的定義域和值域都是[0,2],則實數(shù)a=________.
【答案】
7.若函數(shù)f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),滿足f(1)=,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是________.
【答案】[2,+∞)
【解析】由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=|2x-4|.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上遞減,在[2,+∞)上遞增,所以f(x)在(-∞,2]上遞增,在[2,+∞)上遞減.
8.已知max(a,b)表示a,b兩數(shù)中的最大值.若f(x)=max{e|x|,e|x-2|},則f(x)的最小值為________.
【答案】e
【解析】f(x)=
當(dāng)x≥1時,f(x)=ex≥e(x=1時,取等號),
當(dāng)x<1時,f(x)=e|x-2|=e2-x>e,
因此x=1時,f(x)有最小值f(1)=e.
二、解答題
9.已知f(x)=x3(a>0,且a≠1).
(1)討論f(x)的奇偶性;
(2)求a的取值范圍,使f(x)>0在定義域上恒成立.
解 (1)由于ax-1≠0,則ax≠1,得x≠0,
所以函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0}.
對于定義域內(nèi)任意x,有
10.已知定義域為R的函數(shù)f(x)=是奇函數(shù).
(1)求a,b的值;
(2)解關(guān)于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0.
解 (1)因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
所以f(0)=0,
即=0,解得b=1,
所以f(x)=.
又由f(1)=-f(-1)知=-,解得a=2.
(2)由(1)知f(x)==-+.
由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上為減函數(shù)(此處可用定義或?qū)?shù)法證明函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)).
又因為f(x)是奇函數(shù),所以不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0等價于f(t2-2t)<-f(2t2-1)=f(-2t2+1).
因為f(x)是減函數(shù),由上式推得t2-2t>-2t2+1,
即3t2-2t-1>0,解不等式可得t>1或t<-,
故原不等式的解集為.
能力提升題組
11.若存在正數(shù)x使2x(x-a)<1成立,則a的取值范圍是________.
【答案】(-1,+∞)
12.已知函數(shù)f(x)=|2x-1|,af(c)>f(b),則下列結(jié)論:
①a<0,b<0,c<0;②a<0,b≥0,c>0;
③2-a<2c;④2a+2c<2.
其中一定成立的是________(填序號).
【答案】④
【解析】
作出函數(shù)f(x)=|2x-1|的圖象如圖中實線所示,
∵af(c)>f(b),結(jié)合圖象知a<0,0f(c),即1-2a>2c-1,∴2a+2c<2.
13.(2017北京豐臺一模)已知奇函數(shù)y=如果f(x)=ax(a>0,且a≠1)對應(yīng)的圖象如圖所示,那么g(x)=________.
【答案】-2x(x<0)
【解析】依題意,f(1)=,∴a=,
∴f (x)=x,x>0.當(dāng)x<0時,-x>0.
∴g(x)=-f(-x)=--x=-2x.
14.(2017常州市教育學(xué)會期末)已知函數(shù)f(x)=ex-e-x(x∈R,且e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性與奇偶性;
(2)是否存在實數(shù)t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0對一切x∈R都成立?若存在,求出t;若不存在,請說明理由.
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