2022-2023學(xué)年甘肅省張掖市高二年級下冊學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】
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1、一、單選題 1.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比均為2,則的值為(????) A. B.2 C.4 D.8 【答案】D 【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解. 【詳解】由于等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比均為2, 所以, 故選:D 2.如圖,在正方體中,為的中點(diǎn),則直線與所成的角為(????) ?? A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用平移直線法找出直線與所成的角,結(jié)合余弦定理,即可求出答案. 【詳解】在正方體中,且,所以為平行四邊形, 則,所以即為直線與所成的角(或所成角的補(bǔ)角), 不妨設(shè)正方體的棱長為2,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn), 所以,則, 在中,,, 所以在中,, 因?yàn)?/p>
2、,所以. 故選:D 3.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的均值為2,方差為,則數(shù)據(jù)的均值和方差分別為(????) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根據(jù)題意,結(jié)合平均數(shù)與方差的計(jì)算公式,即可求解. 【詳解】根據(jù)題意,易知新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為; 方差為. 故選:D. 4.已知,A,B分別在y軸和x軸上運(yùn)動,O為原點(diǎn),,則動點(diǎn)P的軌跡方程是(????) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 【答案】B 【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),利用進(jìn)行轉(zhuǎn)化,利用可得答案. 【詳解】設(shè),因?yàn)?,所以? 因?yàn)?,所以,即? 所以,整理得,其軌跡是橢圓. 故選:B. 5.《萊茵德紙草書》是世界上最古老
3、的數(shù)學(xué)著作之一,書中有一道這樣的題目改編:把個(gè)面包分給個(gè)人,使每個(gè)人所得成等差數(shù)列,且使較大的三份之和的是較小的兩份之和,則最小的份為(????) A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè) 【答案】A 【分析】由題意,結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì),列方程組求出數(shù)列首項(xiàng). 【詳解】設(shè)每個(gè)人所得按從小到大排列構(gòu)成等差數(shù)列,首項(xiàng)為,公差為, 由題意知, 解得,最小的份為個(gè). 故選:A. 6.已知拋物線的焦點(diǎn)為,圓,過作直線,與上述兩曲線自上而下依次交于點(diǎn),當(dāng)時(shí),直線的斜率為(????) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】先設(shè),,則,,再根據(jù)拋物線的性質(zhì)知,利用基本不等式求出最小值且等號成
4、立條件可求出,,從而可得到,即可得到直線的斜率. 【詳解】設(shè),,則,. ∵,∴, 由拋物線的性質(zhì)知, ∴,則, ∴. 又∵, 得,∴, 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),, 此時(shí),∴,∴, ∴, 又∵, 故. 故選:A 【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線性質(zhì),以及基本不等式求最值時(shí)等號成立的條件,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于較難題. 7.等比數(shù)列滿足,,數(shù)列滿足,時(shí),,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為(????) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)與累加法求解, 【詳解】根據(jù)題意得,,解得,故, 時(shí),, 故 . 故選:A 8.已知,分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),直線過點(diǎn),
5、且與雙曲線右支交于A,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),、的內(nèi)切圓的圓心分別為,,則面積的取值范圍是(????) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為,求得面積的解析式,再利用函數(shù)單調(diào)性即可求得面積的取值范圍 【詳解】設(shè)圓與,,分別切于點(diǎn),,. 由雙曲線定義知,, ∴, ∵,,, ∴,又, ∴,,即點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn). ∵軸,∴的橫坐標(biāo)為1,同理:橫坐標(biāo)也為1. ∵平分,平分.∴, 設(shè)、的內(nèi)切圓半徑分別為,, ∵軸,∴, ∵,∴. 設(shè)直線傾斜角為,又為雙曲線右支上兩點(diǎn), 又漸近線方程為,∴由題意得,∴, ∴, 又在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí),;
6、 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), ∴. 故選:B. 二、多選題 9.對于拋物線,下列描述不正確的是(????) A.開口向上,焦點(diǎn)為 B.開口向上,焦點(diǎn)為 C.準(zhǔn)線方程為 D.準(zhǔn)線方程為 【答案】BC 【分析】把拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,結(jié)合性質(zhì)可得答案. 【詳解】因?yàn)椋?,所以拋物線開口向上,焦點(diǎn)為,其準(zhǔn)線方程為,結(jié)合選項(xiàng)可得A,D正確. 故選:BC. 10.已知數(shù)列 的前項(xiàng)和為,下列說法正確的是( ) A.若 ,則 B.若 ,則的最小值為 C.若 ,則數(shù)列的前項(xiàng)和為 D.若數(shù)列為等差數(shù)列,且,則當(dāng)時(shí),的最大值為 【答案】BC 【分析】令時(shí),由求出可判斷A;由知
7、,,當(dāng)時(shí),取得的最小值可判斷B;若,求出數(shù)列的前項(xiàng)和可判斷C;由數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可得,則可判斷D. 【詳解】對于A,由,當(dāng)時(shí),, 由,當(dāng)時(shí),,所以A不正確; 對于B,若,當(dāng)時(shí),,則, 所以當(dāng)時(shí),取得的最小值為; 對于C,若 ,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為, 所以 ,故C正確; 對于D,數(shù)列為等差數(shù)列,且, 則, 所以, 當(dāng)時(shí),的最大值為,所以D不正確. 故選:BC. 11.已知為雙曲線的左右焦點(diǎn),關(guān)于一條漸近線的對稱點(diǎn)剛好落在雙曲線上,則下列說法正確的是( ) A. B.雙曲線的離心率 C. D.漸近線方程為 【答案】BC 【分析】漸近線與的交點(diǎn)為關(guān)于直線的對稱
8、點(diǎn)為,連接,運(yùn)用三角形的中位線定理和雙曲線的定義,求得,再計(jì)算可得. 【詳解】如圖所示,雙曲線的左焦點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,由對稱性,取一條漸近線, 關(guān)于漸近線的對稱點(diǎn)為, 直線與線段的交點(diǎn)為,連接,因?yàn)辄c(diǎn)與關(guān)于直線對稱, 則,且為的中點(diǎn),所以, 根據(jù)雙曲線的定義,有,故A不正確; ,即, 所以,故B正確; 易知是以為直角的直角三角形,所以,故C正確; 由于,所以漸近線方程為,故D不正確. 故選:BC 12.已知數(shù)列滿足,下列命題正確的有(????) A.當(dāng)時(shí),數(shù)列為遞減數(shù)列 B.當(dāng)時(shí),數(shù)列一定有最大項(xiàng) C.當(dāng)時(shí),數(shù)列為遞減數(shù)列 D.當(dāng)為正整數(shù)時(shí),數(shù)列必有兩項(xiàng)相等的最
9、大項(xiàng) 【答案】BCD 【分析】分別代入和計(jì)算判斷AB選項(xiàng);再利用放縮法計(jì)算判斷C選項(xiàng);按k的范圍分類,可判斷D; 【詳解】當(dāng)時(shí),,知A錯(cuò)誤; 當(dāng)時(shí),,當(dāng),,,, 所以可判斷一定有最大項(xiàng),B正確; 當(dāng)時(shí),,所以數(shù)列為遞減數(shù)列,C正確; 當(dāng)為正整數(shù)時(shí),,當(dāng)時(shí),, 當(dāng)時(shí),令, 解得,則,當(dāng)時(shí),, 結(jié)合B,數(shù)列必有兩項(xiàng)相等的最大項(xiàng),故D正確; 故選:BCD. 三、填空題 13.已知數(shù)列滿足,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______. 【答案】 【分析】利用數(shù)列和與通項(xiàng)的關(guān)系,分兩種情況求解. 【詳解】當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),, 因?yàn)?,所以兩式相減可得; 顯然不滿足上式, 綜上
10、可得. 故答案為: 14.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,為橢圓上一個(gè)動點(diǎn),為圓上一個(gè)動點(diǎn),則的最大值為__________ 【答案】12 【分析】根據(jù)橢圓定義及圓心位置、半徑,應(yīng)用分析法要使最大只需讓最大即可,由數(shù)形結(jié)合的方法分析知共線時(shí)有最大值,進(jìn)而求目標(biāo)式的最大值. 【詳解】由題意得:,根據(jù)橢圓的定義得, ∴, 圓變形得,即圓心,半徑, 要使最大,即最大,又, ∴使最大即可. 如圖所示: ∴當(dāng)共線時(shí),有最大值為, ∴的最大值為, ∴的最大值,即的最大值為11+1=12, 故答案為:12 15.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣和一枚質(zhì)地均勻的骰子各一次,記“硬幣正面向
11、上”為事件A,“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B,則事件A,B中至少有一件發(fā)生的概率是________. 【答案】 【分析】根據(jù)題意求得其對立事件,然后根據(jù)其與對立事件之和為,即可得到結(jié)果. 【詳解】因?yàn)?,所以? 又因?yàn)闉橄嗷オ?dú)立事件, 所以 所以中至少有一件發(fā)生的概率為 故答案為: 16.已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓C上一點(diǎn)(P不在y軸上),的重心為G,內(nèi)心為M,且,則橢圓C的離心率為___________. 【答案】/0.5 【分析】根據(jù)重心坐標(biāo)公式以及內(nèi)切圓的半徑,結(jié)合等面積法,得到的關(guān)系,即可求解離心率. 【詳解】設(shè),由于G是的重心,由重心坐標(biāo)公式可得, 由于,所
12、以的縱坐標(biāo)為, 由于是的內(nèi)心,所以內(nèi)切圓的半徑為, 由橢圓定義得, , , 故答案為: 四、解答題 17.已知數(shù)列的首項(xiàng),. (1)證明:數(shù)列為等比數(shù)列; (2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【答案】(1)證明見解析 (2) 【分析】(1)應(yīng)用等比數(shù)列定義證明即可; (2)根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解計(jì)算即得. 【詳解】(1)因?yàn)椋裕? 即,且, 所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列. (2)由(1)可求得,所以,即. 18.已知橢圓:與拋物線:有相同的焦點(diǎn),拋物線的準(zhǔn)線交橢圓于,兩點(diǎn),且. (1)求橢圓與拋物線的方程; (2)為坐標(biāo)原點(diǎn),過焦點(diǎn)的直線交
13、橢圓于,兩點(diǎn),求面積的最大值. 【答案】(1)橢圓的方程為:,拋物線的方程為:;(2)最大值為1. 【解析】(1)根據(jù)拋物線準(zhǔn)線的性質(zhì),結(jié)合已知進(jìn)行求解即可; (2)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,結(jié)合橢圓弦長公式、三角形面積公式、基本不等式進(jìn)行求解即可. 【詳解】解析:(1)因?yàn)?,所以不妨設(shè)的坐標(biāo)為,的坐標(biāo)為, 所以有:,∴,, ∴橢圓的方程為:,拋物線的方程為:; (2)由(1)可知:的坐標(biāo)為:, 設(shè)直線的方程為:,到的距離為,則, 聯(lián)立可得:,則, , 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,故面積的最大值為1. 19.如圖,四棱錐的底面是梯形,為延長線上一點(diǎn),平面是中點(diǎn). (1)證明:
14、; (2)若,三棱錐的體積為,求二面角的余弦值. 【答案】(1)證明見解析 (2) 【分析】(1)取的中點(diǎn),連接,進(jìn)而證明平面即可證明結(jié)論; (2)由題平面,進(jìn)而根據(jù)等體積法得,再以為原點(diǎn),分別以方向?yàn)檩S,軸,軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)法求解即可. 【詳解】(1)證明:平面平面. . 又,平面 平面. 平面. 取的中點(diǎn),連接為的中點(diǎn), . . , , 為的中點(diǎn),. 又平面 平面. 平面. (2)解: . ,且四邊形為矩形, 平面. ∴,解得, 以為原點(diǎn),分別以方向?yàn)檩S,軸,軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系. 則, 易知
15、是平面的一個(gè)法向量. 設(shè)平面的一個(gè)法向量為, ∴,即,不妨取,得. . 由圖知二面角的平面角為銳角, 二面角的余弦值為. 20.某校從小明所在的高一年級的600名學(xué)生中,隨機(jī)抽取了50名學(xué)生,對他們家庭中一年的月均用水量(單位:噸)進(jìn)行調(diào)查,并將月均用水量分為6組:,,,,,加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖. (1)求出圖中實(shí)數(shù)的值,并根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計(jì)小明所在的高一年級的600名同學(xué)家庭中,月均用水量不低于11噸的約有多少戶; (2)在月均用水量不低于11噸的樣本數(shù)據(jù)中,小明決定隨機(jī)抽取2名同學(xué)家庭進(jìn)行訪談,求這2名同學(xué)中恰有1人所在家庭的月均用水量屬于組的概率
16、. 【答案】(1),84戶 (2). 【分析】(1)根據(jù)圖表求出在的頻率為0.1,則,從而求出不低于11噸的頻率為,再乘以600名同學(xué)即可得到相應(yīng)戶數(shù); (2)首先求出樣本數(shù)據(jù)有5戶在相應(yīng)區(qū)間內(nèi),再用列舉法列出所有情況以及滿足題意的情況數(shù),則可求出概率. 【詳解】(1)因?yàn)楦鹘M的頻率之和為1, 所以月均用水量在區(qū)間的頻率為 所以圖中實(shí)數(shù). 由圖可知,樣本數(shù)據(jù)中月均用水量不低于11噸的頻率為 所以小明所在學(xué)校600名同學(xué)家庭中,月均用水量不低于11噸的約有 (戶) (2)設(shè)事件:這2名同學(xué)中恰有1人所在家庭的月均用水量屬于組 由圖可知,樣本數(shù)據(jù)中月均用水量在的
17、戶數(shù)為. 記這五名同學(xué)家庭分別為,,,, . 月均用水量在的戶數(shù)為. 記這兩名同學(xué)家庭分別為,. 則選取的同學(xué)家庭的所有可能結(jié)果為: 共21種. 事件的可能結(jié)果為: ,共10種. 所以. 所以這2名同學(xué)中恰有1人所在家庭的月均用水量屬于組的概率為. 21.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,且點(diǎn)在雙曲線C上. (1)求雙曲線C的方程; (2)過點(diǎn)F的直線與雙曲線C的右支交于A,B兩點(diǎn),在x軸上是否存在不與F重合的點(diǎn)P,使得點(diǎn)F到直線PA,PB的距離始終相等?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 【答案】(1) (2)存在,,理由見解析 【分析】(1)首先得,再
18、將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程,聯(lián)立方程求解,即可求雙曲線方程; (2)假設(shè)存在點(diǎn),據(jù)題意設(shè),聯(lián)立方程得到,,再由點(diǎn)到直線的距離相等可得,由此代入式子即可求得點(diǎn)坐標(biāo),再考慮斜率不存在的情況即可 【詳解】(1)由題意得,, 所以,所以,, 所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為; (2)假設(shè)存在,設(shè),, 由題意知,直線斜率不為0,設(shè)直線, 聯(lián)立,消去,得, 則,, 且,, 因?yàn)槭沟命c(diǎn)F到直線PA,PB的距離相等,所以PF是的角平分線, 則,即,則, 整理得,故, 即,因?yàn)?,所以,此時(shí); 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),根據(jù)拋物線的對稱性,易得也能讓點(diǎn)F到直線PA,PB的距離相等; 綜上所述,故存在滿足題意 22.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,為數(shù)列的前n項(xiàng)和. (1)求; (2)若對于,恒成立,求的取值范圍. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用裂項(xiàng)相消法求和可得答案; (2)根據(jù)的表達(dá)式,求出的范圍,得到的最大值,可得答案. 【詳解】(1)因?yàn)椋? 所以 . (2)當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),, 且隨n的增大而增大,所以,所以, 當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí),, 且隨n的增大而減小,所以, 所以,綜上可得且,則, 所以的最大值為(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得). 因?yàn)楹愠闪ⅲ院愠闪?,所以? 所以的取值范圍為.
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