2016年人教版九年級(jí)上《第23章旋轉(zhuǎn)》全章練習(xí)含答案(10份).rar
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小專題(七) 旋轉(zhuǎn)中的計(jì)算與證明
類型1 基于“半角”的旋轉(zhuǎn)
在很多題目中都有這樣的題設(shè)條件:一個(gè)大角中有一個(gè)共頂點(diǎn)的小角,小角正好是大角的一半(如例1).當(dāng)面對(duì)這樣的信息時(shí),往往可以考慮使用旋轉(zhuǎn)變換,并且旋轉(zhuǎn)后,多半還有一對(duì)軸對(duì)稱的全等三角形出現(xiàn),此時(shí),很多問(wèn)題即可迎刃而解了.總結(jié)此類問(wèn)題解題的思路即是:半角信息——帶形旋轉(zhuǎn)——軸對(duì)稱的全等三角形.
【例1】 如圖,已知四邊形ABCD是正方形,對(duì)角線AC,BD相交于O.設(shè)E,F(xiàn)分別是AB上不同的兩個(gè)點(diǎn),且∠EOF=45°,請(qǐng)你用等式表示線段AE,BF和EF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
【思路點(diǎn)撥】 將△OFB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得△OHA.連接HE,利用條件可證△EOH≌△EOF,從而得EH=EF.然后在Rt△AEH中,利用勾股定理得EH2=AH2+AE2,進(jìn)而得出結(jié)論.
1.已知在△ABC中,AB=AC,D,E是BC邊上的點(diǎn),將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),得到△ACD′,連接D′E.
(1)如圖1,當(dāng)∠BAC=120°時(shí),∠DAE=60°時(shí),求證:DE=D′E;
(2)如圖2,當(dāng)DE=D′E時(shí),∠DAE與∠BAC有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出,并說(shuō)明理由.
(3)如圖3,在(2)的結(jié)論下,當(dāng)∠BAC=90°,BD與DE滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí),△D′EC是等腰直角三角形?(直接寫出結(jié)論,不必說(shuō)明理由)
類型2 基于“等邊三角形”的旋轉(zhuǎn)
方法歸納:將等邊三角形內(nèi)的一個(gè)小三角形,旋轉(zhuǎn)60度,從而使小三角形的一邊與原等邊三角形的邊重合,連接小三角形的鈍角頂點(diǎn),得三角形.通過(guò)旋轉(zhuǎn)將不相關(guān)的線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中,將分散的已知條件集中起來(lái),使問(wèn)題得以解決.
【例2】如圖,點(diǎn)P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),且PA=2,PB=1,PC=,求∠APB的度數(shù).
【思路點(diǎn)撥】 將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得△ADB.連接DA,DP,DB,得AD=AP,DB=PC=,∠DAP=60°.從而可證△ADP為等邊三角形,所以DP=AP=2,∠DPA=60°.在△DPB中,利用勾股定理逆定理可得∠DBP=90°,∠DPB=60°.從而可得∠APB=120°.
2.如圖所示,點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),PB=2,PC=1,∠BPC=150°,求PA的長(zhǎng).
3.如圖所示,△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形,以D為頂點(diǎn)作一角等于60°.角的兩邊分別交AB、AC于M、N,連接MN,構(gòu)成一個(gè)△AMN,求△AMN的周長(zhǎng).
參考答案
【例1】 AE2+BF2=EF2.證明:將△OFB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得△OHA.連接HE,∴OH=OF,AH=BF,∠BOF=∠AOH,∠HOF=90°.∵四邊形ABCD是正方形,∴∠DAB=90°,∠AOB=90°.∵∠EOF=45°,∴∠AOE+∠BOF=∠AOB-∠EOF=90°-45°=45°.∴∠AOE+∠AOH=∠EOH=45°.∴∠EOH=∠EOF.在△EOH和△EOF中,OH=OF,∠EOH=∠EOF,OE=OE,∴△EOH≌△EOF(SAS).∴EF=EH.∵在Rt△AEH中,由勾股定理得EH2=AH2+AE2,AH=BF,∴AE2+BF2=EF2.
1.(1)證明:∵△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ACD′,∴AD=AD′,∠CAD′=∠BAD.∵∠BAC=120°,∠DAE=60°,∴∠D′AE=∠CAD′+∠CAE=∠BAD+∠CAE=∠BAC-∠DAE=120°-60°=60°.∴∠DAE=∠D′AE.在△ADE和△AD′E中,AD=AD′,∠DAE=∠D′AE,AE=AE,∴△ADE≌△AD′E(SAS).∴DE=D′E.
(2) ∠DAE=∠BAC.理由如下:在△ADE和△AD′E中,AD=AD′,AE=AE,DE=D′E,∴△ADE≌△AD′E(SSS).∴∠DAE=∠D′AE.∴∠BAD+∠CAE=∠CAD′+∠CAE=∠D′AE=∠DAE.∴∠DAE=∠BAC.
(3)∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=∠ACD′=45°.∴∠D′CE=45°+45°=90°.∵△D′EC是等腰直角三角形,∴D′E=CD′.由(2)可得DE=D′E,∵△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ACD′,∴BD=CD′.∴DE=BD.
【例2】 ∵△ABC為等邊三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得△ADB.連接DA,DP,DB,得AD=AP=2,DB=PC=,∠DAP=60°.∴△ADP為等邊三角形,所以DP=AP=2,∠DPA=60°.在△DPB中,DB=,BP=1,DP=2,∴DP2+BP2=DB2.∴∠DBP=90°,∠DPB=60°.∴∠APB=∠DPB+∠DPA=60°+60°=120°.
2.將△APC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,使CA移至CB處,PC移到P′C,PA移到P′B.∵∠PCP′=60°,∴△PCP′是等邊三角形.∴∠P′PC=60°,PP′=PC=1.∵∠BPC=150°,∴∠BPP′=90°.在Rt△BP′P中,BP=2,PP′=PC=1,由勾股定理得P′B===PA.∴PA=.
3.因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形,△DBC為等腰三角形,∠BDC=120°,所以以D為旋轉(zhuǎn)中心,按順時(shí)針?lè)较驅(qū)ⅰ鱀BM旋轉(zhuǎn)120°如圖,且N、C、E三點(diǎn)在同一條直線上.所以DM=DE,CE=BM,∠BDM=∠CDE.因?yàn)椤螹DN=60°,所以∠BDM+∠NDC=60°.所以∠NDE=60°.在△DMN和△DEN中,DM=DE,∠MDN=∠EDN,DN=DN,所以△DMN≌△DEN.所以NE=MN.所以△AMN的周長(zhǎng)=AM+MN+AN=AM+NE+AN=AM+NC+CE+AN=AM+NC+MB+AN.即△AMN的周長(zhǎng)=AB+AC.因?yàn)锳B=AC=1,故△AMN的周長(zhǎng)為2.
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上傳時(shí)間:2019-11-16
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- 關(guān) 鍵 詞:
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第23章旋轉(zhuǎn)
2016
年人教版
九年級(jí)
23
旋轉(zhuǎn)
練習(xí)
答案
10
- 資源描述:
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