高考數(shù)學一輪復習 第十四章 系列4選講 14.1 幾何證明選講 課時2 圓的進一步認識課件 理.ppt

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,§14.1 幾何證明選講,課時2 圓的進一步認識,,,內容索引,基礎知識 自主學習,題型分類 深度剖析,思想方法 感悟提高,練出高分,,,,,基礎知識 自主學習,1.圓周角與圓心角定理 (1)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于 . (2)圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于其所對弧的度數(shù)的 . 推論1：同弧(或等弧)所對的圓周角 .同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等. 推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角等于 .反之，90°的圓周角所對的弧為半圓(或弦為直徑).,其所對弧的度數(shù),一半,相等,90°,,知識梳理,1,,答案,2.圓的切線的性質及判定定理 (1)判定定理：過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的 . (2)性質定理：圓的切線垂直于經過切點的 . 推論1：經過圓心且與切線垂直的直線必經過 . 推論2：經過切點且與切線垂直的直線必經過 . 3.切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，切線長 . 4.弦切角定理 弦切角的度數(shù)等于其所夾弧的 .,切線,半徑,切點,圓心,相等,度數(shù)的一半,,答案,5.與圓有關的比例線段,PC·PD,△BDP,,PC·PD,△PDB,,,答案,PB·PC,△PCA,PB,∠OPB,,,6.圓內接四邊形的性質與判定定理 (1)性質定理：圓內接四邊形的對角 . (2)判定定理：如果四邊形的對角互補，則此四邊形內接于圓.,互補,,答案,1.如圖，從圓O外一點P引圓的切線PC及割線PAB，C為切點.求證：AP·BC＝AC·CP.,證明 因為PC為圓O的切線，所以∠PCA＝∠PBC， 又∠CPA＝∠BPC，故△CAP∽△BCP，,,考點自測,2,,解析答案,1,2,3,4,2.(2015·重慶)如圖，圓O的弦AB，CD相交于點E，過點A作圓 O的切線與DC的延長線交于點P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3， CE∶ED＝2∶1，求BE的長. 解 首先由切割線定理得PA2＝PC·PD，,又CE∶ED＝2∶1， 因此CE＝6，ED＝3， 再由相交弦定理AE·EB＝CE·ED，,,解析答案,1,2,3,4,3.如圖，△ABC中，BC＝6，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，若AC＝2AE，求EF的長.,解 ∵∠A＝∠A，∠AEF＝∠ACB，,,解析答案,1,2,3,4,4.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20， 過C作△ABC的外接圓的切線CD，BD⊥CD，BD與外接圓 交于點E，求DE的長. 解 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴∠ABC＝30°.∵AB＝20，,∵CD為切線，∴∠BCD＝∠A＝60°.,∴DE＝5.,,1,2,3,4,解析答案,返回,,題型分類 深度剖析,例1 (2015·課標全國Ⅰ)如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的 切線，BC交⊙O于點E. (1)若D為AC的中點，證明：DE是⊙O的切線；,證明 連結AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB. 在Rt △AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE. 連結OE，則∠OBE＝∠OEB. 又∠ACB＋∠ABC＝90°， 所以∠DEC＋∠OEB＝90°， 故∠OED＝90°，即DE是⊙O的切線.,,,題型一 圓周角、弦切角和圓的切線問題,,解析答案,解 設CE＝1，AE＝x，,由射影定理可得，AE2＝CE·BE，,,解析答案,思維升華,,(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大小.(2)涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉化；關于圓周上的點，常作直徑(或半徑)或向弦(弧)兩端作圓周角或弦切角.,思維升華,(1)如圖所示，⊙O的兩條切線PA和PB相交于點P，與⊙O相切于A，B兩點，C是⊙O上的一點，若∠P＝70°，求∠ACB的大小.,解 如圖所示，連結OA，OB， 則OA⊥PA，OB⊥PB. 故∠AOB＝110°，,跟蹤訓練1,,解析答案,(2)如圖，圓O的半徑為1，A、B、C是圓周上的三點，且滿足∠ABC＝30°，過點A作圓O的切線與OC的延長線交于點P，求PA的長.,解 如圖，連結OA，由圓周角定理知∠AOC＝60°，,又OA⊥PA，在Rt△POA中，,,解析答案,例2 如圖所示，已知AP是⊙O的切線，P為切點，AC是 ⊙O的割線，與⊙O交于B、C兩點，圓心O在∠PAC的內 部，點M是BC的中點. (1)證明：A，P，O，M四點共圓；,證明 如圖，連結OP，OM，因為AP與⊙O相切于點P， 所以OP⊥AP， 因為M是⊙O的弦BC的中點，所以OM⊥BC， 于是∠OPA＋∠OMA＝180°. 由圓心O在∠PAC的內部，可知四邊形APOM的對角互補， 所以A，P，O，M四點共圓.,,,題型二 四點共圓問題,,解析答案,(2)求∠OAM＋∠APM的大小. 解 由(1)得，A，P，O，M四點共圓， 所以∠OAM＝∠OPM， 由(1)得OP⊥AP，因為圓心O在∠PAC的內部， 可知∠OPM＋∠APM＝90°， 所以∠OAM＋∠APM＝90°.,,解析答案,思維升華,,(1)如果四點與一定點距離相等，那么這四點共圓；(2)如果四邊形的一組對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓；(3)如果四邊形的一個外角等于它的內對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓.,思維升華,如圖所示，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AB的延長 線與DC的延長線交于點E，且CB＝CE. (1)證明：∠D＝∠E；,證明 由題設知，A，B，C，D四點共圓， 所以∠D＝∠CBE， 由已知得∠CBE＝∠E， 故∠D＝∠E.,跟蹤訓練2,,解析答案,(2)設AD不是⊙O的直徑，AD的中點為M，且MB＝MC，證明：△ADE為等邊三角形.,證明 如圖，設BC的中點為N，連結MN， 則由MB＝MC知MN⊥BC，故點O在直線MN上. 又AD不是⊙O的直徑，M為AD的中點， 故OM⊥AD，即MN⊥AD. 所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE. 又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E， 由(1)知，∠D＝∠E， 所以△ADE為等邊三角形.,,解析答案,例3 (2015·陜西)如圖，AB切⊙O于點B，直線AO 交⊙O 于D，E兩點，BC⊥DE，垂足為C. (1)證明：∠CBD＝∠DBA；,證明 因為DE為⊙O的直徑， 則∠BED＋∠EDB＝90°， 又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°， 從而∠CBD＝∠BED， 又AB切⊙O于點B，得∠DBA＝∠BED， 所以∠CBD＝∠DBA.,,,題型三 與圓有關的比例線段,,解析答案,解 由(1)知BD平分∠CBA，,故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直徑為3.,,解析答案,思維升華,,(1)應用相交弦定理、切割線定理要抓住幾個關鍵內容：如線段成比例與相似三角形、圓的切線及其性質、與圓有關的相似三角形等. (2)相交弦定理、切割線定理主要用于與圓有關的比例線段的計算與證明.解決問題時要注意相似三角形知識及圓周角、弦切角、圓的切線等相關知識的綜合應用.,思維升華,(1)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延 長線上一點，且DF＝CF＝ ，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1， 若CE與圓相切，求線段CE的長.,解 由相交弦定理得AF·FB＝DF·CF， 由于AF＝2FB，可解得FB＝1，,跟蹤訓練3,,解析答案,(2)(2014·湖北)如圖，P為⊙O外一點，過P點作⊙O的兩條切線，切點分別為A，B.過PA的中點Q作割線交⊙O于C，D兩點.若QC＝1，CD＝3，求PB的長.,解 由切割線定理得QA2＝QC·QD＝4，解得QA＝2. 由切線長定理得PB＝PA＝2QA＝4.,,解析答案,返回,,思想方法 感悟提高,1.判定切線通常有三種方法： (1)和圓有唯一公共點的直線是圓的切線； (2)與圓心距離等于半徑的直線是圓的切線； (3)過半徑外端且和半徑垂直的直線是圓的切線. 2.四點共圓問題主要結合圓中有關邊、角定理進行推理和說明，利用圓內接四邊形的性質或判定對問題求解. 3.解決與圓有關的成比例線段問題的兩種思路： (1)直接應用相交弦、切割線定理及其推論； (2)當比例式(等積式)中的線段分別在兩個三角形中時，可轉化為證明三角形相似，一般思路為“相似三角形→比例式→等積式”.在證明中有時還要借助中間比來代換，解題時應靈活把握.,,返回,,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1.(2015·江蘇)如圖，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圓⊙O的弦AE交BC于點D.求證：△ABD∽△AEB.,證明 因為AB＝AC，所以∠ABD＝∠C. 又因為∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E， 又∠BAE為公共角，可知△ABD∽△AEB.,,解析答案,2.如圖，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上位于AB異側的兩點. 證明：∠OCB＝∠D. 證明 因為B，C是圓O上的兩點， 所以OB＝OC. 故∠OCB＝∠B. 又因為C，D是圓O上位于AB異側的兩點， 故∠B，∠D為同弧所對的兩個圓周角， 所以∠B＝∠D. 因此∠OCB＝∠D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,3.(2015·湖南)如圖，在⊙O中，相交于點E的兩弦AB，CD的 中點分別是M，N，直線MO與直線CD相交于點F， 證明：∠MEN＋∠NOM＝180°.,證明 如圖所示，因為M，N分別是弦AB，CD的中點， 所以OM⊥AB，ON⊥CD， 即∠OME＝90°，∠ENO＝90°， 因此∠OME＋∠ENO＝180°， 又四邊形的內角和等于360°， 故∠MEN＋∠NOM＝180°.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,4.如圖，AB是圓O的直徑，直線CE與圓O相切于點C，AD⊥ CE于點D，若圓O的面積為4π，∠ABC＝30°，求AD的長.,解 由題意可知圓O的半徑為2，,由弦切角定理可知∠ACD＝∠ABC＝30°，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,5.如圖，已知CB是⊙O的一條弦，A是⊙O上異于B，C 的任意一點，過點A作⊙O的切線交直線CB于點P，D為 ⊙O上一點，且∠ABD＝∠ABP.求證：AB2＝BP·BD. 證明 ∵AP與⊙O相切于點A，AB為⊙O的弦， ∴∠ADB＝∠PAB， 又在△DBA和△ABP中，∠DBA＝∠ABP，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,6.如圖，過⊙O外一點P作⊙O的切線PA，切點為A，連結OP 與⊙O交于點C，過C作AP的垂線，垂足為D，若PA＝12 cm， PC＝6 cm，求CD的長. 解 設⊙O的半徑為r， 由切割線定理得AP2＝PC·(PC＋2r)， 即122＝6×(6＋2r)，解得r＝9. 連結OA，則有OA⊥AP. 又CD⊥AP，所以OA∥CD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,7.如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，分別延 長AB，CD相交于點M，點N在⊙O上，AN＝AC. 證明：∠MDN＝2∠ACO. 證明 如圖，連結ON，因為AN＝AC， ON＝OC，OA是公共邊， 所以△ANO≌△ACO，故∠OAC＝∠OAN. 又∠OAC＝∠ACO， 所以∠NAC＝∠OAC＋∠OAN＝∠ACO＋∠OAC＝2∠ACO. 因為A，C，D，N四點共圓，所以∠MDN＝∠NAC， 所以∠MDN＝2∠ACO.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,8.如圖，PA是圓O的切線，切點為A，PA＝2，AC是圓O的 直徑，PC與圓O交于點B，PB＝1，求圓O的半徑R. 解 由切割線定理可得PA2＝PB·PC，,所以BC＝PC－PB＝3， 因為AC是圓O的直徑，所以∠ABC＝90°， 所以AB2＝BC·BP＝3， 所以AC2＝BC2＋AB2＝9＋3＝12，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,9.如圖，△ABC為圓的內接三角形，BD為圓的弦，且BD∥ AC.過點A作圓的切線與DB的延長線交于點E，AD與BC交 于點F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，求線段CF的長.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,解 設EB＝x，則ED＝x＋5， 由切割線定理知x(x＋5)＝62，∴x＝4. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB， 又∠ACB＝∠ADB，∠EAB＝∠ADB， ∴∠EAB＝∠ABC，∴AE∥BC，又AC∥ED， ∴四邊形EBCA為平行四邊形.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,∴AC＝EB＝4，BC＝AE＝6， 由△AFC∽△DFB.,10.如圖，圓O的直徑為BD，過圓上一點A作圓O的切線AE，過 點D作DE⊥AE于點E，延長ED與圓O交于點C. (1)證明：DA平分∠BDE；,證明 ∵AE是⊙O的切線， ∴∠DAE＝∠ABD. ∵BD是⊙O的直徑，∴∠BAD＝90°， ∴∠ABD＋∠ADB＝90°. 又∠ADE＋∠DAE＝90°， ∴∠ADB＝∠ADE，∴DA平分∠BDE.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,(2)若AB＝4，AE＝2，求CD的長.,解 由(1)可得△ADE∽△BDA，,∴∠ABD＝30°，∴∠DAE＝30°.,由切割線定理可得AE2＝DE·CE，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,返回,