剛體6個自由度自由度數(shù)目減少(由于約束).ppt

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1 5 2剛體的運動方程剛體 6個自由度自由度數(shù)目減少 由于約束 例子 繞固定點的轉動 3個自由度 定軸轉動 1個自由度 在有約束的情況下 關心剛體本身的運動 約束反力但 由拉格朗日方程中不容易得到約束反力 以前僅討論理想約束 辦法 回到牛頓表述 一 動量定理定點轉動角動量定理剛體 特殊的質點組 考察剛體整體運動 質心在靜止系中的矢徑 對第a個質點 其中 以質心為原點的運動坐標系的矢徑 因為 所以 作和 其中 對固定點o的總角動量 對固定點o的總力矩 對固定點的角動量定理 以質心為坐標原點 仍在慣性系中 對上式作和 又則 令則 對質心的角動量定理描述剛體的運動方程組 二 剛體的靜平衡平衡時 平衡方程例題 見p88 例1 三 剛體的動平衡 見p88 略 四 剛體的自由運動自由運動 不受外力 不受約束 即 有 質心 勻速運動 繞質心的轉動 且角動量守恒 設 為三個慣量主軸方向 為沿這三個主軸的轉動慣量則 討論 球對稱陀螺 任意選取三個相互垂直的軸作慣量主軸 此時 2 轉子即 L在平面內 3 對稱陀螺 不對稱陀螺 此時 平面內的任一軸都是主軸選在同一平面將分解到和的方向上 分別稱為和 并設它們之間的夾角為 顯然有 L在平面內 L與的夾角 L與的夾角 L在軸的投影 由圖 在上的分量相等則 且不變 勻速旋轉 L與軸的夾角不變規(guī)則進動 對稱陀螺自由轉動 有繞轉動 軸繞空間固定軸 L軸 進動 且與L之間的夾角保持不變 五 歐勒運動學方程對稱陀螺的基本運動 1 剛體繞對稱軸的自轉 2 自轉軸繞空間固定軸的進動 3 自轉軸和固定軸間夾角的章動 用歐勒角描述這三種運動 設 o 固定點 oz 固定軸 剛體繞固定軸oz轉過的角度 進動角 進動角速度 沿oz方向 剛體繞轉過的角度 自轉角 自轉角速度 沿方向 和oz間的夾角 章動角 章動角速度 沿oN方向 1 在平面 在的分量 由圖 2 在上的投影 由書p91圖可知 當時 當時 所以在同一平面 且從上一點作的垂線a 顯然a在上 則 因此組成的平面 即平面 由此在平面的投足落在上 得到沿方向 即沿方向 又與的夾角為 這樣在的分量為3 沿方向 若 已知則 計算討論 對于對稱陀螺 兩個主軸可在平面上任意選取 則 取沿oN方向于是有 六 歐勒動力學方程剛體的運動方程為 而中不是常數(shù) 這樣要得到M與的關系很困難 辦法 建立運動坐標系 坐標軸沿三個慣量主軸方向此時 設 矢量A 相對靜止坐標系的改變量若 A相對于運動坐標系不變 則僅僅是由于運動坐標系轉動而引起的 故一般情況 A相對于運動坐標系改變 說明如下 設 分別為靜止坐標系和運動坐標系 如圖 現(xiàn)在系中分別求矢量A t 隨時間的變化率 系中的單位常矢量對系不是常矢量 即在中對矢量求導 得 A在運動坐標系中的改變令A L 得 又所以 對運動坐標系 而 歐勒動力學方程 1 5 3非慣性系中的運動若 將參考系固連在剛體上 只要剛體不是作勻速運動 這一參考系為非慣性系 設 系 慣性系 系 相對系的速度為V t K系 相對系的角速度為則 K系 非慣性系做的事 在K系中建立運動方程設 矢量A A在系中的導數(shù) 則 令 質點在系中的速度 質點在系中的速度 v 質點在K系中的速度 V 系對系的速度 則 上式右邊各項再對時間求導 有 慣性系中 非慣性系中的運動方程f 外力 平動加速度產生的慣性力 角加速度產生的慣性力 科里奧利力 慣性離心力