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1、2019人教版初中數(shù)學精品教學資料
第12章 全等三角形
第9課時 12.3角的平分線的性質(zhì)（2）
一、課前小測——簡約的導入
1. 如圖，直線AB、CD相交于點O，OE⊥AB，垂足為O，OF平分∠AOE，∠1=15°，則下列結(jié)論中不正確的是（）
A. ∠2=45°
B. ∠1=∠3
C．∠EOD與∠3互為余角
D. ∠FOD=110°
2. 填空：如圖，∠C＝90°，∠1＝∠2，BC＝7，BD＝4，則
(1)D點到AC的距離＝ .
(2)D點到AB的距離＝
2、 .
二、典例探究—核心的知識
例1如圖，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB邊上取OA=OB，PM⊥BD，PN⊥AD.
求證：PM=PN．
例2 如圖所示，已知PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D是AP上一點，由以上條件可以得到∠BDP=∠CDP嗎？為什么？
三、平行練習—三基的鞏固
3. 如圖，已知在△ABC中，BD，CE分別平分∠ABC，∠ACB，且BD，CE交于點O， 過O作OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，則OP，OM，ON的大小關(guān)系為 _．
4. 如圖，已知
3、在△中，，點是斜邊的中點，， 交于．
求證：平分．
5. 如圖，點D、B分別在A的兩邊上，C是∠A內(nèi)一點，且AB＝AD，BC＝DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分別為E、F，求證：CE＝CF。
四、變式練習——拓展的思維
例3如圖，在△ABC中，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F(xiàn)為垂足，如果ED=FD,則∠BAD= ．
變式1. 如圖，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC的中點，且DE⊥AB，DF⊥AC，E，F(xiàn)為垂足，求證：AD平分∠BAC．
變式2. 已知：如圖，∠1＝∠2，CD⊥
4、AB于D，
BE⊥AC于E，BE、CD交于點O．
求證：OC=OB．
變式3. 已知如圖，OP是∠AOB的平分線，M為OP上一點，E，F(xiàn)是OA上任意兩點，C，D是OB上任意兩點，且EF=CD，試比較△FEM與△CDM的面積大?。?
五、課時作業(yè)——必要的再現(xiàn)
6. 到三角形三條邊的距離都相等的點是這個三角形的（ ?。?
A．三條中線的交點
B．三條高的交點
C．三條邊的垂直平分線的交點
D．三條角平分線的交點
7.如圖,AB=AD,CB=CD,AC、BD相交于點O,則下列結(jié)論正確的是( )
A. OA=OC
B
5、. 點O到AB、CD的距離相等
C. 點O到CB、CD的距離相等
D. ∠BDA=∠BDC
8. 如圖，△ABC中，P是角平分線AD，BE的交點．
求證：點P在∠C的平分線上．
9.如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點D，AE平分∠BAC，交BD于F點，∠ABC=90°．
（1）若BC=80cm，BE=EC=3：5，求點E到AC的距離．
（2）你能說明∠BEF=∠BFE的理由嗎？
答案 ：
1.D
2.（1）3；（2）3
例1．證明：∵OD平分∠AOB，∴∠1=∠2．
在△OBD和
6、△ADO中，
∴△OBD≌△OAD（SAS），
∴∠3=∠4．
∵PM⊥BD，PN⊥AD，
∴PM=PN．
例2.解：可以．
∵PB⊥AB于點B，PC⊥AC于點C，且PB=PC，
∴AP平分∠BAC，∴∠BAP=∠CAP．
在Rt△ABP和Rt△ACP中，
PB=PC，AP=AP，
∴Rt△ABP≌Rt△ACP，∴AB=AC．
在△ABD與△ACD中，
AB=AC，∠BAP=∠CAP，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠ADB=∠ADC，∴∠BDP=∠CDP．
3.相等
4.證明
7、：是的中點，
，
，
，．
又，，
，
又，（），
，
平分．
5.證明：連結(jié)AC，
在△ACD和△ACB中，
∵AD＝AB，CD＝BC，AC＝AC，
∴△ACD≌△ACB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵CE⊥AD，CF⊥AB，
∴CE＝CF
例3 ∠CAD.
變式1.證明：∵D是BC的中點，∴BD=CD．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．
在△BED和△CFD中，
∴△BED≌△CFD中（AAS），∴ED=FD．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC．
變式2.證明：∵
8、 CD⊥AB，BE⊥AC，
∴ ∠CEO=∠BDO=90º
又∵ ∠1＝∠2，
∴ OE=OD
在△EOC和△DOB中，
∠3＝∠4
OE=OD
∠CEO=∠BDO
∴ △EOC≌△DOB（ASA），
∴ OC=OB
變式3．S△EFM =S△CDM．
理由：作MN⊥OA于N，MH⊥OB于H．
∵OP平分∠AOB，MN⊥OA，MH⊥OB，
∴MN=MH，
∴S△EFM =·EF·MN，S△COM =CD·MH．
又∵EF=CD，∴S△EFM =S△CDM．
6．D
7．C
8.解
9、：如圖，過點P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分別為M、N、Q．
∵P在∠BAC的平分線AD上，
∴PM=PQ．P在∠ABC的平分線BE上，
∴PM=PN．∴PQ=PN，
∴點P在∠C的平分線．
9.解：（1）如圖所示，過點D作EG⊥AG，垂足為G．
∵BE：EC=3：5，BC=80cm，
∴BE=BC=×80=30cm．
∵AE平分∠BAC，∠ABC=90°，EG⊥AC，
∴BE=EG，∴EG=30cm．
（2）∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠2．
∵∠ABC=90°，BD⊥AC，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，∴∠3=∠4．
∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，即∠BEF=∠BFE．
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