離散數(shù)學(xué)屈婉玲版課后習(xí)題.doc

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第一章部分課后習(xí)題參考答案 16 設(shè)p、q的真值為0；r、s的真值為1，求下列各命題公式的真值。 （1）p∨(q∧r) 0∨(0∧1) 0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) （0?1）∧(1∨1) 0∧10. （3）（p∧q∧r）?(p∧q∧﹁r) （1∧1∧1） ? (0∧0∧0)0 (4)（r∧s）→(p∧q) （0∧1）→(1∧0) 0→01 17．判斷下面一段論述是否為真：“是無理數(shù)。并且，如果3是無理數(shù)，則也是無理數(shù)。另外6能被2整除，6才能被4整除?！? 答：p: 是無理數(shù) 1 q: 3是無理數(shù) 0 r: 是無理數(shù) 1 s:　6能被2整除 1 t: 6能被4整除 0 命題符號(hào)化為： p∧(q→r)∧(t→s)的真值為1，所以這一段的論述為真。 19．用真值表判斷下列公式的類型： （4）(p→q) →(q→p) （5）(p∧r) (p∧q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答： （4） p q p→q q p q→p (p→q)→(q→p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式類型為永真式 （5）公式類型為可滿足式（方法如上例） （6）公式類型為永真式（方法如上例） 第二章部分課后習(xí)題參考答案 3.用等值演算法判斷下列公式的類型，對(duì)不是重言式的可滿足式，再用真值表法求出成真賦值. (1) (p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)(p∨(p∨q))∨(p∨r)p∨p∨q∨r1 所以公式類型為永真式 (3) P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式類型為可滿足式 4.用等值演算法證明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)(p→(q∧r)) (4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨q) ∧(p∧q) 證明（2）(p→q)∧(p→r) (p∨q)∧(p∨r) p∨(q∧r)) p→(q∧r) （4）(p∧q)∨(p∧q)(p∨(p∧q)) ∧(q∨(p∧q) (p∨p)∧(p∨q)∧(q∨p) ∧(q∨q) 1∧(p∨q)∧(p∧q)∧1 (p∨q)∧(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式與主合取范式，并求成真賦值 (1)(p→q)→(q∨p) (2)(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解： （1）主析取范式 (p→q)→(qp) (pq)(qp) (pq)(qp) (pq)(qp)(qp)(pq)(pq) (pq)(pq)(pq) ∑(0,2,3) 主合取范式： (p→q)→(qp) (pq)(qp) (pq)(qp) (p(qp))(q(qp)) 1(pq) (pq) M1 ∏(1) (2) 主合取范式為： (p→q)qr(pq)qr (pq)qr0 所以該式為矛盾式. 主合取范式為∏(0,1,2,3,4,5,6,7) 矛盾式的主析取范式為 0 (3)主合取范式為： (p(qr))→(pqr) (p(qr))→(pqr) (p(qr))(pqr) (p(pqr))((qr))(pqr)) 11 1 所以該式為永真式. 永真式的主合取范式為 1 主析取范式為∑(0,1,2,3,4,5,6,7) 第三章部分課后習(xí)題參考答案 14. 在自然推理系統(tǒng)P中構(gòu)造下面推理的證明： (2)前提：pq,(qr),r 結(jié)論：p (4)前提：qp,qs,st,tr 結(jié)論：pq 證明：（2） ①(qr) 前提引入 ②qr ①置換 ③qr ②蘊(yùn)含等值式 ④r 前提引入 ⑤q ③④拒取式 ⑥pq 前提引入 ⑦￢p（3） ⑤⑥拒取式 證明（4）： ①tr 前提引入 ②t ①化簡律 ③qs 前提引入 ④st 前提引入 ⑤qt ③④等價(jià)三段論 ⑥（qt）(tq) ⑤ 置換 ⑦（qt） ⑥化簡 ⑧q ②⑥ 假言推理 ⑨qp 前提引入 ⑩p ⑧⑨假言推理 (11)pq ⑧⑩合取 15在自然推理系統(tǒng)P中用附加前提法證明下面各推理： (1) 前提：p(qr),sp,q 結(jié)論：sr 證明 ①s 附加前提引入 ②sp 前提引入 ③p ①②假言推理 ④p(qr) 前提引入 ⑤qr ③④假言推理 ⑥q 前提引入 ⑦r ⑤⑥假言推理 16在自然推理系統(tǒng)P中用歸謬法證明下面各推理： (1)前提：pq,rq,rs 結(jié)論：p 證明： ①p 結(jié)論的否定引入 ②p﹁q 前提引入 ③﹁q ①②假言推理 ④￢rq 前提引入 ⑤￢r ④化簡律 ⑥r(nóng)￢s 前提引入 ⑦r ⑥化簡律 ⑧r﹁r ⑤⑦ 合取 由于最后一步r﹁r 是矛盾式,所以推理正確. 第四章部分課后習(xí)題參考答案 3. 在一階邏輯中將下面將下面命題符號(hào)化,并分別討論個(gè)體域限制為(a),(b)條件時(shí)命題的真值: (1) 對(duì)于任意x,均有2=(x+)(x). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)個(gè)體域?yàn)樽匀粩?shù)集合. (b)個(gè)體域?yàn)閷?shí)數(shù)集合. 解： F(x): 2=(x+)(x). G(x): x+5=9. (1)在兩個(gè)個(gè)體域中都解釋為，在（a）中為假命題，在(b)中為真命題。 (2)在兩個(gè)個(gè)體域中都解釋為，在（a）(b)中均為真命題。 4. 在一階邏輯中將下列命題符號(hào)化: (1) 沒有不能表示成分?jǐn)?shù)的有理數(shù). (2) 在北京賣菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x能表示成分?jǐn)?shù) H(x): x是有理數(shù) 命題符號(hào)化為: (2)F(x): x是北京賣菜的人 H(x): x是外地人 命題符號(hào)化為: 5. 在一階邏輯將下列命題符號(hào)化: (1) 火車都比輪船快. (3) 不存在比所有火車都快的汽車. 解: (1)F(x): x是火車; G(x): x是輪船; H(x,y): x比y快 命題符號(hào)化為: (2) (1)F(x): x是火車; G(x): x是汽車; H(x,y): x比y快 命題符號(hào)化為: 9.給定解釋I如下: (a) 個(gè)體域D為實(shí)數(shù)集合R. (b) D中特定元素=0. (c) 特定函數(shù)(x,y)=xy,x,y. (d) 特定謂詞(x,y):x=y,(x,y):x,<3,3>,<4,4>} EA={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<3,2>,<3,3>,<4,2>,<4,3>} LA={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>} DA={<2,4>} 13.設(shè)A={<1,2>,<2,4>,<3,3>} B={<1,3>,<2,4>,<4,2>} 求AB,AB, domA, domB, dom(AB), ranA, ranB, ran(AB ), fld(A-B). 解：AB={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>} AB={<2,4>} domA={1,2,3} domB={1,2,4} dom(A∨B)={1,2,3,4} ranA={2,3,4} ranB={2,3,4} ran(AB)={4} A-B={<1,2>,<3,3>}，fld(A-B)={1,2,3} 14.設(shè)R={<0,1><0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>} 求RR, R-1, R{0,1,}, R[{1,2}] 解：RR={<0,2>,<0,3>,<1,3>} R-1,={<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>} R{0,1}={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>} R[{1,2}]=ran(R|{1,2})={2,3} 16．設(shè)A={a,b,c,d}，，為A上的關(guān)系，其中 = 求。 解: R1R2={,,} R2R1={} R12=R1R1={,,} R22=R2R2={,,} R23=R2R22={,,} 36．設(shè)A={1，2，3，4}，在AA上定義二元關(guān)系R， ,AA ，〈u,v> R u + y = x + v. (1) 證明R 是AA上的等價(jià)關(guān)系. (2)確定由R 引起的對(duì)AA的劃分. （1）證明：∵R u+y=x-y ∴Ru-v=x-y AA ∵u-v=u-v ∴R ∴R是自反的 任意的,∈AA 如果R ，那么u-v=x-y ∴x-y=u-v ∴R ∴R是對(duì)稱的 任意的,,∈AA 若R,R 則u-v=x-y,x-y=a-b ∴u-v=a-b ∴R ∴R是傳遞的 ∴R是AA上的等價(jià)關(guān)系 (2) ∏={{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}, {<2,1>,<3,2>,<4,3>}, {<3,1>,<4,2>}, {<4,1>}, {<1,2>,<2,3>,<3,4>}, {<1,3>,<2,4>}, {<1,4>} } 41.設(shè)A={1，2，3，4}，R為AA上的二元關(guān)系, 〈a，b〉，〈c，d〉 AA , 〈a，b〉R〈c，d〉a + b = c + d (1) 證明R為等價(jià)關(guān)系. (2) 求R導(dǎo)出的劃分. (1)證明：R ∴R是自反的 任意的,∈AA 設(shè)R，則a+b=c+d ∴c+d=a+b ∴R ∴R是對(duì)稱的 任意的,,∈AA 若R,R 則a+b=c+d,c+d=x+y ∴a+b=x+y ∴R ∴R是傳遞的 ∴R是 AA上的等價(jià)關(guān)系 (2)∏={{<1,1>}, {<1,2>,<2,1>}, {<1,3>,<2,2>,<3,1>}, {<1,4>,<4,1>,<2,3>,<3,2>}, {<2,4>,<4,2>,<3,3>}, {<3,4>,<4,3>}, {<4,4>}} 43. 對(duì)于下列集合與整除關(guān)系畫出哈斯圖: (1) {1,2,3,4,6,8,12,24} (2) {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} 解: (1) (2) 45.下圖是兩個(gè)偏序集的哈斯圖.分別寫出集合A和偏序關(guān)系R的集合表達(dá)式. (a) (b) 解: (a)A={a,b,c,d,e,f,g} R={,,,,,,,,,} (b) A={a,b,c,d,e,f,g} R={,,,,,,} 46.分別畫出下列各偏序集的哈斯圖,并找出A的極大元`極小元`最大元和最小元. (1)A={a,b,c,d,e} R={,,,,,,}IA. (2)A={a,b,c,d,e}, R={}IA. 解: (1) (2) 項(xiàng)目 (1) (2) 極大元: e a,b,d,e 極小元: a a,b,c,e 最大元: e 無 最小元: a 無 第八章部分課后習(xí)題參考答案 1． 設(shè)f :NN,且 f (x)= 求f (0), f ({0}), f (1), f ({1}), f ({0,2,4,6,…})，f ({4,6,8}), f -1({3,5,7}). 解：f (0)=0, f ({0})={0}, f (1)=1, f ({1})={1}, f ({0,2,4,6,…})=N，f ({4,6,8})={2,3,4}, f -1 ({3,5,7})={6,10,14}. 4. 判斷下列函數(shù)中哪些是滿射的?哪些是單射的?哪些是雙射的? (1) f:NN, f(x)=x2+2 不是滿射，不是單射 (2) f:NN,f(x)=(x)mod 3,x除以3的余數(shù) 不是滿射，不是單射 (3) f:NN,f(x)= 不是滿射，不是單射 (4) f:N{0,1},f(x)= 是滿射，不是單射 (5) f:N-{0}R,f(x)=lgx 不是滿射，是單射 (6) f:RR,f(x)=x2-2x-15 不是滿射，不是單射 5. 設(shè)X={a,b,c,d},Y={1,2,3},f={,,,}判斷以下命題的真假: (1)f是從X到Y(jié)的二元關(guān)系,但不是從X到Y(jié)的函數(shù); 對(duì) (2)f是從X到Y(jié)的函數(shù),但不是滿射,也不是單射的; 錯(cuò) (3)f是從X到Y(jié)的滿射,但不是單射; 錯(cuò) (4)f是從X到Y(jié)的雙射. 錯(cuò) 第十四章部分課后習(xí)題參考答案 5、設(shè)無向圖G有10條邊，3度與4度頂點(diǎn)各2個(gè)，其余頂點(diǎn)的度數(shù)均小于3，問G至少有多少個(gè)頂點(diǎn)？在最少頂點(diǎn)的情況下，寫出度數(shù)列、。 　　解：由握手定理圖G的度數(shù)之和為： 　　　　3度與4度頂點(diǎn)各2個(gè)，這4個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)之和為14度。 　　　　其余頂點(diǎn)的度數(shù)共有6度。 　　　　其余頂點(diǎn)的度數(shù)均小于3，欲使G的頂點(diǎn)最少，其余頂點(diǎn)的度數(shù)應(yīng)都取2, 　　所以，G至少有7個(gè)頂點(diǎn), 出度數(shù)列為3,3,4,4,2,2,2,. 7、設(shè)有向圖D的度數(shù)列為2，3，2，3，出度列為1，2，1，1，求D的入度列，并求， ,. 解：D的度數(shù)列為2，3，2，3，出度列為1，2，1，1，D的入度列為1,1,1,2. ,, 8、設(shè)無向圖中有6條邊，3度與5度頂點(diǎn)各1個(gè)，其余頂點(diǎn)都是2度點(diǎn)，問該圖有多少個(gè)頂點(diǎn)？ 解：由握手定理圖G的度數(shù)之和為： 　　設(shè)2度點(diǎn)個(gè)，則，，該圖有4個(gè)頂點(diǎn). 14、下面給出的兩個(gè)正整數(shù)數(shù)列中哪個(gè)是可圖化的？對(duì)可圖化的數(shù)列，試給出3種非同構(gòu)的無向圖，其中至少有兩個(gè)時(shí)簡單圖。 (1) 2,2,3,3,4,4,5 (2) 2,2,2,2,3,3,4,4 解：(1) 2+2+3+3+4+4+5=23 是奇數(shù)，不可圖化； (2) 2＋2+2+2+3+3+4+4=16, 是偶數(shù)，可圖化； 18、設(shè)有3個(gè)4階4條邊的無向簡單圖G1、G2、G3，證明它們至少有兩個(gè)是同構(gòu)的。 證明：4階4條邊的無向簡單圖的頂點(diǎn)的最大度數(shù)為3，度數(shù)之和為8，因而度數(shù)列為2，2，2，2；3，2，2，1；3，3，1，1。但3，3，1，1對(duì)應(yīng)的圖不是簡單圖。所以從同構(gòu)的觀點(diǎn)看，4階4條邊的無向簡單圖只有兩個(gè)： 所以，G1、G2、G3至少有兩個(gè)是同構(gòu)的。 20、已知n階無向簡單圖G有m條邊，試求G的補(bǔ)圖的邊數(shù)。 解： 21、無向圖G如下圖 (1)求G的全部點(diǎn)割集與邊割集，指出其中的割點(diǎn)和橋； (2) 求G的點(diǎn)連通度與邊連通度。 解：點(diǎn)割集: {a,b},(d) 邊割集{e2,e3},{e3,e4},{e1,e2},{e1,e4}{e1,e3},{e2,e4},{e5} ==1 23、求G的點(diǎn)連通度、邊連通度與最小度數(shù)。 解：、 、 28、設(shè)n階無向簡單圖為3-正則圖，且邊數(shù)m與n滿足2n-3=m問這樣的無向圖有幾種非同構(gòu)的情況？ 解： 得n=6,m=9. 31、設(shè)圖G和它的部圖的邊數(shù)分別為和，試確定G的階數(shù)。 解： 得 45、有向圖D如圖 (1)求到長度為1，2，3，4的通路數(shù)； (2)求到長度為1，2，3，4的回路數(shù)； (3)求D中長度為4的通路數(shù)； (4)求D中長度小于或等于4的回路數(shù)； (5)寫出D的可達(dá)矩陣。 解：有向圖D的鄰接矩陣為： ， (1)到長度為1，2，3，4的通路數(shù)為0,2,0,0； (2)到長度為1，2，3，4的回路數(shù)為0,0,4,0； (3)D中長度為4的通路數(shù)為32； (4)D中長度小于或等于4的回路數(shù)10； (4)出D的可達(dá)矩陣 第十六章部分課后習(xí)題參考答案 1、畫出所有5階和7階非同構(gòu)的無向樹. 2、一棵無向樹T有5片樹葉，3個(gè)2度分支點(diǎn)，其余的分支點(diǎn)都是3度頂點(diǎn)，問T有幾個(gè)頂點(diǎn)? 解：設(shè)3度分支點(diǎn)個(gè)，則 ，解得 T有11個(gè)頂點(diǎn) 3、無向樹T有8個(gè)樹葉，2個(gè)3度分支點(diǎn)，其余的分支點(diǎn)都是4度頂點(diǎn)，問T有幾個(gè)4度分支點(diǎn)？根據(jù)T的度數(shù)列，請(qǐng)至少畫出4棵非同構(gòu)的無向樹。 解：設(shè)4度分支點(diǎn)個(gè)，則 ，解得 度數(shù)列111111113344 4、棵無向樹T有 (i=2，3，…，k)個(gè)i度分支點(diǎn)，其余頂點(diǎn)都是樹葉，問T應(yīng)該有幾片樹葉? 解：設(shè)樹葉片，則 ，解得 評(píng)論：2，3，4題都是用了兩個(gè)結(jié)論,一是握手定理，二是 5、n(n≥3)階無向樹T的最大度至少為幾？最多為幾？ 解：2，n-1 6、若n(n≥3)階無向樹T的最大度 =2，問T中最長的路徑長度為幾？ 解：n-1 7、證明：n(n≥2) 階無向樹不是歐拉圖. 證明：無向樹沒有回路，因而不是歐拉圖。 8、證明：n(n≥2) 階無向樹不是哈密頓圖. 證明：無向樹沒有回路，因而不是哈密頓圖。 9、證明：任何無向樹T都是二部圖. 證明：無向樹沒有回路，因而不存在技術(shù)長度的圈，是二部圖。 10、什么樣的無向樹T既是歐拉圖，又是哈密頓圖? 解：一階無向樹 14、設(shè)e為無向連通圖G中的一條邊， e在G的任何生成樹中，問e應(yīng)有什么性質(zhì)? 解：e是橋 15、設(shè)e為無向連通圖G中的一條邊， e不在G的任何生成樹中， 問e應(yīng)有什么性質(zhì)? 解：e是環(huán) 23、已知n階m條的無向圖 G是k(k≥2)棵樹組成的森林，證明：m = n-k.； 證明：數(shù)學(xué)歸納法。k=1時(shí), m = n-1，結(jié)論成立； 設(shè)k=t-1(t-1)時(shí)，結(jié)論成立，當(dāng)k=t時(shí), 無向圖 G是t棵樹組成的森林,任取兩棵樹，每棵樹任取一個(gè)頂點(diǎn)，這兩個(gè)頂點(diǎn)連線。則所得新圖有t-1棵樹，所以m = n-（k-1）. 所以原圖中m = n-k 得證。 24、在圖16.6所示2圖中，實(shí)邊所示的生成子圖T是該圖的生成樹. (1)指出T的弦，及每條弦對(duì)應(yīng)的基本回路和對(duì)應(yīng)T的基本回路系統(tǒng). (2) 指出T的所有樹枝， 及每條樹枝對(duì)應(yīng)的基本割集和對(duì)應(yīng)T的基本割集系統(tǒng). (a) (b) 圖16.16 解：(a)T的弦：c,d,g,h T的基本回路系統(tǒng): S={{a,c,b},{a,b,f,d},{e,a,b,h},{e,a,b,f,g}} T的所有樹枝: e,a,b,f T的基本割集系統(tǒng): S={{e,g,h},{a,c,d,g,h},{b,c,d,g,h},{f,d,g}} (b)有關(guān)問題仿照給出 25、求圖16.17所示帶權(quán)圖中的最小生成樹. (a) (b) 圖16.17 解： 注：答案不唯一。 37、畫一棵權(quán)為3，4，5，6，7，8，9的最優(yōu)2叉樹，并計(jì)算出它的權(quán). 38.下面給出的各符號(hào)串集合哪些是前綴碼? A1={0，10，110，1111} 是前綴碼 A2={1，01，001，000} 是前綴碼 A3={1，11，101，001，0011} 不是前綴碼 A4={b，c，aa，ac，aba，abb，abc} 是前綴碼 A5={ b，c，a，aa，ac，abc，abb，aba} 不是前綴碼 41.設(shè)7個(gè)字母在通信中出現(xiàn)的頻率如下: a: 35% b: 20% c: 15% d: 10% e: 10% f: 5% g: 5% 用Huffman算法求傳輸它們的前綴碼.要求畫出最優(yōu)樹，指出每個(gè)字母對(duì)應(yīng)的編碼.并指出傳輸10n(n≥2)個(gè)按上述頻率出現(xiàn)的字母，需要多少個(gè)二進(jìn)制數(shù)字. 解： a:01 b:10 c:000 d:110 e:001 f:1111 g:1110 W(T)=5*4+5*4+10*3+10*3+15*3+20*2+35*2=255 傳輸10n(n≥2)個(gè)按上述頻率出現(xiàn)的字母，需要255*10n-2個(gè)二進(jìn)制數(shù)字.