【土木建筑】第4章 桿系結(jié)構(gòu)單元

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1、第四章第四章 桿系結(jié)構(gòu)單元桿系結(jié)構(gòu)單元 本章主要內(nèi)容是：本章主要內(nèi)容是：結(jié)構(gòu)離散為單元的有關(guān)問(wèn)題結(jié)構(gòu)離散為單元的有關(guān)問(wèn)題 單元（局部）坐標(biāo)系和結(jié)構(gòu)（整體）坐標(biāo)系單元（局部）坐標(biāo)系和結(jié)構(gòu)（整體）坐標(biāo)系 單元坐標(biāo)系中各類(lèi)桿件單元的特性：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠葐卧鴺?biāo)系中各類(lèi)桿件單元的特性：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠?矩陣、等價(jià)節(jié)點(diǎn)力矩陣等。矩陣、等價(jià)節(jié)點(diǎn)力矩陣等。結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的單元特性及坐標(biāo)變換矩陣。結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的單元特性及坐標(biāo)變換矩陣。桿系結(jié)構(gòu)是由一些桿件單元組成。主要結(jié)構(gòu)類(lèi)桿系結(jié)構(gòu)是由一些桿件單元組成。主要結(jié)構(gòu)類(lèi)型有：梁、拱、框架、桁架等，如圖（型有：梁、拱、框架、桁架等，如圖（4-1）所示。）所示。圖（圖（4-1）梁梁拱拱

2、框架框架桁架桁架 2、編號(hào)、編號(hào) （1）節(jié)點(diǎn)編號(hào)）節(jié)點(diǎn)編號(hào) 節(jié)點(diǎn)編號(hào)應(yīng)按正整數(shù)不間斷逐點(diǎn)編號(hào)。編號(hào)時(shí)節(jié)點(diǎn)編號(hào)應(yīng)按正整數(shù)不間斷逐點(diǎn)編號(hào)。編號(hào)時(shí)應(yīng)力求單元兩端點(diǎn)號(hào)差最小，以便使結(jié)構(gòu)剛度矩陣應(yīng)力求單元兩端點(diǎn)號(hào)差最小，以便使結(jié)構(gòu)剛度矩陣元素集中在主對(duì)角線附近，后面結(jié)構(gòu)剛度矩陣組集元素集中在主對(duì)角線附近，后面結(jié)構(gòu)剛度矩陣組集中有詳細(xì)說(shuō)明。中有詳細(xì)說(shuō)明。4.1 結(jié)構(gòu)離散結(jié)構(gòu)離散 1、離散方法、離散方法 取桿件與桿件交點(diǎn)、集中力作用點(diǎn)、桿件與支取桿件與桿件交點(diǎn)、集中力作用點(diǎn)、桿件與支承的交點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)。承的交點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)。相鄰兩節(jié)點(diǎn)間的桿件段是單元。相鄰兩節(jié)點(diǎn)間的桿件段是單元。桿件結(jié)構(gòu)的單元一般只有桿件結(jié)構(gòu)的單元一

3、般只有2個(gè)節(jié)點(diǎn)。個(gè)節(jié)點(diǎn)。（2）單元編號(hào)）單元編號(hào) 單元也要逐個(gè)依次編號(hào)。誰(shuí)前誰(shuí)后按實(shí)際情況單元也要逐個(gè)依次編號(hào)。誰(shuí)前誰(shuí)后按實(shí)際情況而定。而定。3、記錄基本信息、記錄基本信息 應(yīng)建立一個(gè)數(shù)據(jù)文件（應(yīng)建立一個(gè)數(shù)據(jù)文件（DATA.*）基本信息來(lái)記錄）基本信息來(lái)記錄基本信息，以便計(jì)算時(shí)調(diào)用?；拘畔ǎ夯拘畔ⅲ员阌?jì)算時(shí)調(diào)用。基本信息包括：（1）單元總數(shù)（）單元總數(shù)（NE）、節(jié)點(diǎn)總數(shù)（）、節(jié)點(diǎn)總數(shù)（NJ）、節(jié)點(diǎn)自由）、節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)（度數(shù)（NDF）。）。（2）彈性模量（）彈性模量（E）、波桑系數(shù)（）、波桑系數(shù)（AMU）。）。（3）單元）單元I端節(jié)點(diǎn)號(hào)端節(jié)點(diǎn)號(hào)IO（NE）、）、J端節(jié)點(diǎn)號(hào)端節(jié)點(diǎn)號(hào)JO（

4、NE）（4）有約束的節(jié)點(diǎn)數(shù)（）有約束的節(jié)點(diǎn)數(shù)（NRJ）、有約束的節(jié)點(diǎn)號(hào)）、有約束的節(jié)點(diǎn)號(hào)（KRJ(NRJ)）、受約束的自由度（）、受約束的自由度（KRL(NDF,NRJ)）。）。（5）單元截面面積（）單元截面面積（A）、截面慣性矩（）、截面慣性矩（ZI）（6）節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)：）節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)：X(NJ)、Y(NJ)（7）分布力荷載集度）分布力荷載集度qx(NE)、qyi(NE)、qyj(NE)（8）受集中力作用的節(jié)點(diǎn)數(shù)（受集中力作用的節(jié)點(diǎn)數(shù)（MJL）、受集中力作）、受集中力作用的節(jié)點(diǎn)號(hào)（用的節(jié)點(diǎn)號(hào)（NJL（MJL）、集中力數(shù)值）、集中力數(shù)值（VJL（NDF，MJL）。）。DATA.FRA(1)NE、NJ、

5、NDF 25,18,3(2）E、AMU 3.25e7,0.15(3）IO（NE）、）、JO（NE）1,4,4,7,7,10,10,13,13,16,2,5,5,8,8,11,11,14,14,17,3,6,6,9,9,12,12,15,15,18,4,5,5,6,7,8,8,9,10,11,11,12,13,14,14,15,16,17,17,18(4）NRJ、KRJ(NRJ)、（、（KRL(NDF,NRJ)）3，1,2,3,9*1(5)A(NE)、ZI(NE)(6)X(NJ)、Y(NJ)(7)qx(NE)、qyi(NE)、qyj(NE)(8)MJL,NJL(MJL),VJL(NDF,MJL)

6、數(shù)據(jù)填寫(xiě)順序應(yīng)和程序?qū)?yīng)數(shù)據(jù)填寫(xiě)順序應(yīng)和程序?qū)?yīng)。q=10kN/m 4、示例、示例6.0m5.0m3.0m3.0m3.0m3.0m4.0m123456789101112131415161718(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)XY練習(xí)練習(xí) 對(duì)平面鉸接桁架進(jìn)行結(jié)構(gòu)離散，并作出數(shù)據(jù)對(duì)平面鉸接桁架進(jìn)行結(jié)構(gòu)離散，并作出數(shù)據(jù)文件。文件。44m3mP1P2P3已知：已知：E=2.1109kN/m2 P1=P3=10kN,P2=50kN,15cm2 (斜桿）斜桿

7、）A=65cm2 (上下弦桿）上下弦桿）40cm2 (豎桿）豎桿）4.2 單元（局部）坐標(biāo)系單元（局部）坐標(biāo)系 桿系結(jié)構(gòu)單元在結(jié)構(gòu)中的位置是復(fù)雜的。如圖桿系結(jié)構(gòu)單元在結(jié)構(gòu)中的位置是復(fù)雜的。如圖（4-1）桁架所示。）桁架所示。XYP圖（圖（4-1）如果每一個(gè)單元都在統(tǒng)一的整體坐標(biāo)系如果每一個(gè)單元都在統(tǒng)一的整體坐標(biāo)系XY中寫(xiě)中寫(xiě)單元?jiǎng)偠染仃?。可能?dǎo)致結(jié)構(gòu)中處于不同位置的同單元?jiǎng)偠染仃嚒？赡軐?dǎo)致結(jié)構(gòu)中處于不同位置的同一類(lèi)型單元，其單元?jiǎng)偠染仃嚥幌嗤＿@不利于計(jì)一類(lèi)型單元，其單元?jiǎng)偠染仃嚥幌嗤?。這不利于計(jì)算機(jī)編程運(yùn)算。算機(jī)編程運(yùn)算。桿系結(jié)構(gòu)單元主要有鉸接桿單元和梁?jiǎn)卧獌煞N類(lèi)桿系結(jié)構(gòu)單元主要有鉸接桿單元

8、和梁?jiǎn)卧獌煞N類(lèi)型。它們都只有型。它們都只有2個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn)i、j。約定：約定：?jiǎn)卧鴺?biāo)系的原點(diǎn)置于節(jié)點(diǎn)單元坐標(biāo)系的原點(diǎn)置于節(jié)點(diǎn)i；節(jié)點(diǎn)；節(jié)點(diǎn)i到到j(luò)的的桿軸（形心軸）方向?yàn)閱卧鴺?biāo)系中桿軸（形心軸）方向?yàn)閱卧鴺?biāo)系中x軸的正向。軸的正向。y軸、軸、z軸都與軸都與x軸垂直，并符合右手螺旋法則（圖軸垂直，并符合右手螺旋法則（圖4-2）（圖（圖4-2）ijxyz 容易理解，采用適合于單元具體方位的坐標(biāo)系將容易理解，采用適合于單元具體方位的坐標(biāo)系將會(huì)改善上述狀況，得出規(guī)格化的結(jié)果。這種屬于每個(gè)會(huì)改善上述狀況，得出規(guī)格化的結(jié)果。這種屬于每個(gè)單元的坐標(biāo)系稱(chēng)為單元坐標(biāo)系，也稱(chēng)局部坐標(biāo)系。單元的坐標(biāo)系稱(chēng)為單元坐

9、標(biāo)系，也稱(chēng)局部坐標(biāo)系。為了便于對(duì)單元坐標(biāo)系中的單元特性進(jìn)行識(shí)別，為了便于對(duì)單元坐標(biāo)系中的單元特性進(jìn)行識(shí)別，引入以下符號(hào)：引入以下符號(hào)：e單元坐標(biāo)單元位移單元坐標(biāo)單元位移 F e單元坐標(biāo)單元力單元坐標(biāo)單元力 ke單元坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃噯卧鴺?biāo)單元?jiǎng)偠染仃?單元的單元的2個(gè)節(jié)點(diǎn)中取任何一個(gè)作為個(gè)節(jié)點(diǎn)中取任何一個(gè)作為i均可，只要均可，只要指定好指定好i節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)和j節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)，x軸的正向就確定了。軸的正向就確定了。對(duì)于梁?jiǎn)卧?，?duì)于梁?jiǎn)卧?，y軸和軸和z軸分別為橫截面上的兩個(gè)軸分別為橫截面上的兩個(gè)慣性主軸。慣性主軸。下面，開(kāi)始討論幾種桿系結(jié)構(gòu)單元在單元坐標(biāo)下面，開(kāi)始討論幾種桿系結(jié)構(gòu)單元在單元坐標(biāo)中的一些特

10、性。中的一些特性。ijxl圖圖4-34.3 鉸接桿單元鉸接桿單元 圖圖4-3示出了一維鉸接桿單元，橫截面積為示出了一維鉸接桿單元，橫截面積為A，長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為l，彈性模量為，彈性模量為E，軸向分布載荷為，軸向分布載荷為qx。單元有。單元有2個(gè)結(jié)點(diǎn)個(gè)結(jié)點(diǎn)i，j，單元坐標(biāo)為一維坐標(biāo)軸，單元坐標(biāo)為一維坐標(biāo)軸x。qxujui 1、一維鉸接桿單元、一維鉸接桿單元jieuu（4-1）單元力向量為：?jiǎn)卧ο蛄繛椋簀ieFFF（4-2）（1）位移模式和形函數(shù)）位移模式和形函數(shù) 位移模式位移模式單元結(jié)點(diǎn)位移向量為：?jiǎn)卧Y(jié)點(diǎn)位移向量為：因?yàn)橹挥幸驗(yàn)橹挥?個(gè)結(jié)點(diǎn)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移只有個(gè)結(jié)點(diǎn)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移只有1個(gè)自由度，個(gè)

11、自由度，因此單元的位移模式可設(shè)為：因此單元的位移模式可設(shè)為：xaau21（4-3）式中式中a1、a2為待定常數(shù)，可由結(jié)點(diǎn)位移條件為待定常數(shù)，可由結(jié)點(diǎn)位移條件 x=xi時(shí)，時(shí)，u=ui x=xj時(shí)，時(shí)，u=uj確定。確定。由此可確定由此可確定a1、a2。再將其代入式（。再將其代入式（4-3），得），得 xluuxluuuuijiiji)(（4-4）形函數(shù)形函數(shù) 將式（將式（4-4）改寫(xiě)為下列形式）改寫(xiě)為下列形式 eNu（4-5）式中式中e由式（由式（4-1）確定，形函數(shù)）確定，形函數(shù)N為為)()(1xxxxlNNNijji（4-6）（2）應(yīng)變矩陣）應(yīng)變矩陣一維鉸接桿單元僅有軸向應(yīng)變一維鉸接桿單元

12、僅有軸向應(yīng)變 dxdu將式（將式（4-5）、（）、（4-6）代入上式，得）代入上式，得 el111上式也可寫(xiě)為上式也可寫(xiě)為 eB（4-7）式中式中B為應(yīng)變矩陣為應(yīng)變矩陣 111lBBBji（4-8）由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 （3）應(yīng)力矩陣）應(yīng)力矩陣E將式（將式（4-7）代入上式，得）代入上式，得 eeSBE（4-9）式中式中S為應(yīng)力矩陣為應(yīng)力矩陣 11lES（4-10）(4)等價(jià)節(jié)點(diǎn)力等價(jià)節(jié)點(diǎn)力 單元上作用分布力單元上作用分布力qx，則等價(jià)節(jié)點(diǎn)力計(jì)算公式，則等價(jià)節(jié)點(diǎn)力計(jì)算公式仍為以下形式仍為以下形式 dxqNFxTe當(dāng)分布力集度當(dāng)分布力集度qx為常數(shù)時(shí)，有為常數(shù)時(shí)，有 112)()(1lq

13、dxqxxxxlFxxijxxeqjix（4-11）式（式（4-11）概念是將分布力引起的合力按靜力等效原）概念是將分布力引起的合力按靜力等效原則分配到單元節(jié)點(diǎn)上。由于位移模式是線性函數(shù)，因則分配到單元節(jié)點(diǎn)上。由于位移模式是線性函數(shù)，因此按公式（此按公式（4-11）計(jì)算結(jié)果與靜力等效分配是一致的。）計(jì)算結(jié)果與靜力等效分配是一致的。(5)單元坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃噯卧鴺?biāo)單元?jiǎng)偠染仃?單元坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃嚾允剑▎卧鴺?biāo)單元?jiǎng)偠染仃嚾允剑?-33）推出）推出 dvBDBkvTe（2-33）對(duì)于等截面鉸接桿單元，對(duì)于等截面鉸接桿單元，dv=AdxA 單元截面面積。單元截面面積。有有 dxBDBAkvTe將

14、式（將式（4-8）代入上式，得）代入上式，得 1111lAEke（4-12）2、平面鉸接桿單元、平面鉸接桿單元 1 2 3 4ijxy圖圖4-4l（1）單元坐標(biāo)單元位移向量）單元坐標(biāo)單元位移向量 4321e （2）位移模式和形函數(shù)）位移模式和形函數(shù) 由于平面鉸接桿單元只有軸向力。位移模式同式由于平面鉸接桿單元只有軸向力。位移模式同式（4-3）、（）、（4-4）。）。形函數(shù)形函數(shù)0)(0)(1xxxxlNNNijji（4-13）（3）應(yīng)變矩陣）應(yīng)變矩陣 位移模式位移模式eB（4-7）應(yīng)變矩陣應(yīng)變矩陣 B為為01011lBBBji（4-14）（4）應(yīng)力矩陣）應(yīng)力矩陣eeSBE（4-9）應(yīng)力矩陣應(yīng)力

15、矩陣 S為為0101lES（4-15）(5)等價(jià)節(jié)點(diǎn)力等價(jià)節(jié)點(diǎn)力 010120)(0)(1qlqdxxxxxlFijxxeqji（4-16）(6)單元坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃噯卧鴺?biāo)單元?jiǎng)偠染仃?對(duì)于等截面鉸接桿單元，對(duì)于等截面鉸接桿單元，0000010100000101lAEke（4-17）ijxylz3、空間鉸接桿單元、空間鉸接桿單元（1）單元坐標(biāo)單元位移向量）單元坐標(biāo)單元位移向量圖圖4-5 1 2 4 5 3 6 Te654321（4-18）（2）形函數(shù)）形函數(shù)00)(00)(1xxxxlNij（4-19）（3）應(yīng)變矩陣）應(yīng)變矩陣（4-20）0010011lB（4）應(yīng)力矩陣）應(yīng)力矩陣 00100

16、1lES（4-21）(5)等價(jià)節(jié)點(diǎn)力等價(jià)節(jié)點(diǎn)力 TeqlF0010012（4-22）(6)單元坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃噯卧鴺?biāo)單元?jiǎng)偠染仃?對(duì)于等截面鉸接桿單元，對(duì)于等截面鉸接桿單元，（4-23）000000000000001001000000000000001001lAEke4.4 梁?jiǎn)卧簡(jiǎn)卧?1、兩端承受剪力、彎矩的平面梁?jiǎn)卧?、兩端承受剪力、彎矩的平面梁?jiǎn)卧獔D圖4-5ijxyijxy 1 2 3 4lF1F2F3F4l （1）單元坐標(biāo)單元位移和單元力）單元坐標(biāo)單元位移和單元力 單元位移單元位移 TjjiiTevv4321（4-24）其中，其中，vy方向位移，即撓度。方向位移，即撓度。角位移。角位

17、移。對(duì)于梁，對(duì)于梁，=dv/dx （4-25）單元力單元力 TjjiiTeMQMQFFFFF4321（4-26）其中，其中，Q剪力剪力 M彎矩彎矩對(duì)于梁，對(duì)于梁，（2）位移函數(shù)和形函數(shù)）位移函數(shù)和形函數(shù)設(shè)單元坐標(biāo)位移模式為設(shè)單元坐標(biāo)位移模式為342321)(xaxaxaaxv（4-28）位移模式位移模式 形函數(shù)形函數(shù) 由單元兩端點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移條件，解出式（由單元兩端點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移條件，解出式（4-28）中的中的a1、a2、a3、a4。再代入該式，可將位移模式寫(xiě)為。再代入該式，可將位移模式寫(xiě)為以下形式：以下形式：3322dxvdEIQdxvdEIM（4-27）eNxv)(（4-29）式中式中4321

18、NNNNN（4-30）23243323232233231/)(/)23(/)2(2/)23(lxlxNlxlxNlxlxxlNlxlxlN（4-31）（3）應(yīng)變矩陣）應(yīng)變矩陣 單元彎曲應(yīng)變單元彎曲應(yīng)變 b與節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)位移e的關(guān)系。的關(guān)系。由材料力學(xué)知，梁?jiǎn)卧先我稽c(diǎn)的應(yīng)變和該點(diǎn)撓度之由材料力學(xué)知，梁?jiǎn)卧先我稽c(diǎn)的應(yīng)變和該點(diǎn)撓度之間關(guān)系為：間關(guān)系為：22dxvdyb（4-32）將式（將式（4-29）代入（）代入（4-32），得單元彎曲應(yīng)變和單元位），得單元彎曲應(yīng)變和單元位移之間關(guān)系移之間關(guān)系（4-34）)26()612()46()612(3lxllxxllxlyB4321BBBBB ebB（

19、4-33）（4）應(yīng)力矩陣）應(yīng)力矩陣 eebbSBEE（4-35）(5)等價(jià)節(jié)點(diǎn)力等價(jià)節(jié)點(diǎn)力 對(duì)于梁上作用的集中力或集中力矩，在劃分單元時(shí)對(duì)于梁上作用的集中力或集中力矩，在劃分單元時(shí)可將其作用點(diǎn)取為結(jié)點(diǎn)，按結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)載荷處理?？蓪⑵渥饔命c(diǎn)取為結(jié)點(diǎn)，按結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)載荷處理。這里考慮的是把單元上的橫向分布載荷轉(zhuǎn)化為等價(jià)這里考慮的是把單元上的橫向分布載荷轉(zhuǎn)化為等價(jià)節(jié)點(diǎn)力問(wèn)題。當(dāng)梁?jiǎn)卧献饔糜袡M向分布荷載節(jié)點(diǎn)力問(wèn)題。當(dāng)梁?jiǎn)卧献饔糜袡M向分布荷載qy(x)時(shí)時(shí)（圖（圖4-6），），xyijl圖圖4-6qy(x)圖圖4-7lxyijqy(x)ijxdxv(x)qy(x)dx橫向分布荷載橫向分布荷載qy(x)的

20、勢(shì)能的勢(shì)能Vq為：為：dxxqNdxxqxvVlyTeTlyS)()()(eqeTyF（4-36）dxxqNFyTleqy)(0形函數(shù)矩陣由式（形函數(shù)矩陣由式（4-30）和（）和（4-31）給出。對(duì)于具體問(wèn)）給出。對(duì)于具體問(wèn)題，只要將題，只要將qy(x)代入上式進(jìn)行積分即可。表代入上式進(jìn)行積分即可。表1給出了幾給出了幾種特殊情況的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力。種特殊情況的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力。荷載分布QiMiQjMjql/2ql2/12ql/2-ql2/123ql/20ql2/307ql/20-ql2/20ql/45ql2/96ql/4-5ql2/96ijqqijqij幾種橫向分布荷載等價(jià)節(jié)點(diǎn)力幾種橫向分布荷載等價(jià)節(jié)點(diǎn)力

21、 表表 1 (6)單元坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃噯卧鴺?biāo)單元?jiǎng)偠染仃?梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚬綖榱簡(jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚬綖閷⑹剑▽⑹剑?-34）代入上式進(jìn)行積分，并注意到）代入上式進(jìn)行積分，并注意到Iz梁截面對(duì)梁截面對(duì)Z軸（主軸）的慣性矩軸（主軸）的慣性矩得單元坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃嚨脝卧鴺?biāo)單元?jiǎng)偠染仃噆e:AzdAyI2（4-37）dAdxBBEdvBDBkAlTvTe0 單元?jiǎng)偠染仃囀絾卧獎(jiǎng)偠染仃囀?4-38)適合于連續(xù)梁分析。適合于連續(xù)梁分析。lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIkzzzzzzzzzzzzzzzze46612266122661246612

22、223223223223（4-38）2、兩端承受軸力、剪力、彎矩的平面梁?jiǎn)卧?、兩端承受軸力、剪力、彎矩的平面梁?jiǎn)卧猧jxyijxy 2 3 5 6l 1 4F2F3F5F6lF1F4圖圖4-8 （1）單元坐標(biāo)單元位移和單元力）單元坐標(biāo)單元位移和單元力 單元位移單元位移 TjjjiiiTevuvu654321（4-39）其中，其中，ux方向（軸向）位移。方向（軸向）位移。vy方向位移，即撓度。方向位移，即撓度。角位移。角位移。單元力單元力 TjjjiiiTeMQNMQNFFFFFFF654321（4-40）其中，其中，N軸向力軸向力 Q剪力剪力 M彎矩彎矩 對(duì)于小變形問(wèn)題，可以認(rèn)為軸向變形和彎曲

23、變形對(duì)于小變形問(wèn)題，可以認(rèn)為軸向變形和彎曲變形互不影響，因此，位移模式和形函數(shù)可以分別按互不影響，因此，位移模式和形函數(shù)可以分別按4.3節(jié)節(jié)一維鉸接桿單元和一維鉸接桿單元和4.4節(jié)兩端承受剪力、彎矩的平面梁節(jié)兩端承受剪力、彎矩的平面梁?jiǎn)卧慕Y(jié)果（式單元的結(jié)果（式4-3和式和式4-28）簡(jiǎn)單集合而成。）簡(jiǎn)單集合而成。（2）位移函數(shù)和形函數(shù)）位移函數(shù)和形函數(shù) 位移模式位移模式（4-41）342321xaxaxaavxaau21 以下形函數(shù)和一些基本矩陣都可按此思路推演。以下形函數(shù)和一些基本矩陣都可按此思路推演。形函數(shù)形函數(shù)式中形函數(shù)式中形函數(shù)N為：為：eNvuf（4-42）653241000000

24、NNNNNNN（4-43）23263325423223332321/)(/)23(/)(/)2(/)23(/)(lxlxNlxlxNlxxNlxlxxlNlxlxlNlxxNij其中其中,（3）應(yīng)變矩陣）應(yīng)變矩陣 單元彎曲應(yīng)變單元彎曲應(yīng)變 與節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)位移e的關(guān)系。的關(guān)系。承受軸向力、剪力、彎矩的梁?jiǎn)卧先我稽c(diǎn)的應(yīng)變，承受軸向力、剪力、彎矩的梁?jiǎn)卧先我稽c(diǎn)的應(yīng)變，應(yīng)為該點(diǎn)撓度（應(yīng)為該點(diǎn)撓度（v）引起的應(yīng)變和軸向位移（）引起的應(yīng)變和軸向位移（u）引起）引起的應(yīng)變之和。的應(yīng)變之和?？紤]到式（考慮到式（4-8）和（）和（4-34），單元應(yīng)變矩陣為：），單元應(yīng)變矩陣為：eB654321BBBBBB

25、B（4-44）)26()612(1)46()612(12635423321lxlyBlxlyBlBxlyBlxlyBlB，（4-45）(5)等價(jià)節(jié)點(diǎn)力等價(jià)節(jié)點(diǎn)力 xyijl圖圖4-9qy(x)（4）應(yīng)力矩陣）應(yīng)力矩陣 eeSBEE（4-46）應(yīng)力矩陣形式同式（應(yīng)力矩陣形式同式（4-35）：）：qx將式（將式（4-36）、（）、（4-11）膨脹成）膨脹成61矩陣后相加，矩陣后相加，并注意到式（并注意到式（4-43），有），有（4-36）dxxqNFyTleqy)(0dxqNNdxxqNNNNMQNMQNxlljjjiiiy031065320000)(00jieuu（4-11）最后得等價(jià)節(jié)點(diǎn)力矩陣

26、最后得等價(jià)節(jié)點(diǎn)力矩陣dxqNqNqNqNqNqNMQNMQNlyyxyyxjjjiii0654321（4-47）表表2給出了幾種特殊情況的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力。給出了幾種特殊情況的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力。荷載分布NiQiMiNjQjMj幾種橫向分布荷載等價(jià)節(jié)點(diǎn)力幾種橫向分布荷載等價(jià)節(jié)點(diǎn)力 表表 22lqy203lqy4lqy122lqy302lqy9652lqy2lqx2lqy207lqy4lqy2lqx122lqy202lqy9652lqyijqyqxqyijqxqyijqx2lqx2lqx2lqx2lqx (6)單元坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃噯卧鴺?biāo)單元?jiǎng)偠染仃?梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚬綖榱簡(jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚬綖閘EIlEIlEI

27、lEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAkzzzzzzzzzzzzzzzze460260612061200000260460612061200000222323222323（4-48）式式(4-48)用于分析平面框架。用于分析平面框架。3、兩端承受扭矩和面外剪力、彎矩的平面梁、兩端承受扭矩和面外剪力、彎矩的平面梁 單元單元圖圖4-10ijlxyz 1 2 4 5 3 6F1F2F4F5F3F6ijlxyz 1 2 3 4 5 6F1F2F3F4F5F6 xi yiwi xj yjwjMxiMyiQziMxjMyjQzj 此類(lèi)單元適用

28、于格柵以及受面外荷載的平面框此類(lèi)單元適用于格柵以及受面外荷載的平面框架。之所以仍稱(chēng)為平面梁?jiǎn)卧?，是由于結(jié)構(gòu)本身是架。之所以仍稱(chēng)為平面梁?jiǎn)卧怯捎诮Y(jié)構(gòu)本身是平面結(jié)構(gòu)，而節(jié)點(diǎn)也是平面結(jié)構(gòu)，而節(jié)點(diǎn)也是3個(gè)自由度。個(gè)自由度。x、Mx截面繞扭心軸的扭轉(zhuǎn)角和相應(yīng)扭矩。截面繞扭心軸的扭轉(zhuǎn)角和相應(yīng)扭矩。y、My截面繞截面繞y軸的彎曲轉(zhuǎn)角和相應(yīng)彎矩。軸的彎曲轉(zhuǎn)角和相應(yīng)彎矩。w、Q截面形心的橫向位移和相應(yīng)橫向剪力。截面形心的橫向位移和相應(yīng)橫向剪力。如果截面形心和扭心不重合，則彎曲和扭轉(zhuǎn)之如果截面形心和扭心不重合，則彎曲和扭轉(zhuǎn)之間是相互不獨(dú)立的。例如，橫向剪力不通過(guò)扭心，間是相互不獨(dú)立的。例如，橫向剪力不通過(guò)扭心

29、，它會(huì)引起對(duì)扭心軸的扭矩。它會(huì)引起對(duì)扭心軸的扭矩。這里只討論截面形心與扭心重合或可以近似認(rèn)這里只討論截面形心與扭心重合或可以近似認(rèn)為重合的情形。則彎曲和扭轉(zhuǎn)之間是相互獨(dú)立的。為重合的情形。則彎曲和扭轉(zhuǎn)之間是相互獨(dú)立的。此外，這里的扭轉(zhuǎn)限于純扭轉(zhuǎn)或稱(chēng)均勻扭轉(zhuǎn)。其此外，這里的扭轉(zhuǎn)限于純扭轉(zhuǎn)或稱(chēng)均勻扭轉(zhuǎn)。其特點(diǎn)是扭矩和扭率（單位長(zhǎng)度上的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角）成正特點(diǎn)是扭矩和扭率（單位長(zhǎng)度上的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角）成正比。即比。即lGJMxixjxj（4-49）扭矩平衡條件扭矩平衡條件0 xjxiMM（4-50）由此得由此得)()(xjxixjxjxixilGJMlGJM（4-51）式中式中GJ為截面扭轉(zhuǎn)剛度。為截面扭轉(zhuǎn)

30、剛度。只需要將式（只需要將式（4-48）中的）中的Iz換成換成Iy，并注意編號(hào)次序。，并注意編號(hào)次序。同時(shí)考慮到式（同時(shí)考慮到式（4-51），即得），即得323222323222126012606406200000126012606206400000lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlGJlGJlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlGJlGJkyyyyyyyyyyyyyyyye（4-52）4、空間梁?jiǎn)卧?、空間梁?jiǎn)卧?空間梁?jiǎn)卧?，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有空間梁?jiǎn)卧?，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有6個(gè)自由度，單元自由度個(gè)自由度，單元自由度為為12。圖。圖4-11給出了空間梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)位移分量的正方向給出了空

31、間梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)位移分量的正方向及其編號(hào)。單元力的正向及其編號(hào)與單元位移相同。及其編號(hào)。單元力的正向及其編號(hào)與單元位移相同。ijlxyzui xivi yiwi zivj yjwj zjuj xj圖圖4-11aijlxyz142536811912710圖圖4-11b 綜合前述結(jié)果，得空間梁?jiǎn)卧獑卧鴺?biāo)單元?jiǎng)偩C合前述結(jié)果，得空間梁?jiǎn)卧獑卧鴺?biāo)單元?jiǎng)偠染仃嚩染仃?式式4-53）（式）（式4-57）。）。4321kkkkke（4-53）lEIlEIlEIlEIlGJlEIlEIlEIlEIlEAkzzyyyyzz4000600406000000006012006000120000002223231（4-

32、54）lEIlEIlEIlEIlGJlEIlEIlEIlEIlEAkzzyyyyzz2000600206000000006012006000120000002223232（4-55）lEIlEIlEIlEIlGJlEIlEIlEIlEIlEAkzzyyyyzz2000600206000000006012006000120000002223233（4-56）lEIlEIlEIlEIlGJlEIlEIlEIlEIlEAkzzyyyyzz4000600406000000006012006000120000002223234（4-57）4.5 單元特性在兩類(lèi)坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)換單元特性在兩類(lèi)坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)換

33、在在4.3、4.4節(jié)中，單元位移和單元力都是按單元節(jié)中，單元位移和單元力都是按單元坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸分量定義的，由此建立的單元?jiǎng)偠染刈鴺?biāo)系的坐標(biāo)軸分量定義的，由此建立的單元?jiǎng)偠染仃噷儆趩卧鴺?biāo)單元?jiǎng)偠染仃?。陣屬于單元坐?biāo)單元?jiǎng)偠染仃嚒＿M(jìn)行系統(tǒng)分析時(shí)，需要把單元力按統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)坐進(jìn)行系統(tǒng)分析時(shí)，需要把單元力按統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)坐標(biāo)軸的分量表示出來(lái)，以便建立節(jié)點(diǎn)平衡方程。因此，標(biāo)軸的分量表示出來(lái)，以便建立節(jié)點(diǎn)平衡方程。因此，在進(jìn)行系統(tǒng)分析之前，必須把單元坐標(biāo)系中的單元力在進(jìn)行系統(tǒng)分析之前，必須把單元坐標(biāo)系中的單元力以及單元?jiǎng)偠染仃嚩嫁D(zhuǎn)換到結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中去。此外，以及單元?jiǎng)偠染仃嚩嫁D(zhuǎn)換到結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中去。此外，還需要

34、把結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的節(jié)點(diǎn)位移轉(zhuǎn)換到單元坐標(biāo)系還需要把結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的節(jié)點(diǎn)位移轉(zhuǎn)換到單元坐標(biāo)系中去，以計(jì)算結(jié)構(gòu)內(nèi)力。因此了解坐標(biāo)變換是必要的。中去，以計(jì)算結(jié)構(gòu)內(nèi)力。因此了解坐標(biāo)變換是必要的。設(shè)設(shè)XYZ為結(jié)構(gòu)坐標(biāo)（整體）系，為結(jié)構(gòu)坐標(biāo)（整體）系，xyz為單元（局為單元（局部）坐標(biāo)系，部）坐標(biāo)系，約定下列符號(hào)：約定下列符號(hào)：結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元位移結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元位移 F 結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元力結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元力 k結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃嚱Y(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃?1、坐標(biāo)變換矩陣定義、坐標(biāo)變換矩陣定義 把單元位移從結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到單元坐標(biāo)系的變把單元位移從結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到單元坐標(biāo)系的變換矩陣定義為坐標(biāo)變換矩陣，用符號(hào)換矩陣定義為坐標(biāo)變

35、換矩陣，用符號(hào)R表示表示。有。有繼續(xù)使用前單元坐標(biāo)中的符號(hào)：繼續(xù)使用前單元坐標(biāo)中的符號(hào)：e單元坐標(biāo)單元位移單元坐標(biāo)單元位移 F e單元坐標(biāo)單元力單元坐標(biāo)單元力 ke單元坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃噯卧鴺?biāo)單元?jiǎng)偠染仃?式（式（4-58）給出了結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元位移轉(zhuǎn)換為單元）給出了結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元位移轉(zhuǎn)換為單元坐標(biāo)單元位移的轉(zhuǎn)換式，同時(shí)是坐標(biāo)變換矩陣坐標(biāo)單元位移的轉(zhuǎn)換式，同時(shí)是坐標(biāo)變換矩陣R的的定義式。定義式。本節(jié)只了解本節(jié)只了解R的存在和概念，有關(guān)坐標(biāo)變的存在和概念，有關(guān)坐標(biāo)變換矩陣換矩陣R 的具體形式、內(nèi)容留在的具體形式、內(nèi)容留在4.6節(jié)中專(zhuān)門(mén)討論。節(jié)中專(zhuān)門(mén)討論。2、結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元力、結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元力 單元力在單元

36、位移上作的功，不因其坐標(biāo)系的改單元力在單元位移上作的功，不因其坐標(biāo)系的改變而變。則有變而變。則有 TeTeFF)(Re（4-58）將式（將式（4-58）代入，）代入，TTeFRF)(對(duì)上式兩端進(jìn)行轉(zhuǎn)置，注意到對(duì)上式兩端進(jìn)行轉(zhuǎn)置，注意到TTTABBA消去消去，得，得 TTeFRF)(即得即得 eTFRF（4-59）式（式（4-59）表明：）表明：結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元力等于單元坐標(biāo)單元結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元力等于單元坐標(biāo)單元力前乘坐標(biāo)變換矩陣的轉(zhuǎn)置。力前乘坐標(biāo)變換矩陣的轉(zhuǎn)置。必須指出：式（必須指出：式（4-58）是從整體（結(jié)構(gòu)）坐標(biāo)系）是從整體（結(jié)構(gòu)）坐標(biāo)系到局部（單元）坐標(biāo)系的變換式；式（到局部（單元）坐標(biāo)系的變

37、換式；式（4-59）是從局）是從局部（單元）坐標(biāo)系到整體（結(jié)構(gòu)）坐標(biāo)系的變換式。部（單元）坐標(biāo)系到整體（結(jié)構(gòu)）坐標(biāo)系的變換式。在單元坐標(biāo)系中，有在單元坐標(biāo)系中，有 eeekF 3、結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃?、結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃嚿鲜絻啥俗蟪松鲜絻啥俗蟪薘T，eeTeTkRFR注意到式（注意到式（4-58）、（）、（4-59），有），有 Re（4-58）eTFRF（4-59）RkRFeT kF k結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃嚒＝Y(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃?。并有并?RkRkeT（4-60）式（式（4-60）給出了把單元坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃囖D(zhuǎn)換）給出了把單元坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃囖D(zhuǎn)換為結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃嚨霓D(zhuǎn)換式。為結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元

38、剛度矩陣的轉(zhuǎn)換式。4.6 坐標(biāo)變換矩陣坐標(biāo)變換矩陣 坐標(biāo)變換矩陣因單元類(lèi)型不同而異。坐標(biāo)變換矩陣因單元類(lèi)型不同而異。1、平面鉸接桿單元、平面鉸接桿單元 設(shè)設(shè)OXY為結(jié)構(gòu)坐標(biāo)，為結(jié)構(gòu)坐標(biāo)，oxy為單元坐標(biāo)。為單元坐標(biāo)。為任意為任意單元單元 i 端的任一矢量。它在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的分量為端的任一矢量。它在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的分量為 X、Y；在單元坐標(biāo)系中的分量為；在單元坐標(biāo)系中的分量為 x、y。X、Y 在在單元坐標(biāo)單元坐標(biāo)x軸上投影的代數(shù)和給出軸上投影的代數(shù)和給出 x。同理，。同理，X、Y 在單元坐標(biāo)在單元坐標(biāo)y軸上投影的代數(shù)和給出軸上投影的代數(shù)和給出 y。由圖由圖4-12得：得：XYxy X Y x yi

39、圖圖4-12cossinsincosYXyYXx（4-61）寫(xiě)成矩陣形式，寫(xiě)成矩陣形式，YXyxcossinsincos取取ejjeiivuvu,得得jjiiejjiivuvuvuvucossin00sincos0000cossin00sincos上式可寫(xiě)成上式可寫(xiě)成 Re坐標(biāo)變換矩陣坐標(biāo)變換矩陣R的具體內(nèi)容為：的具體內(nèi)容為：用節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)描述方向余弦：用節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)描述方向余弦：（4-62）cossin00sincos0000cossin00sincosRlYYlXXijijsin,cos（4-62a）式中，（式中，（Xi，Yi）和（）和（Xj，Yj）分別為節(jié)點(diǎn)）分別為節(jié)點(diǎn)I和節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)j在在結(jié)構(gòu)坐

40、標(biāo)系中的坐標(biāo)值。結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值。2、兩端承受剪力、彎矩的平面梁?jiǎn)卧?、兩端承受剪力、彎矩的平面梁?jiǎn)卧?如果在連續(xù)梁中使用這類(lèi)單元，通?？蓪卧绻谶B續(xù)梁中使用這類(lèi)單元，通?？蓪卧鴺?biāo)和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)取得一致。此時(shí)，無(wú)須進(jìn)行坐標(biāo)變坐標(biāo)和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)取得一致。此時(shí)，無(wú)須進(jìn)行坐標(biāo)變換。換。3、兩端承受軸力、剪力、彎矩的平面梁?jiǎn)卧?、兩端承受軸力、剪力、彎矩的平面梁?jiǎn)卧?此時(shí)，節(jié)點(diǎn)自由度為此時(shí)，節(jié)點(diǎn)自由度為3，見(jiàn)圖，見(jiàn)圖4-13。ijxy 2 3 5 6l 1 4圖圖4-13 注意單元坐標(biāo)系注意單元坐標(biāo)系xy平面和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系平面和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系XY平面在同平面在同一平面上，因而單元坐標(biāo)系一平面上，因而單元坐標(biāo)

41、系z(mì)軸和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系的軸和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系的Z軸總軸總有相同指向，所以恒有：有相同指向，所以恒有：ZzZzMM 線位移的坐標(biāo)變換式和平面鉸接桿完全相同。于是線位移的坐標(biāo)變換式和平面鉸接桿完全相同。于是得到：得到：1000000sincos0000sincos0000001000000cossin0000sincosR（4-63）zjjjziiiezjjjziiivuvuRvuvuijxyz 4、兩端承受扭矩和面外剪力、彎矩的平面梁?jiǎn)卧?、兩端承受扭矩和面外剪力、彎矩的平面梁?jiǎn)卧?此時(shí)，此時(shí)，xy平面和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系平面和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系XY平面仍在同一平面平面仍在同一平面上，因而上，因而z軸和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系的軸和結(jié)構(gòu)

42、坐標(biāo)系的Z軸指向相同，只須取軸指向相同，只須取l圖圖4-14 xi xj yi yjWiWjXYZ在單元坐標(biāo)系中，單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)（如在單元坐標(biāo)系中，單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)（如i）有）有3個(gè)位移分個(gè)位移分量：量：xi、yi和和wi，它的變換式和承受軸力、剪力、彎矩的平面梁?jiǎn)?，它的變換式和承受軸力、剪力、彎矩的平面梁?jiǎn)卧▓D元（圖4-13）中向量）中向量eiivu的變換式相同。的變換式相同。并且，恒有并且，恒有ieiWW ijxyvi ivj jluiuj圖圖4-13eyixi向量向量，其變換和承受軸力、剪力、彎矩的平面梁?jiǎn)卧械模渥儞Q和承受軸力、剪力、彎矩的平面梁?jiǎn)卧械膇ei相同。相同。由此知：由此知：

43、jYjXjiYiXiejyjxjiyixieWWRRWW 5、空間鉸接桿單元、空間鉸接桿單元 空間鉸接桿單元的每個(gè)節(jié)點(diǎn)有空間鉸接桿單元的每個(gè)節(jié)點(diǎn)有3個(gè)相互垂直的線個(gè)相互垂直的線位移分量（位移分量（u、v、w）。單元自由度為）。單元自由度為6，如圖，如圖4-15。其中，坐標(biāo)變換矩陣其中，坐標(biāo)變換矩陣R的內(nèi)容與式（的內(nèi)容與式（4-63）相同。）相同。xyzij圖圖4-15 設(shè)向量設(shè)向量（圖（圖4-16）在單元坐標(biāo)系和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系在單元坐標(biāo)系和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系兩個(gè)坐標(biāo)系中的分量被表示兩個(gè)坐標(biāo)系中的分量被表示 為：為：1 2 3 4 5 6（1）一般空間鉸接桿單元）一般空間鉸接桿單元一般空間鉸接桿單元指非豎直

44、桿單元。一般空間鉸接桿單元指非豎直桿單元。XYZxyz圖圖4-16 ZYXzyxe,x、y、z、向量向量 在單元坐標(biāo)軸上的分量在單元坐標(biāo)軸上的分量 X、Y、Z、向量向量 在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)軸上的分量在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)軸上的分量有有 333231232221131211（4-65）是坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣，是單元坐標(biāo)軸是坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣，是單元坐標(biāo)軸x、y、z在在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系XYZ中的方向余弦：中的方向余弦：11、12、13x軸在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系軸在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系XYZ中的方向余弦中的方向余弦 21、22、23y軸在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系軸在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系XYZ中的方向余弦中的方向余弦 31、32、33z軸在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系軸在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系X

45、YZ中的方向余弦中的方向余弦 e（4-64）容易理解，式（容易理解，式（4-64）可代表）可代表空間鉸接桿中一個(gè)空間鉸接桿中一個(gè)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移坐標(biāo)變換。空間鉸接桿單元有節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移坐標(biāo)變換?？臻g鉸接桿單元有2個(gè)節(jié)個(gè)節(jié)點(diǎn)，所以坐標(biāo)變換矩陣一般可表示為：點(diǎn)，所以坐標(biāo)變換矩陣一般可表示為：00R（4-66）下面討論下面討論 矩陣中，元素矩陣中，元素 ij(i=1、2、3，j=1、2、3)。對(duì)于空間鉸接桿單元，無(wú)論單元在結(jié)構(gòu)中的位置對(duì)于空間鉸接桿單元，無(wú)論單元在結(jié)構(gòu)中的位置如何，都可以把單元坐標(biāo)系的如何，都可以把單元坐標(biāo)系的xy面和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系的面和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系的XY面取成豎向平面，單元坐標(biāo)系的面取成豎

46、向平面，單元坐標(biāo)系的z軸和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系軸和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系的的Z軸同在水平面內(nèi)（圖軸同在水平面內(nèi)（圖4-17）。）。xyzXYZ 圖圖4-17 i j lj x軸在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的軸在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的3個(gè)方向余弦：個(gè)方向余弦：jXjZ任一單元任一單元ij的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為l。單元坐標(biāo)系中。單元坐標(biāo)系中x軸從軸從i指向指向j，lZZlYYlXXijijij131211,（4-67）Xi、Yi、Zi節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)i在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)Xj、Yj、Zj節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)j在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)z軸在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的軸在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的3個(gè)方向余弦：個(gè)方向余弦：注意到注意到Y(jié)軸、軸、x軸和線段軸和

47、線段ij 在同一豎直平面內(nèi)。在同一豎直平面內(nèi)。z軸在水平面內(nèi)，軸在水平面內(nèi)，z軸與軸與Y軸垂直，軸垂直，z軸也與軸也與線段線段ij 垂直。垂直。z軸在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的軸在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的3個(gè)方向余弦為：個(gè)方向余弦為：sin)2cos(),cos(31Xz22)()(ijijijXZZXXZZj ij j代入式（代入式（4-67），得），得 213211133102cos),cos(32Yz2132111133cos),cos(Zz（4-68）y軸在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的軸在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的3個(gè)方向余弦：個(gè)方向余弦：引入記號(hào)：引入記號(hào)：i1、i2、i3結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中3個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位矢量個(gè)坐標(biāo)軸方

48、向的單位矢量e1、e2、e3單元坐標(biāo)系中單元坐標(biāo)系中3個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位矢量個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位矢量有有3132121111iiie3232221212iiie3332321313iiie因?yàn)閱卧鴺?biāo)系是右手螺旋坐標(biāo)系，故有因?yàn)閱卧鴺?biāo)系是右手螺旋坐標(biāo)系，故有132eee按矢量乘法規(guī)則，即得按矢量乘法規(guī)則，即得131211333132120iiie31231213311133112332)()()(iiie于是得于是得213211131212312321321113311133222132111211123321（4-69）綜合式（綜合式（4-67）、（）、（4-68）、（）、（4-69），得空

49、間鉸接），得空間鉸接桿單元的桿單元的 矩陣矩陣 2132111121321113213211131221321121321112111312110（4-70）綜上所述，一般空間鉸接桿單元的坐標(biāo)變換矩陣綜上所述，一般空間鉸接桿單元的坐標(biāo)變換矩陣由式（由式（4-66）、（）、（4-70）、（）、（4-67）確定。）確定。必須指出：對(duì)于豎直空間鉸接桿單元，式（必須指出：對(duì)于豎直空間鉸接桿單元，式（4-70）是不能用的，因?yàn)槭遣荒苡玫模驗(yàn)?112+132=0，將導(dǎo)致計(jì)算溢出。，將導(dǎo)致計(jì)算溢出。（2）豎直空間鉸接桿單元豎直空間鉸接桿單元 豎直的空間鉸接桿單元不外有圖豎直的空間鉸接桿單元不外有圖4-18

50、示出的兩種示出的兩種情況：情況：XYZijxyzXYZijxyz圖圖4-18（a）（b）對(duì)于豎直的空間鉸接桿單元，單元坐標(biāo)系中的對(duì)于豎直的空間鉸接桿單元，單元坐標(biāo)系中的z軸方向沒(méi)有特殊限制，水平面內(nèi)任何方向皆可取作軸方向沒(méi)有特殊限制，水平面內(nèi)任何方向皆可取作z軸方向。為了計(jì)算簡(jiǎn)便起見(jiàn)，這里規(guī)定：軸方向。為了計(jì)算簡(jiǎn)便起見(jiàn)，這里規(guī)定：z軸方向與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的軸方向與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的Z軸方向相同。軸方向相同。根據(jù)圖根據(jù)圖4-18容易確定單元坐標(biāo)軸容易確定單元坐標(biāo)軸x、y、z在結(jié)構(gòu)在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的方向余弦，從而直接得到坐標(biāo)系中的方向余弦，從而直接得到 矩陣：矩陣：10000001212（4-71）式（式

51、（4-71）對(duì)于圖）對(duì)于圖4-18中的兩種情況都適用。對(duì)中的兩種情況都適用。對(duì)（a）圖，）圖，12=1；對(duì)（；對(duì)（b）圖，）圖，12=-1。豎直空間鉸接桿單元的坐標(biāo)變換矩陣豎直空間鉸接桿單元的坐標(biāo)變換矩陣R與一與一般空間鉸接桿單元之不同，在于應(yīng)使用式（般空間鉸接桿單元之不同，在于應(yīng)使用式（4-71）而不要使用式（而不要使用式（4-70）去計(jì)算）去計(jì)算 矩陣。矩陣。6、空間梁?jiǎn)卧?、空間梁?jiǎn)卧?和空間鉸接桿單元比較，空間梁?jiǎn)卧幸韵聝珊涂臻g鉸接桿單元比較，空間梁?jiǎn)卧幸韵聝蓚€(gè)特點(diǎn)：個(gè)特點(diǎn)：特點(diǎn)特點(diǎn)1：每個(gè)節(jié)點(diǎn)有沿單元坐標(biāo)軸方向的兩組位移：每個(gè)節(jié)點(diǎn)有沿單元坐標(biāo)軸方向的兩組位移 向量，即線位移（向量，

52、即線位移（ui、vi、wi）和角位移）和角位移 （xi、yi、zi）。它們都需要坐標(biāo)變換。）。它們都需要坐標(biāo)變換。特點(diǎn)特點(diǎn)2：空間梁?jiǎn)卧獑卧鴺?biāo)系中的：空間梁?jiǎn)卧獑卧鴺?biāo)系中的y、z軸是單元橫截軸是單元橫截 面上的兩個(gè)慣性主軸，可能是不能任意確定面上的兩個(gè)慣性主軸，可能是不能任意確定 的，因而無(wú)法保證的，因而無(wú)法保證z軸一定在水平面內(nèi)，即在軸一定在水平面內(nèi)，即在 結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的XZ平面內(nèi)。這就導(dǎo)致平面內(nèi)。這就導(dǎo)致 矩陣矩陣 的計(jì)算變得比空間鉸接桿復(fù)雜得多。的計(jì)算變得比空間鉸接桿復(fù)雜得多。因此，坐標(biāo)變換矩陣應(yīng)為：因此，坐標(biāo)變換矩陣應(yīng)為：R00（4-72）式（式（4-72）表明了它和

53、鉸接桿單元式（）表明了它和鉸接桿單元式（4-66）的）的第一項(xiàng)區(qū)別。第一項(xiàng)區(qū)別。（1）可以使用空間鉸接桿單元）可以使用空間鉸接桿單元 矩陣的梁?jiǎn)卧仃嚨牧簡(jiǎn)卧?具有軸對(duì)稱(chēng)截面的梁?jiǎn)卧哂休S對(duì)稱(chēng)截面的梁?jiǎn)卧?這時(shí)，截面內(nèi)過(guò)形心的任一根軸皆可作為慣性主軸。這時(shí)，截面內(nèi)過(guò)形心的任一根軸皆可作為慣性主軸。因而，恒可因而，恒可z軸取在水平面內(nèi)。軸取在水平面內(nèi)。對(duì)于豎直空間梁?jiǎn)卧?，也可使?duì)于豎直空間梁?jiǎn)卧?，也可使z軸與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系的軸與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系的Z軸重合。因而可用豎直鉸接桿單元的軸重合。因而可用豎直鉸接桿單元的 矩陣（式（矩陣（式（4-67）、（）、（4-71）。截面有一根形心軸在水平面內(nèi)截面有一根形心軸

54、在水平面內(nèi) 這時(shí)，可使用一般空間鉸接桿單元的這時(shí)，可使用一般空間鉸接桿單元的 矩陣（式矩陣（式（4-70）、（）、（4-67）進(jìn)行計(jì)算。必須指出，如果是）進(jìn)行計(jì)算。必須指出，如果是單元是豎直的，只要不能保證單元是豎直的，只要不能保證z軸與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的軸與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的Z以下兩種情況可以使用鉸接桿單元的以下兩種情況可以使用鉸接桿單元的 矩陣。矩陣。軸重合，都不能使用豎向鉸接桿單元的軸重合，都不能使用豎向鉸接桿單元的 矩陣。矩陣。（2）截面慣性主軸無(wú)一在水平面內(nèi)的空間梁?jiǎn)卧┙孛鎽T性主軸無(wú)一在水平面內(nèi)的空間梁?jiǎn)卧?不能使用空間鉸接桿單元不能使用空間鉸接桿單元 矩陣的情形矩陣的情形 設(shè)結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系設(shè)

55、結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系XYZ，單元坐標(biāo)系，單元坐標(biāo)系xyz。y、z是梁截是梁截面的兩個(gè)慣性主軸（圖面的兩個(gè)慣性主軸（圖4-19a）yzXYZ(a)圖圖4-19xXYZxyz(b)圖圖4-191e3e2e 在單元坐標(biāo)系的在單元坐標(biāo)系的3個(gè)坐標(biāo)軸上分別取個(gè)坐標(biāo)軸上分別取3個(gè)單位矢?jìng)€(gè)單位矢量：量：e1、e2、e3。結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中。結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中3個(gè)坐標(biāo)軸上的單位個(gè)坐標(biāo)軸上的單位矢量為矢量為i1、i2、i3。yzXYZ(a)xXYZxyz3e2e3132121111iiie3232221212iiie3332321313iiie 11、12、13由式（由式（4-67）確定，是已知的，）確定，是已知的，即即e1是已知的

56、?，F(xiàn)在只須計(jì)算是已知的?，F(xiàn)在只須計(jì)算e2、e3。為此，。為此，在主慣在主慣性平面性平面xy上任取一參考點(diǎn)上任取一參考點(diǎn)k，k點(diǎn)不能在點(diǎn)不能在x軸上，軸上，k點(diǎn)在點(diǎn)在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)記為（結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)記為（Xk、Yk、Zk）。ij1ek 沿線段沿線段i k方向取單位向量方向取單位向量g，g在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的的3個(gè)方向余弦是：個(gè)方向余弦是：gkikkikkikDZZgDYYgDXXg321,（4-73）222)()()(ikikikkZZYYXXD（4-74）因因z軸與軸與xy平面垂直，故有平面垂直，故有g(shù)egee113（4-75）再?gòu)挠沂致菪苯亲鴺?biāo)系條件確定再?gòu)挠沂致菪苯?/p>

57、坐標(biāo)系條件確定e2，（4-76）132eee下面，用式（下面，用式（4-75）、（）、（4-76）計(jì)算各有關(guān)）計(jì)算各有關(guān) 值。值。3211312113211gggiiige312111221131311132123)()()(iggiggigg記記則則332211113iAAiAAiAAgegee11213121321211,ggAggA2322211211123,AAAAggA（4-77）故故AAAAAA/,/,/333232131（4-78）最后，用式（最后，用式（4-76）計(jì)算）計(jì)算 21、22、23。131211333231321132iiieee3113212312133111331

58、12331332)()()(iii把式（把式（4-78）代入后，得）代入后，得AAAAAAAAA/)(/)(/)(112121231311132212313221（4-79）333231232221131211（4-80）綜合上述結(jié)果，一般空間梁?jiǎn)卧木C合上述結(jié)果，一般空間梁?jiǎn)卧?矩陣為：矩陣為：矩陣中的各元素分別由式（矩陣中的各元素分別由式（4-67）、（）、（4-74）、（、（4-77）、（、（4-78）和（）和（4-79）計(jì)算。然后，代入式（）計(jì)算。然后，代入式（4-72）計(jì)算坐標(biāo)變換矩陣）計(jì)算坐標(biāo)變換矩陣R。具體計(jì)算步驟如下：。具體計(jì)算步驟如下：1 按照節(jié)點(diǎn)按照節(jié)點(diǎn)i和和j在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)

59、系中的坐標(biāo)值，用式在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值，用式 （4-67）算出）算出 11、12和和 13。2 由給定的由給定的xy平面上的任一點(diǎn)平面上的任一點(diǎn)k在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的 坐標(biāo)值，用式（坐標(biāo)值，用式（4-73）、）、（4-74）算）算g1、g2和和g3。3 用式（用式（4-77）算）算A1、A2、A3 和和A。4 用式（用式（4-79）和（）和（4-78）算）算 矩陣中的第矩陣中的第2行和行和 第第3行。行。5 用式（用式（4-72）完成坐標(biāo)變換矩陣）完成坐標(biāo)變換矩陣R。最后指出兩點(diǎn)：最后指出兩點(diǎn)：參考點(diǎn)參考點(diǎn)k不能取在不能取在x軸上，否則軸上，否則e1和和g共線，共線，e1g=0；

60、用式（用式（4-80）建立的）建立的 矩陣也適合于豎直梁?jiǎn)卧仃囈策m合于豎直梁?jiǎn)卧?，包括包括中中a)、b)兩種情形在內(nèi)。兩種情形在內(nèi)。本本 章章 小小 結(jié)結(jié)2、建立起單元坐標(biāo)系，推演出單元坐標(biāo)單元特性、建立起單元坐標(biāo)系，推演出單元坐標(biāo)單元特性 矩陣：應(yīng)力矩陣矩陣：應(yīng)力矩陣S、等價(jià)節(jié)點(diǎn)力列陣、等價(jià)節(jié)點(diǎn)力列陣 F e、單、單 元?jiǎng)偠染仃囋獎(jiǎng)偠染仃噆e等。等。1、取桿件與桿件交點(diǎn)、集中力作用點(diǎn)、桿件與支承、取桿件與桿件交點(diǎn)、集中力作用點(diǎn)、桿件與支承 的交點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)。相鄰兩節(jié)點(diǎn)間的桿件段是單元。的交點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)。相鄰兩節(jié)點(diǎn)間的桿件段是單元。節(jié)點(diǎn)和單元都要編號(hào)。記錄下節(jié)點(diǎn)、單元基本信節(jié)點(diǎn)和單元都要編號(hào)。記錄

61、下節(jié)點(diǎn)、單元基本信 息。息。3、建立單元坐標(biāo)和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)兩類(lèi)坐標(biāo)系中單元特性、建立單元坐標(biāo)和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)兩類(lèi)坐標(biāo)系中單元特性 的轉(zhuǎn)換公式的轉(zhuǎn)換公式 Re（4-58）eTFRF（4-59）RkRkeT（4-60）4、建立不同類(lèi)型桿件單元的坐標(biāo)變換矩陣、建立不同類(lèi)型桿件單元的坐標(biāo)變換矩陣R5、本章最終結(jié)果是得到結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染?、本章最終結(jié)果是得到結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染?陣陣k和等價(jià)節(jié)點(diǎn)荷載矩陣和等價(jià)節(jié)點(diǎn)荷載矩陣 F。通過(guò)本章學(xué)習(xí)，為后面組集結(jié)構(gòu)剛度矩陣、通過(guò)本章學(xué)習(xí)，為后面組集結(jié)構(gòu)剛度矩陣、結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)荷載列陣打下了基礎(chǔ)。結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)荷載列陣打下了基礎(chǔ)。第第 四四 章章 完完xy 1 2 3 4xyq

62、1q2q3q4XYZijxyzXYZijxyz圖圖4-17（a）（b）肚松衯宸&愮鐝D)?$?d悡!餯怉 扈鋹A 嘬貑 d?噡1/2001騫寸15鏈?-CRM鍦氱敤.files/imgr_logo.gif 冣杁9/ERP鏂噡1/2001騫寸15鏈?-CRM鍦氱敤.files/logo.gif 冟?A/ERP鏂噡1/2001騫寸15鏈?-CRM鍦敤.files/logo_compute.gif 冡?疘1/ERP鏂噡1/2001騫寸15鏈?-瀵瑰啿鍔涢噺.files/9/ERP鏂噡1/2001騫寸15鏈?-瀵瑰啿鍔涢噺.files/0830.gif冧塖阇8/ERP鏂噡1/2001騫寸15鏈?-瀵瑰

63、啿鍔涢噺.files/4-2.gif 冨篰飁/ERP鏂噡1/2001騫寸15鏈?-瀵瑰啿鍔涢噺.files/imgr_logo.gif 冨杁9/ERP鏂噡1/2001騫寸15鏈?-瀵瑰啿鍔涢噺.files/logo.gif 冦旿?A/ERP鏂噡1/2001騫寸15鏈?-瀵瑰啿鍔涢噺.files/logo_compute.gif 冧?疘4/ERP鏂噡1/2001騫寸15鏈?-灝忕櫧榧犲拰ERP.files/ERP鏂噡1/2001騫寸15鏈?-灝忕櫧榧犲拰ERP.files/0830.gif 冪阇?/ERP鏂噡1/2001騫寸15鏈?-灝忕櫧榧犲拰ERP.files/biaoshi.gif 冭賏?

64、;/ERP鏂噡1/2001騫寸15鏈?-灝忕櫧榧犲拰ERP.files/cio.gif 冩?=/ERP鏂噡1/2001騫寸15鏈?-灝忕櫧榧犲拰ERP.files/email.gif冩?A/ERP鏂噡1/2001騫寸15鏈?-灝忕櫧榧犲拰ERP.files/imgr_logo.gif 冭聖杁/ERP鏂噡1/2001騫寸15鏈?-灝忕櫧榧犲拰ERP.files/logo.gif 冩碝?D/ERP鏂噡1/2001騫寸15鏈?-灝忕櫧榧犲拰ERP.files/logo_compute.gif 冭?疘:/ERP鏂噡1/2001騫寸17鏈?-鏂版湇鍔粡嫻庢誕鐜?files/F/ERP鏂噡1/2001騫寸

65、17鏈?-鏂版湇鍔粡嫻庢誕鐜?files/astd_oct.gif 冮烜?E/ERP鏂噡1/2001騫寸17鏈?-鏂版湇鍔粡嫻庢誕鐜?files/biaoshi.gif 凅?C/ERP鏂噡1/2001騫寸17鏈?-鏂版湇鍔粡嫻庢誕鐜?files/email.gif 冮?G/ERP鏂噡1/2001騫寸17鏈?-潕肚松衯?雎?lián)]=?牓2d?h糖=M 痞?(瘣滸?(h?棧哐鋃$*?z 3蓚W 傯=%u旄 冏?塧?腦?U ZYY h?鵓?鎂+x脲燴哠K?q 梽桃 羀徬?w?錭X?C?e?gei鎃+,nit噈鲃 c?u锳 9 硄 輕儍L8踇縎;W岐?u rH?Wx鵛 8 吷y 兞 戀W 六 堲?-猴w兂.

66、+嬼?墎 娮?嗠鸊GiJ倭r J?侜!?u?唻蕛?凓|?縖鴰嬔r 責(zé)|A伾 鼐*?%磣嬓冴 苻 高 Hv霼?m|兪 T?4撠?聝?飌Z0?t蕞筍 訌?3髀続c?p?t 壉鄪Mr+?p;8齚 p 蕞驅(qū)_嬝3?%?佝較#?u嬻芺婩*?莀X _?萄阯K詴qM?x拱曃?鳡?+腰+?艃?U?葭?橗?岶%媗祆?呿祴?峙%Ms?叫 篂?X?$?F笂斚汶弸邏s?苾铏p蔭淥?呉坡Y詢生蓯籀 塡塠=?鬋 昆?SZ?|?匡?(別?鯇Z0 l 慶琶 5艭危?內(nèi)?g?a?J?$孅?0lH 効譱蘑?R?;N?囏a杸)G?t$撈-0?c+僿?v胐顑o 2?刻 N稍嶀?寃?泲?a礙鵠YZF猏虓贋用 拷T,V3 B勵(lì)=桽=?ST傄u烶輤 腙鯧0_儖?絅=計(jì)裌 巹4飪秞?塀墕銒t隿+廢 榰N 82)撅?uG?儅導(dǎo)鴣 鮁 e 5?O軸C冾:_)5隠瑾.觠0峗E?王?謷呻 u?蓌 X0?艣專(zhuān)?u?V=Zt望?v;3蒛h8#?d?z痣W兠 兯凔?黃T?彄貖?ty?嗥 肻Bu SU?x墊侓?嬎茆=D彎塎 偗aN?婻 鞽咢0v箅 _溹?J)橆1e?c?r?螢G;烹2C?c?炩?婾 U蔙T宆 Q?啪)u 鏗竗?莙 0 釆U$_饎囕