2022-2023學(xué)年福建省永安市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

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1、數(shù)學(xué)試題 完卷時(shí)間120分鐘；滿分150分 第Ⅰ卷 一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．復(fù)數(shù)的虛部為（ ） A．1 B． C． D． 2．已知平面向量，，且，則（ ） A． B． C． D． 3．如圖，是的直觀圖，則是（ ） A．正三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都有可能 4．下圖是一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，設(shè)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為M，中位數(shù)為N，則關(guān)于M與N的大小關(guān)系，下面說(shuō)法正確的是（ ） A． B． C． D．不確定 5．云南某鎮(zhèn)因地制宜，在政府的

2、帶領(lǐng)下，數(shù)字力量賦能鄉(xiāng)村振興，利用“農(nóng)抬頭”智慧農(nóng)業(yè)平臺(tái)，通過(guò)大數(shù)據(jù)精準(zhǔn)分析柑橘等特色產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)數(shù)量、價(jià)格走勢(shì)、市場(chǎng)供求等數(shù)據(jù)，幫助小農(nóng)戶找到大市場(chǎng)，開(kāi)啟“直播電商”銷售新模式，推進(jìn)當(dāng)?shù)靥厣r(nóng)產(chǎn)品“走出去”；通過(guò)“互聯(lián)網(wǎng)旅游”聚焦特色農(nóng)產(chǎn)品、綠色食品、生態(tài)景區(qū)資源．下面是2022年7月到12月份該鎮(zhèn)甲、乙兩村銷售收入統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：百萬(wàn)）： 甲：5，6，6，7，8，16； 乙：4，6，8，9，10，17． 根據(jù)上述數(shù)據(jù)，則（ ） A．甲村銷售收入的第50百分位數(shù)為7百萬(wàn) B．甲村銷售收入的平均數(shù)小于乙村銷售收入的的平均數(shù) C．甲村銷售收入的中位數(shù)大于乙村銷售收入的中位數(shù) D

3、．甲村銷售收入的方差大于乙村銷售收入的方差 6．“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連，秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月兩節(jié)不變史，最多相差一兩天．”中國(guó)農(nóng)歷的“二十四節(jié)氣”，凝結(jié)著中華民族的智慧，是中國(guó)傳統(tǒng)文化的結(jié)晶，如五月有立夏、小滿，六月有芒種、夏至，七月有小暑、大暑，現(xiàn)從五月、六月、七月這六個(gè)節(jié)氣中任選兩個(gè)節(jié)氣，則這兩個(gè)節(jié)氣恰在同一個(gè)月的概率為（ ） A． B． C． D． 7．在中，已知角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足，，D為BC的中點(diǎn)，，則（ ） A． B．3 C． D．4 8．兩個(gè)邊長(zhǎng)為4的正三角形與，沿公共邊AB折疊成的二面角，若點(diǎn)A，B，C，D

4、在同一球O的球面上，則球O的表面積為（ ） A． B． C． D． 二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分． 9．已知復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ） A． B．z的共軛復(fù)數(shù)是 C．復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 D． 10．設(shè)平面向量，滿足，且，則（ ） A． B． C． D．與的夾角為 11．設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，以下命題正確的為（ ） A．若A，B是互斥事件，，，則 B．若A，B是對(duì)立事件，則 C．若A，B是獨(dú)立事件，，，則 D．若，

5、，且，則A，B是獨(dú)立事件 12．如圖，在幾何體中，平面平面，，，平面，底面為直角梯形．，E為的中點(diǎn)，，則（ ） A． B． C．AC與所成角的余弦值為 D．幾何體的體積為2 第Ⅱ卷 三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上． 13．2020年新冠肺炎疫情期間，為停課不停學(xué)，某高中實(shí)施網(wǎng)上教學(xué)．該高中為了解網(wǎng)課學(xué)習(xí)效果，組織了一次網(wǎng)上測(cè)試．并利用分層抽樣的方法從高中3個(gè)年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了150人的測(cè)試成績(jī)，其中高一、高二年級(jí)各抽取了40人，50人，若高三年級(jí)有學(xué)生1200人，則該高中共有學(xué)生________人． 14．若樣本數(shù)據(jù)的方

6、差為3，則數(shù)據(jù)的方差為_(kāi)_______． 15．已知復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則________． 16．一所初級(jí)中學(xué)為了估計(jì)全體學(xué)生的平均身高和方差，通過(guò)抽樣的方法從初一年級(jí)隨機(jī)抽取了30人，計(jì)算得這30人的平均身高為，方差為30；從初二年級(jí)隨機(jī)抽取了40人，計(jì)算得這40人的平均身高為，方差為20；從初三年級(jí)隨機(jī)抽取了30人，計(jì)算得這30人的平均身高為，方差為10．依據(jù)以上數(shù)據(jù)，若用樣本的方差估計(jì)全校學(xué)生身高的方差，則全校學(xué)生身高方差的估計(jì)值為_(kāi)_______． 四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 17．（10分） 已知向量，滿足，，．

7、 （1）求向量與的夾角的大小； （2）求的值． 18．（12分） 天氣預(yù)報(bào)中，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3．假定在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒(méi)有影響，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)： （1）甲乙兩地都降雨的概率 （2）甲乙兩地都不降雨的概率 19．（12分） 如圖，四棱錐中，，，點(diǎn)E為PC上一點(diǎn)，F(xiàn)為PB的中點(diǎn)，且平面BDE． （1）若平面PAD與平面PBC的交線為l，求證：平面； （2）求證：． 20．（12分） 的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知，，． （1）求A； （2）若M是直線BC外一點(diǎn)，，求面積的最大值． 21．（12分

8、） 2021年3月18日，位于孝感市孝南區(qū)長(zhǎng)興工業(yè)園內(nèi)的湖北福益康醫(yī)療科技有限公司正式落地投產(chǎn)，這是孝感市第一家獲批的具有省級(jí)醫(yī)療器械生產(chǎn)許可證資質(zhì)的企業(yè)，也是我市首家“一次性使用醫(yī)用口罩、醫(yī)用外科口罩”生產(chǎn)企業(yè)．在加大生產(chǎn)的同時(shí)，該公司狠抓質(zhì)量管理，不定時(shí)抽查口罩質(zhì)量，該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個(gè)，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下六組：，，，…，，得到如下頻率分布直方圖． （1）求出直方圖中m的值； （2）利用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表，中位數(shù)精確到0.01）； （3）現(xiàn)規(guī)定：質(zhì)量指標(biāo)值小

9、于70的口罩為二等品，質(zhì)量指標(biāo)值不小于70的口罩為一等品．利用分層抽樣的方法從該企業(yè)所抽取的100個(gè)口罩中抽出5個(gè)口罩，其中一等品和二等品分別有多少個(gè)． （4）該廠每月能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤(rùn)． 22．（12分） 如圖所示，四邊形為菱形，，平面平面，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)． （1）求證：； （2）若，求三棱錐的體積． （3）若，當(dāng)二面角的正切值為時(shí)，求直線PE與平面所成的角． 數(shù)學(xué)試題 參考答案： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B C B B C C B BD AC BC ABD

10、5．B 【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為，故A錯(cuò)誤； 對(duì)于B，，， 故甲村銷售收入的平均數(shù)小于乙村銷售收入的平均數(shù)，故B正確； 對(duì)于C，甲村銷售收入的中位數(shù)為，乙村銷售收入的中位數(shù)為到， 則甲村銷售收入的中位數(shù)小于乙村銷售收入的中位數(shù)，故C錯(cuò)誤； 對(duì)于D，甲村銷售收入的方差 ， 乙村銷售收入的方差 ． 所以甲村銷售收入的方差小于乙村銷售收入的方差，故D錯(cuò)誤． 故選：B 7．C 【詳解】因?yàn)椋?，D為BC的中點(diǎn)，，如圖， 在中，根據(jù)余弦定理可得，， 在中，根據(jù)余弦定理可得，， 又因?yàn)?，所以? 故有，得到，即，所以，故選：C． 8．B 【

11、詳解】取AB的中點(diǎn)E，連接CE，DE，因?yàn)檎切闻c的邊長(zhǎng)為4，所以，，且，故為二面角的平面角，，所以是等邊三角形，取CE的中點(diǎn)F，連接DF，則，，，因?yàn)?，，，DE，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椋珹B，平面，所以平面，取的中心G，則點(diǎn)G在CE上，且，故，則球心O在G點(diǎn)正上方，連接DO，OG，OC，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)K，則，設(shè)，，則，由勾股定理得，，故，解得，故外接球半徑，故球O的表面積為． 9．BD 【詳解】因?yàn)椋瑒t，故A錯(cuò)誤； z的共軛復(fù)數(shù)是，故B正確； 復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限，故C錯(cuò)誤； 因?yàn)椋? 所以，故D正確； 10．AC 【詳解】由題意，

12、得，因?yàn)?，所以，解得，故A正確； ，故B錯(cuò)誤； ，故C正確； 設(shè)與的夾角為，則，故與的夾角不為，故D錯(cuò)誤． 11．BC 【詳解】對(duì)于A：若A，B是互斥事件，，，則，故A錯(cuò)誤； 對(duì)于B：若A，B是對(duì)立事件，則，故B正確； 對(duì)于C：若A，B是獨(dú)立事件，，，則A，也是獨(dú)立事件，則，故C正確； 對(duì)于D：若，，則且，則，B不是獨(dú)立事件，故A，B也不是獨(dú)立事件，故D錯(cuò)誤； 12．ABD 【詳解】對(duì)于A，的中點(diǎn)E，連接BE，，則，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，．∵平面平面，平面平面，平面平面，∴，又，∴四邊形為平形四邊形，∴，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，則，∵平面平面，平面平面，平面平

13、面，∴．易知，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，故A正確． ∵，平面，∴平面，∵平面，∴又∵四邊形為直角梯形，，，∴，又∵，，平面，∴平面，∵平面，∴，故B正確； ，，所以為平行四邊形，所以，AC與所成角即為或其補(bǔ)角，，，而， 所以，故C錯(cuò)誤； 三棱柱的體積，故D正確． 13 14 15 16 3000 12 64.4 15． 【詳解】由求根公式可得或，所以，故答案為： 16．64.4 【詳解】初一學(xué)生的樣本記為，方差記為，初二學(xué)生的樣本記為，方差記為，初三學(xué)生的樣本記為，方差記為． 設(shè)樣本的平均數(shù)為，則，設(shè)樣本的方差為． 則 又， 故， 同理，，

14、 因此， ． 17．（1）由得，由得，得， 設(shè)向量與的夾角為，由得，得， 因?yàn)椋?，即向量與的夾角的大小為． （2）． 18．（1）設(shè)“甲地降雨”為事件A，“乙地降雨”為事件B，則，， “甲乙兩地都下雨”表示事件A，B同時(shí)發(fā)生，即事件AB， 由已知，甲乙兩地是否降雨相互之間沒(méi)有影響，即事件A與事件B相互獨(dú)立， 所以， 所以甲乙兩地都降雨的概率為0.06． （2）設(shè)“甲地降雨”為事件A，“乙地降雨”為事件B，“甲乙兩地都不降雨”即事件與同時(shí)發(fā)生，即， ，，利用獨(dú)立事件的性質(zhì)可知，事件與相互獨(dú)立， 所以，所以甲乙兩地都不降雨的概率為0.56． 19．（1）∵，

15、平面，平面，∴平面．∵平面，平面平面，∴．∵平面，平面，∴平面． （2）連接AC，F(xiàn)C，設(shè)，，連接OM，∵平面，平面，平面平面，∴，∵，，所以，∴，∴點(diǎn)M是的重心，∴點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，∴，∴，∴． 20．（1）由得，由正弦定理得， 因?yàn)椋裕? 又因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以? （2）由得，故．因?yàn)?，所以，所以，可得．根?jù)正弦定理可得，． 設(shè)，，在中，， 由余弦定理可得． 所以， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以． 所以．故面積的最大值為． 21．（1）由，得． （2）平均數(shù)為， 因?yàn)?，? 所以中位數(shù)在第4組，設(shè)中位數(shù)為n，則，解得， 所以可以估計(jì)該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩

16、的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為71，中位數(shù)為73.33． （3）由頻率分布直方圖可知：100個(gè)口罩中一等品有60個(gè)，二等品有40個(gè)， 由分層抽樣可知，所抽取的5個(gè)口罩中一等品有個(gè)，二等品有個(gè)， 所以抽取的5個(gè)口罩中一等品有3個(gè)和二等品有2個(gè)． 22．（1）如圖所示，設(shè)點(diǎn)F是棱AD的中點(diǎn)，連接PF，EF，BD，由及點(diǎn)F是棱AD的中點(diǎn)，可得，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，故平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，而EF是的中位線，所以，可得，又由，且平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以? （2）若，由于菱形，易證正三角形中，由于平面，所以． （3）設(shè)點(diǎn)G是AC與EF的交點(diǎn)，由（1）可知平面，又PG，EG均在平面內(nèi)，從而有，，故為二面角的平面角，所以，所以， 因?yàn)?，所以為等邊三角形．不妨設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，．則在直角中，，，，所以，因?yàn)槠矫?，所以為直線PE與平面所成的角．則，所以直線PE與平面所成的角為．