高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何習(xí)題(打包11套)[北師大版]選修2-1.zip
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§2 空間向量的運(yùn)算
課時(shí)目標(biāo) 1.掌握空間向量的加減運(yùn)算及其運(yùn)算律,能借助圖形理解空間向量及其運(yùn)算的意義.2.掌握空間向量數(shù)乘運(yùn)算的定義和運(yùn)算律,了解共線向量定理.3.掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律及計(jì)算方法,能用向量的數(shù)量積判斷向量共線與垂直.
1.空間向量的加法
設(shè)a和b是空間兩個(gè)向量,如圖,過(guò)點(diǎn)O作=a,=b,則平行四邊形的對(duì)角線OC對(duì)應(yīng)的__________就是a與b的和,記作________.
2.空間向量的減法
a與b的差定義為_(kāi)_________,記作__________,其中-b是b的相反向量.
3.空間向量加減法的運(yùn)算律
(1)結(jié)合律:(a+b)+c=____________.
(2)交換律:a+b=__________.
4.?dāng)?shù)乘的定義
空間向量a與實(shí)數(shù)λ的乘積是一個(gè)______________,記作________.
(1)|λa|=________.
(2)當(dāng)________時(shí),λa與a方向相同;當(dāng)________時(shí),λa與a方向相反;當(dāng)________時(shí),λa=0.
(3)交換律:λa=________(λ∈R).
(4)分配律:λ(a+b)=__________.
(λ+μ)a=__________(λ∈R,μ∈R).
(5)結(jié)合律:(λμ)a=__________(λ∈R,μ∈R).
5.空間兩個(gè)向量a與b (b≠0)共線的充分必要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使得____________.
6.空間向量的數(shù)量積:空間兩個(gè)向量a和b的數(shù)量積是________,等于______________,記作__________.
7.空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律
(1)交換律:a·b=__________;
(2)分配律:a·(b+c)=__________;
(3)λ(a·b)=____________ (λ∈R).
8.利用空間向量的數(shù)量積得到的結(jié)論
(1)|a|=____________;
(2)a⊥b____________;
(3)cos〈a,b〉=____________ (a≠0,b≠0).
一、選擇題
1.在正方體ABCD—A1B1C1D1中,向量表達(dá)式-+化簡(jiǎn)后的結(jié)果是( )
A. B. C. D.
2.四面體ABCD中,設(shè)M是CD的中點(diǎn),則+(+)化簡(jiǎn)的結(jié)果是( )
A. B. C. D.
3.已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),D為BC邊中點(diǎn)且2++=0,則等于( )
A. B. C. D.2
4.若a,b均為非零向量,則a·b=|a||b|是a與b共線的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
5.在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中,E,F(xiàn)分別是BC,AD的中點(diǎn),則·等于( )
A.0 B. C.- D.-
6.
如圖,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,則PC等于( )
A.6 B.6
C.12 D.144
題 號(hào)
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空題
7.在正四面體O—ABC中,=a,=b,=c,D為BC的中點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),則=__________________(用a,b,c表示).
8.若向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,且a與b的夾角為,則|a+b|=________.
9.在△ABC中,有下列命題:
①-=;
②++=0;
③若(+)·(-)=0,則△ABC為等腰三角形;
④若·>0,則△ABC為銳角三角形.
其中正確的是________.(填寫正確的序號(hào))
三、解答題
10.
如圖,已知在空間四邊形OABC中,||=||,||=||.求證:⊥.
11.
如圖所示,已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.
求證:⊥.
能力提升
12.平面上O,A,B三點(diǎn)不共線,設(shè)=a,=b,則△OAB的面積等于( )
A.
B.
C.
D.
13.
已知在平行六面體ABCD—A′B′C′D′中,AB=4,AD=3,AA′=5,∠BAD=90°,∠BAA′=∠DAA′=60°.
(1)求AC′的長(zhǎng)(如圖所示);
(2)求與的夾角的余弦值.
1.空間向量的加減法運(yùn)算及加減法的幾何意義和平面向量的是相同的.
2.空間兩個(gè)向量a,b的數(shù)量積,仍舊保留平面向量中數(shù)量積的形式,即:a·b=|a||b|·cos〈a,b〉,這里〈a,b〉表示空間兩向量所組成的角(0≤〈a,b〉≤π).空間向量的數(shù)量積具有平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì).應(yīng)用數(shù)量積可以判斷空間兩直線的垂直問(wèn)題,可以求兩直線夾角問(wèn)題和線段長(zhǎng)度問(wèn)題.即(1)利用a⊥ba·b=0證線線垂直(a,b為非零向量).(2)利用a·b=|a|·|b|cos〈a,b〉,cos θ=,求兩直線的夾角.(3)利用|a|2=a·a,求解有關(guān)線段的長(zhǎng)度問(wèn)題.
§2 空間向量的運(yùn)算
知識(shí)梳理
1.向量 a+b
2.a(chǎn)+(-b) a-b
3.(1)a+(b+c) (2)b+a
4.向量 λa (1)|λ||a| (2)λ>0 λ<0 λ=0 (3)aλ (4)λa+λb λa+μa (5)λ(μa)
5.a(chǎn)=λb
6.一個(gè)數(shù) |a||b|cos〈a,b〉 a·b
7.(1)b·a (2)a·b+a·c (3)(λa)·b
8.(1) (2)a·b=0 (3)
作業(yè)設(shè)計(jì)
1.A
[如圖所示,
∵=,-
=-=,
+=,
∴-+=.]
2.A
[如圖所示,
因(+)=,
所以+(+)
=+=.]
3.C [∵D為BC邊中點(diǎn),∴+=2,
∴+=0,∴=.]
4.A [a·b=|a||b|cos〈a,b〉=|a||b|cos〈a,b〉=1〈a,b〉=0,當(dāng)a與b反向時(shí),不能成立.]
5.D [·=(+)·
=·+·-·-||2
=cos 60°+cos 60°-cos 60°-=-.]
6.C [∵=++,
∴||2=(++)2
=2+2+2+2·+2·+2·=108+2×6×6×=144,
∴||=12.]
7.a+b+c
解析
如圖,=(+)
=+×(+)
=a+b+c.
8.
解析 |a+b|=
==.
9.②③
解析?、馘e(cuò),-=;②正確;③正確,||=||;④錯(cuò),△ABC不一定是銳角三角形.
10.證明 ∵||=||,||=||,
||=||,∴△OAC≌△OAB.
∴∠AOC=∠AOB.
∵·=·(-)
=·-·
=||||cos∠AOC-||||·cos∠AOB=0,
∴⊥.
11.證明 設(shè)=a,=b,
=c,
依題意,|a|=|b|,
又設(shè),,中兩兩所成夾角為θ,
于是=-=a-b,
·=c·(a-b)=c·a-c·b
=|c||a|cos θ-|c||b|cos θ=0,
所以⊥.
12.
C [如圖所示,
S△OAB=|a||b|·sin〈a,b〉
=|a||b|
=|a||b|
=|a||b|
=.]
13.解 (1)∵=++,
∴||2=(++)2
=||2+||2+||2+2(·+·+·)
=42+32+52+2(0+10+7.5)=85.
∴||=.
(2)設(shè)與的夾角為θ,
∵ABCD是矩形,
∴||==5.
∴由余弦定理可得
cos θ=
==.
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