2019年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)同步練習(xí)（共7套新人教A版必修4）共四章

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2019 年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)同步練習(xí)（共 7 套新人教 A 版必修 4）共四章第一章 三角函數(shù) 單元質(zhì)量評(píng)估(120 分鐘 150 分)一、選擇題(本大題共 12 小題,每小題 5 分,共 60 分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.扇形的周長(zhǎng)是 4,面積為 1,則該扇形的圓心角的弧度數(shù)是 ( C )A. B.1 C.2 D.42.若 120°角的終邊上有一點(diǎn)(-4,a),則 a 的值為 ( C )A.-4 B.±4 C.4 D.2 3.下列三角函數(shù)值的符號(hào)判斷正確的是 ( C )A.sin 156°0C.tan 0)的圖象如圖所示,P,Q 分別為圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),O 為坐標(biāo)原點(diǎn),若 OP⊥OQ,則 A= ( B )A.3 B. C. D.18.函數(shù) y=sin 的圖象可由函數(shù) y=cos x 的圖象至少向右平移m(m0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到,則 m= ( A )A.1 B. C. D. 9.函數(shù) f(x)=2sin(ωx+φ) 的部分圖象如圖所示,則 ω,φ 的值分別是 ( B )A.2,- B.2,- C.4, D.4, 10.函數(shù) y=cos2x+sin x-1 的值域?yàn)? ( C )A. B. C. D.[-2,0]11.已知函數(shù) f(x)=tan ωx 在 內(nèi)是減函數(shù),則實(shí)數(shù) ω 的取值范圍是 ( B )A.(0,1] B.[-1,0)C.[-2,0) D. 12.已知函數(shù) f(x)=sin(ωx+φ) ,x=- 為 f(x)的零點(diǎn), x= 為y=f(x)圖象的對(duì)稱軸,且 f(x)在 單調(diào),則 ω 的最大值為 ( B )A.11 B.9 C.7 D.5二、填空題(本大題共 4 小題,每小題 5 分,共 20 分,將答案填在題中的橫線上)13.若 2sin α-cos α=0,則 =- . 14.函數(shù) f(x)= sin +cos 的最大值為 . 15.設(shè)函數(shù) f(x)=cos x,先將 f(x)縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 2 倍,再將圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度后得 g(x),則函數(shù) g(x)到原點(diǎn)距離最近的對(duì)稱中心為 . 16.給出下列命題:①存在實(shí)數(shù) x,使 sin x+cos x= ; ②函數(shù) y=sin 是偶函數(shù);③若 α,β 是第一象限角,且 αβ,則 cos α0,解得 ω=2.所以 f(x)=2sin(2x+φ).代入點(diǎn) ,得 sin =1,所以 +φ= +2kπ,k∈Z,即 φ=- +2kπ,k∈Z.又|φ|0,ω0,-π0,解得 ω=2.所以 f(x)=sin(2x+φ).因?yàn)辄c(diǎn) 在函數(shù) f(x)的圖象上,所以 sin =1,即 +φ= +2kπ,k∈Z,解得 φ= +2kπ,k∈Z.又因?yàn)閨φ|0 或 y0 B.x0 且 y0C.xy0 D.x+y0 且 y0.答案:B2.某西方國(guó)家流傳這樣的一個(gè)政治笑話:“鵝吃白菜,參議員先生也吃白菜,所以參議員先生是鵝.”結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的,這是因?yàn)? )A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤 D.非以上錯(cuò)誤解析:不符合“三段論”的形式,正確的“三段論”推理形式應(yīng)為“鵝吃白菜,參議員先生是鵝,所以參議員先生也吃白菜”.答案:C3.觀察下列各等式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,……則 52 017 的末四位數(shù)字是( )A.3125 B.5625C.8125 D.0625解析:55=3 125 的末四位數(shù)字為 3125;56=15 625 的末四位數(shù)字為 5625;57=78 125 的末四位數(shù)字為 8125;58=390 625 的末四位數(shù)字為 0625;59=1 953 125 的末四位數(shù)字為 3125……根據(jù)末四位數(shù)字的變化,3125,5625,8125,0625,即末四位的數(shù)字是以 4 為周期變化的,故 2 017 除以 4 余 1,即末四位數(shù)為 3125.則 52 017 的末四位數(shù)字為 3125.答案:A4.計(jì)算機(jī)中常用的十六進(jìn)制是逢 16 進(jìn) 1 的計(jì)數(shù)制,采用數(shù)字0~9 和字母 A~F 共 16 個(gè)計(jì)數(shù)符號(hào),這些符號(hào)與十進(jìn)制的數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表:16 進(jìn)制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F10 進(jìn)制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15例如,用十六進(jìn)制表示 E+D=1B,則 A×B 等于( )A.6E B.72C.5F D.B0解析:A×B=110=6×16+14=6E.答案:A5.在△ABC 中,E,F 分別為 AB,AC 的中點(diǎn),則有 EF∥BC.這個(gè)命題的大前提為( )A.三角形的中位線平行于第三邊B.三角形的中位線等于第三邊的一半C.EF 為中位線D.EF∥CB解析:本題的推理過(guò)程形式是三段論,其大前提是一個(gè)一般的結(jié)論,即三角形中位線定理.答案:A6.某人在 x 天內(nèi)觀察天氣,共測(cè)得下列數(shù)據(jù):①上午或下午共下雨 7 次;②有 5 個(gè)下午晴;③有 6 個(gè)上午晴;④當(dāng)下午下雨時(shí)上午晴,則觀察的天數(shù) x 為( )A.11 B.9C.7 D.不能確定解析:由題意可知,此人每天測(cè)兩次,共測(cè)了 7+5+6=18(次),所以x= =9(天).答案:B7.有一段“三段論”推理是這樣的:對(duì)于可導(dǎo)函數(shù) f(x),如果f'(x0)=0,那么 x=x0 是函數(shù) f(x)的極值點(diǎn),因?yàn)楹瘮?shù) f(x)=x3在 x=0 處的導(dǎo)數(shù)值 f'(x0)=0,所以 x=0 是函數(shù) f(x)=x3 的極值點(diǎn).以上推理中( )A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤 D.結(jié)論正確解析:大前提是“對(duì)于可導(dǎo)函數(shù) f(x),如果 f'(x0)=0,那么 x=x0是函數(shù) f(x)的極值點(diǎn)”,不是真命題,因?yàn)閷?duì)于可導(dǎo)函數(shù) f(x),如果 f'(x0)=0,且滿足當(dāng) xx0 時(shí)和當(dāng) x1,這與已知 a+b+c=1 矛盾.假設(shè) a,b,c 都小于 ,則 a+b+ca+b;(2)由(1),運(yùn)用類比推理,若|a|a+b+c;(3)由(1)(2),運(yùn)用歸納推理,猜想出一個(gè)更一般性的結(jié)論(不要求證明).解:(1)由 ab+1-a-b=(a-1)(b-1)0,得 ab+1a+b;(2)由(1)得(ab)c+1ab+c,所以 abc+2=[(ab)c+1]+1(ab+c)+1=(ab+1)+ca+b+c;(3)若|ai|a1+a2+a3+…+an.19.(本小題滿分 12 分)設(shè) f(α)=sinnα+cosnα,n∈{n|n=2k,k∈N*}(1)分別求 f(α)在 n=2,4,6 時(shí)的值域;(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論,對(duì) n=2k(k∈N*)時(shí),f(α)的取值范圍作出一個(gè)猜想(只需寫(xiě)出猜想,不必證明).解:(1)當(dāng) n=2 時(shí),f(α)=sin2α+cos2α=1,所以 f(α)的值域?yàn)閧1};當(dāng) n=4 時(shí),f(α)=sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1- sin22α,此時(shí)有 ≤f(α)≤1,所以 f(α)的值域?yàn)?;當(dāng) n=6 時(shí),f(α)=sin6α+cos6α=(sin2α+cos2α)(sin4α+cos4α-sin2αcos2α)=1-3sin2αcos2α=1- sin22α,此時(shí)有 ≤f(α)≤1,所以 f(α)的值域?yàn)?.(2)由以上結(jié)論猜想,當(dāng) n=2k(k∈N*)時(shí),f(α)的值域是 .20.(本小題滿分 12 分)已知函數(shù) f(x)=x2+ (x0),若 P(x1,y1),Q(x2,y2)(00,使得 f'(x0)= ,證明:x10).又 =x2+x1- ,所以 2x0- =x2+x1- . ①若 x0≥x2,則 2x0x1+x2,- - ,所以 2x0- x2+x1- ,與①矛盾;若 x0≤x1,同理可得 2x0- ,(1-b)c ,(1-c)a .將以上三式相乘,得(1-a)b?(1-b)c?(1-c)a ,即(1-a)a?(1-b)b?(1-c)c .又因?yàn)?1-a)a≤ ,同理,(1-b)b≤ ,(1-c)c≤ ,所以(1-a)a?(1-b)b?(1-c)c≤ ,與(1-a)a?(1-b)b?(1-c)c 矛盾.因此假設(shè)不成立,所以(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 三個(gè)數(shù)不可能同時(shí)大于 .22. 導(dǎo)學(xué)號(hào) 40294019(本小題滿分 12 分)如圖,設(shè) A 是由 n×n個(gè)實(shí)數(shù)組成的 n 行 n 列的數(shù)表,其中 aij(i,j=1,2,3,…,n)表示位于第 i 行第 j 列的實(shí)數(shù),且 aij∈{1,-1}.記 S(n,n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合.對(duì)于 A∈S(n,n), 記 ri(A)為 A 的第 i 行各數(shù)之積,cj(A)為 A 的第 j 列各數(shù)之積.令 l(A)= ri(A)+ cj(A).a11 a12 … a1na21 a22 … a2n? ? … ?an1 an2 … ann(1)對(duì)如下數(shù)表 A∈S(4,4), 求 l(A)的值;1 1 -1 -11 -1 1 11 -1 -1 1-1 -1 1 1(2)證明存在 A∈S(n,n), 使得 l(A)=2n-4k,其中 k=0,1,2,…,n;(3)給定 n 為奇數(shù),對(duì)于所有的 A∈S(n,n),證明 l(A)≠0.(1)解:r1(A)=r3(A)=r4(A)=1,r2(A)=-1;c1(A)=c2(A)=c4(A)=-1,c3(A)=1,所以 l(A)= ri(A)+ cj(A)=0.(2) 證明:數(shù)表 A0 中 aij=1(i,j=1,2,3,…,n),顯然 l(A0)=2n.將數(shù)表 A0 中的 a11 由 1 變?yōu)?1,得到數(shù)表 A1,顯然 l(A1)=2n-4.將數(shù)表 A1 中的 a22 由 1 變?yōu)?1,得到數(shù)表 A2,顯然 l(A2)=2n-8.依此類推,將數(shù)表 Ak-1 中的 akk 由 1 變?yōu)?1,得到數(shù)表 Ak.即數(shù)表 Ak 滿足:a11=a22=…=akk=-1(1≤k≤n),其余 aij=1.所以 r1(A)=r2(A)=…=rk(A)=-1,c1(A)=c2(A)=…=ck(A)=-1.所以 l(Ak)=2[(-1)×k+(n-k)]=2n-4k,其中 k=0,1,2,…,n;【注:數(shù)表 Ak 不唯一】(3) 證明: (反證法)假設(shè)存在 A∈S(n,n),其中 n 為奇數(shù),使得 l(A)=0.因?yàn)?ri(A)∈{1,-1},cj(A) ∈{1,-1}(1≤i≤n,1≤j≤n),所以 r1(A),r2(A),…,rn(A),c1(A),c2(A),…,cn(A)這 2n 個(gè)數(shù)中有 n 個(gè) 1,n 個(gè)-1.令 M=r1(A)?r2(A)?…?rn(A)?c1(A)?c2(A)?…?cn(A).一方面,由于這 2n 個(gè)數(shù)中有 n 個(gè) 1,n 個(gè)-1,從而 M=(-1)n=-1. ①另一方面,r1(A)?r2(A)?…?rn(A)表示數(shù)表中所有元素之積(記這 n2 個(gè)實(shí)數(shù)之積為 m);c1(A)?c2(A)?…?cn(A)也表示 m,從而M=m2=1. ②①②相互矛盾,從而不存在 A∈S(n,n), 使得 l(A)=0.即當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí),必有 l(A)≠0.2019 年高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入同步練習(xí)（共6 套新人教 A 版選修 1-2）第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入測(cè)評(píng)(時(shí)間 120 分鐘,滿分 150 分)一、選擇題(本大題共 12 小題,每小題 5 分,共 60 分)1.計(jì)算:i(1+i)2=( )A.-2 B.2 C.2i D.-2i解析:i(1+i)2=i?2i=-2.答案:A2.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù) (i 是虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )A.第四象限 B.第三象限C.第二象限 D.第一象限解析: ,其共軛復(fù)數(shù)為 ,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限,故選 D.答案:D3.若 z=4+3i(i 是虛數(shù)單位),則 =( )A.1 B.-1C. i D. i解析: ,故選 D.答案:D4.若 i 是虛數(shù)單位,則 等于( )A.i B.-i C.1 D.-1解析:因?yàn)?=i,所以 =i4=1.答案:C5.復(fù)數(shù) z= +(a2+2a-3)i(a∈R)為純虛數(shù),則 a 的值為( )A.a=0 B.a=0 且 a≠-1C.a=0 或 a=-2 D.a≠1 或 a≠-3解析:依題意得 解得 a=0 或 a=-2.答案:C6.設(shè)復(fù)數(shù) z= ,其中 a 為實(shí)數(shù),若 z 的實(shí)部為 2,則 z 的虛部為( )A.- B.- i C.- D.- i解析:z= =a- i,因?yàn)?z 的實(shí)部為 2,所以 a=2,所以 z 的虛部為- =- .答案:C7.“m=1”是“復(fù)數(shù) z=(1+mi)(1+i)(m∈R,i 為虛數(shù)單位)為純虛數(shù)”的( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析:z=(1+mi)(1+i)=1+i+mi-m=(1-m)+(1+m)i,若 m=1,則 z=2i為純虛數(shù);若 z 為純虛數(shù),則 m=1.答案:C8.已知 z1=1+i(其中 i 為虛數(shù)單位),設(shè) 為復(fù)數(shù) z1 的共軛復(fù)數(shù), ,則復(fù)數(shù) z2 在復(fù)平面所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為( )A.(0,1) B.(1,0)C.(0,2) D.(2,0)解析:因?yàn)?z1=1+i,所以 =1-i,由 得, =1,得 z2=1,z2 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,0),故選 B.答案:B9.若 z=cos θ+isin θ(i 為虛數(shù)單位),則使 z2=-1 的 θ 值可能是( )A. B. C. D. 解析:z2=(cos θ+isin θ)2=(cos2θ-sin2θ)+2isin θcos θ=cos 2θ+isin 2θ=-1,所以 所以 2θ=2kπ+π(k∈Z),故θ=kπ+ (k∈Z), 令 k=0 知選 D.答案:D10.復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 A,將點(diǎn) A 繞坐標(biāo)原點(diǎn),按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) ,再向左平移一個(gè)單位,向下平移一個(gè)單位,得到 B點(diǎn),此時(shí)點(diǎn) B 與點(diǎn) A 恰好關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,則復(fù)數(shù) z 為( )A.-1 B.1 C.i D.-i解析:設(shè) z=a+bi,B 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 z1,則 z1=(a+bi)i-1-i=(-b-1)+(a-1)i,因?yàn)辄c(diǎn) B 與點(diǎn) A 恰好關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,所以 于是z=1.答案:B11.設(shè) z∈C,若 z2 為純虛數(shù),則 z 在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在( )A.實(shí)軸上B.虛軸上C.直線 y=±x(x≠0)上D.以上都不對(duì)解析:設(shè) z=a+bi(a,b∈R),因?yàn)?z2=a2-b2+2abi 為純虛數(shù),所以 所以 a=±b,即 z 在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線 y=±x(x≠0)上.答案:C12.復(fù)數(shù) z=(x-2)+yi(x,y∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)向量的模為 2,則|z+2|的最大值為( )A.2 B.4 C.6 D.8解析:因?yàn)閨z|=2,所以 =2,即(x-2)2+y2=4,故點(diǎn)(x,y)在以(2,0)為圓心,2 為半徑的圓上,而|z+2|=|x+yi|= ,它表示點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)的距離,結(jié)合圖形易知|z+2|的最大值為 4,故選 B.答案:B二、填空題(本大題共 4 小題,每小題 5 分,共 20 分)13.若 (i 為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù) z 等于 . 解析:因?yàn)?,所以 z= =-2i.答案:-2i14.若(1+2ai)i=1-bi,其中 a,b∈R,i 是虛數(shù)單位,則|a+bi|= .解析:由題意得-2a+i=1-bi,所以 解得 a=- ,b=-1,所以|a+bi|= .答案: 15.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù) 1+i 與-1+3i 分別對(duì)應(yīng)向量 ,其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn),則| |= . 解析: =(-1+3i)-(1+i)=-2+2i,所以| |=2 .答案:2 16. 導(dǎo)學(xué)號(hào) 40294030 若復(fù)數(shù) z 滿足 z+z+ =3,則復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積等于 . 解析:設(shè) z=x+yi(x,y∈R),則有(x+yi)(x-yi)+(x+yi)+(x-yi)=3,即 x2+y2+2x-3=0,因此(x+1)2+y2=4,故復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓,其面積等于 π?22=4π.答案:4π三、解答題(本大題共 6 小題,共 70 分)17.(本小題滿分 10 分)已知復(fù)數(shù) z=(2+i)m2- -2(1-i),當(dāng)實(shí)數(shù)m 取什么值時(shí),復(fù)數(shù) z 是:(1)虛數(shù);(2)純虛數(shù).解:z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i,(1)當(dāng) m2-3m+2≠0,即 m≠2 且 m≠1 時(shí),z 為虛數(shù).(2)當(dāng) 即 m=- 時(shí),z 為純虛數(shù).18.(本小題滿分 12 分)若 z 滿足 z-1= (1+z)i,求 z+z2 的值.解:因?yàn)?z-1= (1+z)i,所以 z= =- i,因此 z+z2=- i+ =- i+ =-1.19.(本小題滿分 12 分)已知復(fù)數(shù) z 滿足 z=(-1+3i)?(1-i)-4.(1)求復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù);(2)若 w=z+ai,且復(fù)數(shù) w 對(duì)應(yīng)向量的模不大于復(fù)數(shù) z 所對(duì)應(yīng)向量的模,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.解:(1)z=-1+i+3i+3-4=-2+4i,所以復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)為-2-4i.(2)w=-2+(4+a)i,復(fù)數(shù) w 對(duì)應(yīng)的向量為(-2,4+a),其模為 .又復(fù)數(shù) z 所對(duì)應(yīng)向量為(-2,4),其模為 2 .由復(fù)數(shù) w 對(duì)應(yīng)向量的模不大于復(fù)數(shù) z 所對(duì)應(yīng)向量的模,得20+8a+a2≤20,a2+8a≤0,所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍是-8≤a≤0.20.(本小題滿分 12 分)復(fù)數(shù) z= ,若 z2+ 1 000 的最小偶數(shù) n,那么在 和 兩個(gè)空白框中,可以分別填入( )A.A1 000 和 n=n+1B.A1 000 和 n=n+2