高中數(shù)學 第二章 空間向量與立體幾何習題(打包11套)[北師大版]選修2-1.zip
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3.1 空間向量的標準正交分解與坐標表示
3.2 空間向量基本定理
課時目標 1.掌握空間向量的標準正交分解.2.了解空間向量基本定理.
1.
標準正交基
在給定的空間直角坐標系中,x軸,y軸,z軸正方向的________________i,j,k叫作標準正交基.
2.標準正交分解
設i,j,k為標準正交基,對空間任意向量a,存在唯一一組三元有序實數(shù)(x,y,z),使得a=xi+yj+zk,則把a=xi+yj+zk叫作a的標準正交分解.
3.向量的坐標表示
在a的標準正交分解中三元有序實數(shù)____________叫做空間向量a的坐標,_ _____________叫作向量a的坐標表示.
4.向量坐標與投影
(1)i,j,k為標準正交基,a=xi+yj+zk,那么:a·i=______,a·j=______,a·k=______.把x,y,z分別稱為向量a在x軸,y軸,z軸正方向上的投影.
(2)向量的坐標等于它在______________上的投影.
(3)一般地,若b0為b的單位向量,則稱______________________為向量a在向量b上的投影.
5.空間向量基本定理
如果向量e1,e2,e3是空間三個__________的向量,a是空間任一向量,那么存在唯一一組實數(shù)λ1,λ2,λ3使得________________________.
空間中不共面的三個向量e1,e2,e3叫作這個空間的一個基底.
一、選擇題
1.在以下3個命題中,真命題的個數(shù)是( )
①三個非零向量a,b,c不能構成空間的一個基底,則a,b,c共面;
②若兩個非零向量a,b與任何一個向量都不能構成空間的一個基底,則a,b共線;
③若a,b是兩個不共線向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),則a,b,c構成空間的一個基底.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知O、A、B、C為空間不共面的四點,且向量a=++,向量b=+-,則與a、b不能構成空間基底的是( )
A. B. C. D.或
3.以下四個命題中,正確的是( )
A.若=+,則P、A、B三點共線
B.設向量a,b,c是空間一個基底,則a+b,b+c,c+a構成空間的另一個基底
C.|(a·b)c|=|a|·|b|·|c|
D.△ABC是直角三角形的充要條件是·=0
4.設O-ABC是四面體,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一點,且OG=3GG1,若=x+y+z,則(x,y,z)為( )
A.(,,) B.(,,)
C.(,,) D.(,,)
5.已知點A在基底a,b,c下的坐標為(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,則點A在基底i,j,k下的坐標是( )
A.(12,14,10) B.(10,12,14)
C.(14,12,10) D.(4,3,2)
6.已知空間四邊形OABC中,=a,=b,=c,點M在OA上,且OM=2MA,N為BC的中點,則等于( )
A.a-b+c B.-a+b+c
C.a+b-c D.a+b-c
題 號
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空題
7.設i,j,k是空間向量的一個單位正交基底,則向量a=3i+2j-k,b=-2i+4j+2k的坐標分別是____________.
8.已知空間四邊形ABCD中,=a-2c,=5a+6b-8c,對角線AC、BD的中點分別為E、F,則=____________.
9.已知正方體ABCD—A1B1C1D1中,點O為AC1與BD1的交點,=x+y+z,則x+y+z=______.
三、解答題
10.
四棱錐P—OABC的底面為一矩形,PO⊥平面OABC,設=a,=b,=c,E、F分別是PC和PB的中點,用a,b,c表示、、、.
11.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M、N分別是AB、PC的中點,并且PA=AD,求、的坐標.
能力提升
12.甲、乙、丙三名工人搬運石頭,分別作用于石頭的力為F1,F(xiàn)2,F(xiàn)3,若i、j、k是空間中的三個不共面的基向量,F(xiàn)1=i+2j+3k,F(xiàn)2=-2i+3j-k,F(xiàn)3=3i-4j+5k,則這三名工人的合力F=xi+yj+zk,求x、y、z.
13.已知e1,e2,e3是空間的一個基底,試問向量a=3e1+2e2+e3,b=-e1+e2+3e3,c=2e1-e2-4e3是否共面?并說明理由.
1.空間的一個基底是空間任意三個不共面的向量,空間的基底可以有無窮多個.一個基底是不共面的三個向量構成的一個向量組,一個基向量指一個基底的某一個向量.
2.對于=x+y+z,當且僅當x+y+z=1時,P、A、B、C四點共面.
3.對于基底a,b,c除了應知道a,b,c不共面,還應明確:
(1)空間任意三個不共面向量都可以作為空間向量的一個基底,基底選定以后,空間的所有向量均可由基底惟一表示.
(2)由于0可視為與任意一個非零向量共線,與任意兩個非零向量共面,所以,三個向量不共面,就隱含著它們都不是0.
§3 向量的坐標表示和空間向量基本定理
3.1 空間向量的標準正交分解與坐標表示
3.2 空間向量基本定理
知識梳理
1.單位向量
3.(x,y,z) a=(x,y,z)
4.(1)x y z (2)坐標軸正方向
(3)a·b0=|a|cos〈a,b〉
5.不共面 a=λ1e1+λ2e2+λ3e3
作業(yè)設計
1.C [命題①,②是真命題,命題③是假命題.]
2.C [∵=(a-b),與a、b共面,
∴a,b,不能構成空間基底.]
3.B [A中若=+,則P、A、B三點共線,故A錯;
B中,假設存在實數(shù)k1,k2,使c+a=k1(a+b)+k2(b+c)=k1a+(k1+k2)b+k2c,
則有方程組無解,即向量a+b,b+c,c+a不共面,故B正確.
C中,a·b=|a||b|cos〈a,b〉≤|a|·|b|,故C錯.
D中,由·=0△ABC是直角三角形,但△ABC是直角三角形,可能角B等于90°,則有·=0,故D錯.]
4.A [因為==(+)
=+×[(+)]
=+[(-)+(-)]
=++,
而=x+y+z,
所以x=,y=,z=.]
5.A [設點A在基底{a,b,c}下對應的向量為p,
則p=8a+6b+4c=8i+8j+6j+6k+4k+4i
=12i+14j+10k,故點A在基底{i,j,k}下的坐標為(12,14,10).]
6.B [=-=(+)-
=-a+b+c.]
7.(3,2,-1),(-2,4,2)
8.3a+3b-5c
解析 ∵=++,
又=++,
∴兩式相加得2=(+)+++(+).
∵E為AC中點,故+=0,同理+=0,
∴2=+=(a-2c)+(5a+6b-8c)
=6a+6b-10c,∴=3a+3b-5c.
9.
解析 ==(++).
故x=y(tǒng)=z=,∴x+y+z=.
10.解 ==(+)
=(c-b-a)=-a-b+c.
=+=-a+
=-a+(+)
=-a-b+c.
=+
=++(+)
=-a+c+(-c+b)
=-a+b+c.
===a.
11.解
∵PA=AD=AB,且PA⊥平面ABCD,AD⊥AB,
∴可設=e1,=e2,=e3.
以e1、e2、e3為坐標向量建立如圖所示的空間直角坐標系.
∵=++
=++
=++(++)
=-e2+e3+(-e3-e1+e2)
=-e1+e3,
∴=,==e2=(0,1,0).
12.解 由題意,得F=F1+F2+F3=(i+2j+3k)+(-2i+3j-k)+(3i-4j+5k)=2i+j+7k.
又因為F=xi+yj+zk,所以x=2,y=1,z=7.
13.解 由共面向量定理可知,關鍵是能否找到三個不全為零的實數(shù)x,y,z,使得xa+yb+zc=0,即x(3e1+2e2+e3)+y(-e1+e2+3e3)+z(2e1-e2-4e3)=0.亦即(3x-y+2z)e1+(2x+y-z)e2+(x+3y-4z)e3=0.
由于e1,e2,e3不共面,
故得
①+②求得z=-5x,代入③得y=-7x,取x=-1,
則y=7,z=5,于是-a+7b+5c=0,即a=7b+5c,所以a,b,c三向量共面.
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空間向量與立體幾何習題打包11套[北師大版]選修2-1
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